Mathématiques · 1ère Année Bac — Arts appliqués

Dérivabilité

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Nombre dérivé en un point

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert contenant $a$ . On dit que $f$ est dérivable en $a$ si la limite suivante existe et est finie : $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = L$ Ce nombre $L$ est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$ et on le note $f'(a)$ .

2. Interprétation géométrique

Si $f$ est dérivable en $a$ , la courbe $(C_f)$ admet une tangente au point $A(a, f(a))$ . L'équation de cette tangente est : $(T) : y = f'(a)(x - a) + f(a)$

3. Fonctions dérivées usuelles

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$
$k$ (constante)	$0$
$ax$	$a$
$x^n$	$n x^{n-1}$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$

4. Opérations sur les fonctions dérivées

Somme : $(u + v)' = u' + v'$
Produit par un réel : $(k \cdot u)' = k \cdot u'$
Produit : $(u \cdot v)' = u'v + uv'$
Quotient : $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

5. Dérivée et sens de variations

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ :

Si $f'(x) > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Si $f'(x) < 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ .
Si $f'(x) = 0$ sur $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer le nombre dérivé en utilisant la limite du taux d'accroissement.
Déterminer l'équation de la tangente à une courbe en un point donné.
Calculer la fonction dérivée $f'$ en utilisant les formules usuelles.
Dresser le tableau de variations d'une fonction à partir du signe de sa dérivée.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = x^2$ . Calculer $f'(3)$ . $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 3^2}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x+3) = 6$ . Donc $f'(3) = 6$ .

Exemple 2 : Calculer la dérivée de $f(x) = 3x^2 + 5x - 1$ . $f'(x) = 3(2x) + 5(1) - 0 = 6x + 5$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $f(a)$ (l'image) et $f'(a)$ (la pente).
Oublier le signe "moins" dans la dérivée de $\frac{1}{x}$ .
Ne pas mettre les parenthèses lors du calcul de la dérivée d'un quotient, ce qui fausse le signe du numérateur.
Croire que si $f'(a) = 0$ , la fonction est forcément constante (c'est seulement un point possible d'extremum).

L'essentiel du cours

1. Nombre dérivé en un point

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert contenant $a$. On dit que $f$ est dérivable en $a$ si la limite suivante existe et est finie : $$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = L$$ Ce nombre $L$ est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$ et on le note $f'(a)$.

2. Interprétation géométrique

Si $f$ est dérivable en $a$, la courbe $(C_f)$ admet une tangente au point $A(a, f(a))$. L'équation de cette tangente est : $$(T) : y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

3. Fonctions dérivées usuelles

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$
$k$ (constante)	$0$
$ax$	$a$
$x^n$	$n x^{n-1}$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$

4. Opérations sur les fonctions dérivées

Somme : $(u + v)' = u' + v'$
Produit par un réel : $(k \cdot u)' = k \cdot u'$
Produit : $(u \cdot v)' = u'v + uv'$
Quotient : $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

5. Dérivée et sens de variations

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ :

Si $f'(x) > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
Si $f'(x) < 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
Si $f'(x) = 0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Méthodes à maîtriser

Calculer le nombre dérivé en utilisant la limite du taux d'accroissement.
Déterminer l'équation de la tangente à une courbe en un point donné.
Calculer la fonction dérivée $f'$ en utilisant les formules usuelles.
Dresser le tableau de variations d'une fonction à partir du signe de sa dérivée.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = x^2$. Calculer $f'(3)$. $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 3^2}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x+3) = 6$. Donc $f'(3) = 6$.

Exemple 2 : Calculer la dérivée de $f(x) = 3x^2 + 5x - 1$. $f'(x) = 3(2x) + 5(1) - 0 = 6x + 5$.

Erreurs fréquentes

Confondre $f(a)$ (l'image) et $f'(a)$ (la pente).
Oublier le signe "moins" dans la dérivée de $\frac{1}{x}$.
Ne pas mettre les parenthèses lors du calcul de la dérivée d'un quotient, ce qui fausse le signe du numérateur.
Croire que si $f'(a) = 0$, la fonction est forcément constante (c'est seulement un point possible d'extremum).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Dérivabilité

1/4

Quelle est la dérivée de la fonction $f(x) = 7x - 5$ ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi un "point critique" ou un "extremum" ?

C'est un point où la dérivée s'annule ( $f'(x) = 0$ ) en changeant de signe.

Si $f'$ passe de $+$ à $-$ , c'est un Maximum (le haut d'une montagne).
Si $f'$ passe de $-$ à $+$ , c'est un Minimum (le bas d'une vallée). En Arts appliqués, c'est utile pour trouver les dimensions idéales d'un objet.

💡 À retenir : $f'(x) = 0$ indique souvent un maximum ou un minimum local.

C'est un point où la dérivée s'annule ($f'(x) = 0$) en changeant de signe.

Si $f'$ passe de $+$ à $-$, c'est un Maximum (le haut d'une montagne).
Si $f'$ passe de $-$ à $+$, c'est un Minimum (le bas d'une vallée). En Arts appliqués, c'est utile pour trouver les dimensions idéales d'un objet.

💡 À retenir : $f'(x) = 0$ indique souvent un maximum ou un minimum local.

À quoi ça sert de calculer la dérivée dans la vraie vie ?

En mathématiques et en arts appliqués, la dérivée sert à mesurer la vitesse de changement.

Elle permet de connaître l'inclinaison exacte d'une courbe (la pente).
Elle aide à trouver les valeurs maximales ou minimales (optimisation), par exemple pour minimiser la quantité de matière utilisée pour fabriquer un objet tout en gardant le même volume.
Elle permet de dessiner précisément des formes fluides et des trajectoires.

💡 À retenir : La dérivée mesure la variation et permet d'optimiser des formes ou des coûts.

Chno hiya l-fayda dyal dik l-mamas (tangente) lli kankhdmo biha ?

L-mamas hiya wa7d l-khatt lli kay3tina l-itijah dyal d-dala f wa7d l-noqta b-dabt.

Ila kanti ghadir chi dessin fih des courbes, l-mamas katwarik kifach dik l-courbe ghada t-t9ad.
F l-fizik, l-mamas kat3ni l-sor3a (vitesse instantanée) f wa7d l-l7da.
F l-imti7an, l-mo3adala dyalha $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ dima katkon 3liha no9ta.

💡 À retenir : La tangente est la meilleure approximation rectiligne d'une courbe en un point.

L-mamas hiya wa7d l-khatt lli kay3tina l-itijah dyal d-dala f wa7d l-noqta b-dabt.

Ila kanti ghadir chi dessin fih des courbes, l-mamas katwarik kifach dik l-courbe ghada t-t9ad.
F l-fizik, l-mamas kat3ni l-sor3a (vitesse instantanée) f wa7d l-l7da.
F l-imti7an, l-mo3adala dyalha $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ dima katkon 3liha no9ta.

💡 À retenir : La tangente est la meilleure approximation rectiligne d'une courbe en un point.

Kifach nferre9 bin f(x) o f'(x) ?

C'est une confusion très courante. Voici la différence :

$f(x)$ te donne la position (la hauteur) du point sur le graphique.
$f'(x)$ te donne la pente (l'inclinaison) en ce point. Exemple : Si tu montes une colline, $f(x)$ est ton altitude, et $f'(x)$ est la difficulté de la pente (si c'est raide ou plat).

💡 À retenir : $f(x)$ est l'image, $f'(x)$ est le coefficient directeur de la tangente.

C'est une confusion très courante. Voici la différence :

$f(x)$ te donne la position (la hauteur) du point sur le graphique.
$f'(x)$ te donne la pente (l'inclinaison) en ce point. Exemple : Si tu montes une colline, $f(x)$ est ton altitude, et $f'(x)$ est la difficulté de la pente (si c'est raide ou plat).

💡 À retenir : $f(x)$ est l'image, $f'(x)$ est le coefficient directeur de la tangente.

Est-ce qu'une fonction est toujours dérivable partout ?

Non. Une fonction peut ne pas être dérivable en certains points.

Si la courbe a une "pointe" ou un "angle vif" (comme la fonction valeur absolue en 0).
Si la tangente est verticale (la pente est infinie).
Si la fonction n'est pas continue (il y a un saut dans le dessin).

💡 À retenir : Pour être dérivable, la courbe doit être "lisse" (sans cassure).

Kifach n7seb l-mouchtaqa dyal l-kassr (quotient) bla ma nghlat ?

Khassk ttabe3 l-9a3ida dyal $\frac{u}{v}$ b-dabt :

7ded $u$ (l-fo9ani) o $v$ (l-te7tani).
7seb $u'$ o $v'$ f l-wsakh.
Tbe9 l-9anoun : $\frac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Attention : Mat9issch l-ma9am ( $v^2$ ), khallih haka3k, 7seb ghir l-basst (numérateur).

💡 À retenir : $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ . Ne développez jamais le dénominateur !

Khassk ttabe3 l-9a3ida dyal $\frac{u}{v}$ b-dabt :

7ded $u$ (l-fo9ani) o $v$ (l-te7tani).
7seb $u'$ o $v'$ f l-wsakh.
Tbe9 l-9anoun : $\frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Attention : Mat9issch l-ma9am ($v^2$), khallih haka3k, 7seb ghir l-basst (numérateur).

💡 À retenir : $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Ne développez jamais le dénominateur !

Pourquoi on cherche le signe de f'(x) ?

Le signe de la dérivée est l'outil magique pour connaître le sens de variation de $f$ :

Si $f'(x) > 0$ (positif), la fonction $f$ monte (croissante).
Si $f'(x) < 0$ (négatif), la fonction $f$ descend (décroissante).
Si $f'(x) = 0$ , la fonction a un sommet ou un creux (extremum).

💡 À retenir : Le signe de $f'$ donne le sens des flèches dans le tableau de variations.

Le signe de la dérivée est l'outil magique pour connaître le sens de variation de $f$ :

Si $f'(x) > 0$ (positif), la fonction $f$ monte (croissante).
Si $f'(x) < 0$ (négatif), la fonction $f$ descend (décroissante).
Si $f'(x) = 0$, la fonction a un sommet ou un creux (extremum).

💡 À retenir : Le signe de $f'$ donne le sens des flèches dans le tableau de variations.

Comment dériver x^3 ou x^4 rapidement ?

On utilise la règle de la puissance : $(x^n)' = n x^{n-1}$ .

Tu descends l'exposant devant le $x$ .
Tu diminues l'exposant de 1. Exemple : Pour $x^3$ , le 3 descend $\to 3x$ , et l'exposant devient $3-1=2$ . Résultat : $3x^2$ .

💡 À retenir : On "abaisse" la puissance et on réduit le degré de 1.

On utilise la règle de la puissance : $(x^n)' = n x^{n-1}$.

Tu descends l'exposant devant le $x$.
Tu diminues l'exposant de 1. Exemple : Pour $x^3$, le 3 descend $\to 3x$, et l'exposant devient $3-1=2$. Résultat : $3x^2$.

💡 À retenir : On "abaisse" la puissance et on réduit le degré de 1.

Est-ce que la dérivée de sqrt{x} est au programme ?

Oui, c'est une formule de base à connaître par cœur.

La dérivée de $f(x) = \sqrt{x}$ est $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ .
Elle n'est définie que pour $x > 0$ (car on ne peut pas diviser par zéro).

💡 À retenir : $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Oui, c'est une formule de base à connaître par cœur.

La dérivée de $f(x) = \sqrt{x}$ est $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Elle n'est définie que pour $x > 0$ (car on ne peut pas diviser par zéro).

💡 À retenir : $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Que faire si on me demande l'équation de la tangente en x=0 ?

C'est l'un des cas les plus simples.

Calcule $f(0)$ .
Calcule $f'(0)$ en utilisant la fonction dérivée.
Remplace dans la formule : $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$ , ce qui donne $y = f'(0)x + f(0)$ .

💡 À retenir : L'équation devient $y = ax + b$ où $a = f'(0)$ et $b = f(0)$ .

C'est l'un des cas les plus simples.

Calcule $f(0)$.
Calcule $f'(0)$ en utilisant la fonction dérivée.
Remplace dans la formule : $y = f'(0)(x - 0) + f(0)$, ce qui donne $y = f'(0)x + f(0)$.

💡 À retenir : L'équation devient $y = ax + b$ où $a = f'(0)$ et $b = f(0)$.

Comment savoir si une fonction est dérivable à droite ou à gauche ?

On utilise la limite du taux d'accroissement séparément :

À droite : $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'_d(a)$ .
À gauche : $\lim_{x \to a^-} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'_g(a)$ . Si les deux résultats sont égaux, la fonction est dérivable en $a$ .

💡 À retenir : Dérivable $\iff$ dérivable à gauche = dérivable à droite.

On utilise la limite du taux d'accroissement séparément :

À droite : $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'_d(a)$.
À gauche : $\lim_{x \to a^-} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'_g(a)$. Si les deux résultats sont égaux, la fonction est dérivable en $a$.

💡 À retenir : Dérivable $\iff$ dérivable à gauche = dérivable à droite.

Si f(x) = 5, quelle est sa dérivée ?

La dérivée d'une constante est toujours 0.

Graphiquement, $f(x) = 5$ est une droite horizontale.
Une droite horizontale n'a aucune pente (inclinaison nulle).
Donc $f'(x) = 0$ .

💡 À retenir : La dérivée de n'importe quel nombre seul (sans $x$ ) est 0.

La dérivée d'une constante est toujours 0.

Graphiquement, $f(x) = 5$ est une droite horizontale.
Une droite horizontale n'a aucune pente (inclinaison nulle).
Donc $f'(x) = 0$.

💡 À retenir : La dérivée de n'importe quel nombre seul (sans $x$) est 0.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

Calculer le nombre dérivé de $f$ en $a = 1$ en utilisant la définition (la limite).
Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $1$ .
Calculer la fonction dérivée $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Calculer le nombre dérivé de $f$ en $a = 1$ en utilisant la définition (la limite).
Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $1$.
Calculer la fonction dérivée $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $g$ la fonction définie par : $g(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$ .

Déterminer l'ensemble de définition $D_g$ .
Calculer la fonction dérivée $g'(x)$ sur $D_g$ .
Étudier le signe de $g'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $g$ .

Exercice 2

Soit $g$ la fonction définie par : $g(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$.

Déterminer l'ensemble de définition $D_g$.
Calculer la fonction dérivée $g'(x)$ sur $D_g$.
Étudier le signe de $g'(x)$ et en déduire le tableau de variations de $g$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 1$ .

Calculer $h'(x)$ .
Résoudre l'équation $h'(x) = 0$ .
Étudier le signe de $h'(x)$ et dresser le tableau de variations complet de $h$ .
Préciser les extremums locaux de la fonction $h$ .

Exercice 3

On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 1$.

Calculer $h'(x)$.
Résoudre l'équation $h'(x) = 0$.
Étudier le signe de $h'(x)$ et dresser le tableau de variations complet de $h$.
Préciser les extremums locaux de la fonction $h$.

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