Mathématiques · 1ère Année Bac — Arts appliqués

Dénombrement

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le dénombrement permet de compter le nombre de possibilités d'une expérience aléatoire.

Principe multiplicatif : Si une opération se fait en $p$ étapes, avec $n_1$ choix pour la 1ère, $n_2$ pour la 2ème..., le nombre total est $n_1 \times n_2 \times ... \times n_p$ .
Factorielle : $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$ . Par convention $0! = 1$ .
Arrangement : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ (ordre important, sans remise).
Combinaison : $C_n^k = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (ordre non important).
Propriétés : $C_n^0 = 1$ , $C_n^n = 1$ , $C_n^1 = n$ , $C_n^k = C_n^{n-k}$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier le tirage :
- Simultané $\rightarrow$ Combinaison ( $C_n^k$ ).
- Successif sans remise $\rightarrow$ Arrangement ( $A_n^k$ ).
- Successif avec remise $\rightarrow$ Puissance ( $n^k$ ).
Utiliser l'arbre des choix pour les petits ensembles.
Vérifier l'ordre : Si l'ordre compte, on utilise $A_n^k$ ou les puissances. Sinon, $C_n^k$ .

Exemples corrigés

Tirer 3 jetons parmi 10 simultanément : $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .
Tirer 2 jetons parmi 5 successivement sans remise : $A_5^2 = 5 \times 4 = 20$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^k$ et $C_n^k$ : Toujours se demander si l'ordre change le résultat.
Oublier que $0! = 1$ .
Appliquer une formule sans vérifier si le tirage est avec ou sans remise.

L'essentiel du cours

Le dénombrement permet de compter le nombre de possibilités d'une expérience aléatoire.

Principe multiplicatif : Si une opération se fait en $p$ étapes, avec $n_1$ choix pour la 1ère, $n_2$ pour la 2ème..., le nombre total est $n_1 \times n_2 \times ... \times n_p$.
Factorielle : $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$. Par convention $0! = 1$.
Arrangement : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ (ordre important, sans remise).
Combinaison : $C_n^k = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (ordre non important).
Propriétés : $C_n^0 = 1$, $C_n^n = 1$, $C_n^1 = n$, $C_n^k = C_n^{n-k}$.

Méthodes à maîtriser

Identifier le tirage :
- Simultané $\rightarrow$ Combinaison ($C_n^k$).
- Successif sans remise $\rightarrow$ Arrangement ($A_n^k$).
- Successif avec remise $\rightarrow$ Puissance ($n^k$).
Utiliser l'arbre des choix pour les petits ensembles.
Vérifier l'ordre : Si l'ordre compte, on utilise $A_n^k$ ou les puissances. Sinon, $C_n^k$.

Exemples corrigés

Tirer 3 jetons parmi 10 simultanément : $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
Tirer 2 jetons parmi 5 successivement sans remise : $A_5^2 = 5 \times 4 = 20$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^k$ et $C_n^k$ : Toujours se demander si l'ordre change le résultat.
Oublier que $0! = 1$.
Appliquer une formule sans vérifier si le tirage est avec ou sans remise.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Dénombrement

1/4

Combien vaut $C_5^2$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que je dois simplifier les fractions dans les calculs de Cn^k ?

Oui, simplifie toujours avant de multiplier pour éviter les erreurs et les grands nombres.

💡 À retenir : Simplifie les fractions avant de calculer.

Si j'ai 2 urnes, comment je fais ?

Tu calcules le nombre de possibilités pour chaque urne séparément, puis tu multiplies les résultats si les tirages sont liés.

💡 À retenir : Multiplie les résultats des étapes indépendantes.

Est-ce que le dénombrement est utile pour les probabilités ?

Oui, c'est la base. La probabilité est le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles (dénombrement).

💡 À retenir : Dénombrement = outil pour calculer les probabilités.

Kifach n3ref wach nst3mel Cn^k wla An^k ?

Pose-toi la question : est-ce que l'ordre des éléments tirés est important ?
Si l'ordre compte (ex: podium, code secret), utilise $A_n^k$ .
Si l'ordre ne compte pas (ex: une main de cartes, un groupe de personnes), utilise $C_n^k$ .

💡 À retenir : Ordre = Arrangement, Groupe = Combinaison.

Pose-toi la question : est-ce que l'ordre des éléments tirés est important ?
Si l'ordre compte (ex: podium, code secret), utilise $A_n^k$.
Si l'ordre ne compte pas (ex: une main de cartes, un groupe de personnes), utilise $C_n^k$.

💡 À retenir : Ordre = Arrangement, Groupe = Combinaison.

Chno hiya l'far9 bin tirage successif b remise w bla remise ?

Avec remise : Après chaque tirage, tu remets l'objet dans l'urne. Le nombre de choix reste le même à chaque étape ( $n^k$ ).
Sans remise : L'objet tiré ne revient pas. Le nombre de choix diminue à chaque étape ( $A_n^k$ ).

💡 À retenir : Avec remise = puissance, Sans remise = arrangement.

Avec remise : Après chaque tirage, tu remets l'objet dans l'urne. Le nombre de choix reste le même à chaque étape ($n^k$).
Sans remise : L'objet tiré ne revient pas. Le nombre de choix diminue à chaque étape ($A_n^k$).

💡 À retenir : Avec remise = puissance, Sans remise = arrangement.

Kifach n7seb Cn^k ila kan k kbir ?

Utilise la propriété $C_n^k = C_n^{n-k}$ .
Par exemple, pour $C_{10}^8$ , c'est égal à $C_{10}^2$ .
C'est beaucoup plus facile à calculer : $\frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ .

💡 À retenir : Simplifie toujours ton calcul avec la symétrie.

Utilise la propriété $C_n^k = C_n^{n-k}$.
Par exemple, pour $C_{10}^8$, c'est égal à $C_{10}^2$.
C'est beaucoup plus facile à calculer : $\frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.

💡 À retenir : Simplifie toujours ton calcul avec la symétrie.

Est-ce que n! est toujours un nombre entier ?

Oui, par définition, $n!$ est le produit de tous les entiers naturels de 1 à $n$ , donc c'est toujours un entier naturel.

💡 À retenir : $n!$ est le produit des entiers de 1 à $n$ .

Oui, par définition, $n!$ est le produit de tous les entiers naturels de 1 à $n$, donc c'est toujours un entier naturel.

💡 À retenir : $n!$ est le produit des entiers de 1 à $n$.

Pourquoi 0! = 1 et pas 0 ?

C'est une convention mathématique nécessaire pour que les formules comme $C_n^n = \frac{n!}{n!0!}$ fonctionnent et donnent 1.

💡 À retenir : $0! = 1$ est une règle de base.

C'est une convention mathématique nécessaire pour que les formules comme $C_n^n = \frac{n!}{n!0!}$ fonctionnent et donnent 1.

💡 À retenir : $0! = 1$ est une règle de base.

Est-ce qu'on peut avoir k n dans Cn^k ?

Non, on ne peut pas tirer plus d'objets qu'il n'y en a dans l'urne. Si $k > n$ , alors $C_n^k = 0$ .

💡 À retenir : On ne peut pas choisir plus d'éléments qu'il n'en existe.

Non, on ne peut pas tirer plus d'objets qu'il n'y en a dans l'urne. Si $k > n$, alors $C_n^k = 0$.

💡 À retenir : On ne peut pas choisir plus d'éléments qu'il n'en existe.

Si on tire 3 boules en même temps, est-ce que c'est An^k ?

Non, "en même temps" signifie que l'ordre n'a aucune importance. On utilise toujours $C_n^k$ .

💡 À retenir : Simultané = Combinaison.

Non, "en même temps" signifie que l'ordre n'a aucune importance. On utilise toujours $C_n^k$.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison.

Est-ce que le principe multiplicatif s'applique partout ?

Oui, dès que tu as plusieurs étapes indépendantes, tu multiplies le nombre de choix de chaque étape.

💡 À retenir : Étapes successives = Multiplication.

Comment calculer An^k sans calculatrice ?

Écris le produit commençant par $n$ et ayant $k$ facteurs.
Exemple $A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ .

💡 À retenir : $A_n^k$ est un produit de $k$ entiers décroissants.

Écris le produit commençant par $n$ et ayant $k$ facteurs.
Exemple $A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$.

💡 À retenir : $A_n^k$ est un produit de $k$ entiers décroissants.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 8 boules : 5 rouges et 3 bleues. On tire simultanément 3 boules.

Quel est le nombre total de tirages possibles ?
Quel est le nombre de tirages contenant exactement 2 boules rouges ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un code de cadenas est composé de 3 chiffres choisis parmi {0, 1, 2, 3, 4}.

Combien de codes peut-on former si les chiffres peuvent se répéter ?
Combien de codes peut-on former si les chiffres sont distincts ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Dans une classe de 10 élèves, on veut élire un président et un secrétaire.

Combien de choix y a-t-il ?
Si on veut élire un comité de 2 personnes sans distinction de rôle, combien de choix y a-t-il ?

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