Étude de fonctions

L'ensemble de départ est l'ensemble sur lequel on définit la fonction (souvent $\mathbb{R}$), tandis que le domaine de définition est le plus grand sous-ensemble où les calculs sont possibles (pas de division par zéro, pas de racine carrée d'un nombre négatif).

💡 À retenir : Le domaine de définition est toujours inclus dans l'ensemble de départ.

1. Vérifie si $D_f$ est symétrique par rapport à 0.
2. Calcule $f(-x)$.
3. Si $f(-x) = f(x)$, elle est paire (symétrique par rapport à l'axe des ordonnées).
4. Si $f(-x) = -f(x)$, elle est impaire (symétrique par rapport à l'origine).

💡 À retenir : Si $f(-x)$ n'est ni $f(x)$ ni $-f(x)$, elle n'est ni paire ni impaire.

1. Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$, alors la droite $x=a$ est une asymptote verticale.
2. Si $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b$, alors la droite $y=b$ est une asymptote horizontale.

💡 À retenir : L'asymptote est la droite vers laquelle la courbe se rapproche à l'infini.

La dérivée sert à connaître le sens de variation de la fonction :

1. Si $f'(x) > 0$, la fonction est croissante.
2. Si $f'(x) < 0$, la fonction est décroissante.
3. Si $f'(x) = 0$, on a un point critique (tangente horizontale).

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne la direction de la courbe.

Oui, c'est indispensable pour connaître le comportement de la courbe aux extrémités de son domaine de définition et pour identifier les asymptotes.

💡 À retenir : Les limites sont les "bouts" de la courbe.

1. Avec l'axe des ordonnées : tu calcules $f(0)$. Le point est $(0, f(0))$.
2. Avec l'axe des abscisses : tu résous l'équation $f(x) = 0$. Les points sont $(x, 0)$ pour chaque solution trouvée.

💡 À retenir : $f(0)$ donne l'intersection avec l'axe $(Oy)$, $f(x)=0$ avec $(Ox)$.

Parce que la fonction change de sens de variation. Quand la dérivée change de signe, la fonction passe d'une croissance à une décroissance (ou l'inverse).

💡 À retenir : Le changement de signe de $f'$ indique un sommet ou un creux.

Oui, si la courbe présente un "angle" ou une cassure, la fonction n'est pas dérivable en ce point.

💡 À retenir : La dérivabilité signifie que la courbe est "lisse" (sans cassure).

Utilise le tableau de variations pour placer les sommets, les asymptotes pour guider les branches, et quelques points de passage en remplaçant $x$ par des valeurs simples.

💡 À retenir : Le tableau de variations est le squelette de ton dessin.

Non, il n'est pas toujours demandé, mais il est utile pour préciser la courbure de la fonction. Il se trouve là où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe.

💡 À retenir : Le point d'inflexion est là où la courbe change de concavité.

La courbe est strictement croissante sur tout son domaine de définition.

💡 À retenir : Une dérivée strictement positive signifie une montée constante.

Il faut étudier le signe de la différence $f(x) - y_{asymptote}$. Si c'est positif, la courbe est au-dessus.

💡 À retenir : La différence $f(x) - y$ indique la position relative.