Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Soient $A$ et $B$ deux points du plan et $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tels que $\alpha + \beta \neq 0$. Le point $G$ est le barycentre du système ${(A, \alpha), (B, \beta)}$ si :
$$\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} = \vec{0}$$
Pour tout point $M$ du plan, on a la relation : $\overrightarrow{MG} = \frac{\alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB}}{\alpha + \beta}$.
Si $\alpha = \beta$, $G$ est le milieu du segment $[AB]$ (isobarycentre).
Méthodes à maîtriser
Construction géométrique : Utiliser la relation $\overrightarrow{AG} = \frac{\beta}{\alpha + \beta} \overrightarrow{AB}$.
Si la somme des coefficients est nulle, le barycentre n'existe pas. Le vecteur $\alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB}$ devient un vecteur constant (indépendant de $M$) et ne peut pas être nul.
💡 À retenir : La condition $\alpha + \beta \neq 0$ est obligatoire.
C'est quoi la différence entre un barycentre et un milieu ?
Le milieu est un cas particulier du barycentre. Si les coefficients sont égaux (ex: 1 et 1), le barycentre est le milieu. Si les coefficients sont différents, le barycentre est plus proche du point qui a le "poids" (coefficient) le plus grand.
💡 À retenir : Le barycentre est un centre d'équilibre pondéré.
Kifach n7seb l-barycentre ila kano 3andi 3 dyal n9at?
Pour trois points $A, B, C$ avec des coefficients $\alpha, \beta, \gamma$ ($\alpha+\beta+\gamma \neq 0$), le point $G$ vérifie :
💡 À retenir : La formule se généralise simplement en ajoutant les termes.
Est-ce que le barycentre dépend du point M choisi ?
Non, le point $G$ est unique dans le plan. La relation $\overrightarrow{MG} = \frac{\alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB}}{\alpha + \beta}$ est vraie pour n'importe quel point $M$ du plan (l'origine, $A$, ou n'importe quel point).
💡 À retenir : $G$ est fixe, seul le vecteur $\overrightarrow{MG}$ change selon $M$.
Chno hiya l-fayda dyal l-barycentre f-l-handasa?
Il sert à simplifier des sommes vectorielles complexes et à trouver des points particuliers (centre de gravité d'un triangle, par exemple). Il permet aussi de démontrer l'alignement de points.
💡 À retenir : Le barycentre simplifie les calculs de vecteurs.
Oui, la définition est la même, mais comme nous sommes dans le programme de 1ère Bac Arts Appliqués, nous nous limitons au plan.
💡 À retenir : Les formules restent identiques en ajoutant la coordonnée $z$.
Comment démontrer que trois points sont alignés avec le barycentre ?
Si tu montres que $G$ est le barycentre de $A$ et $B$, alors par définition, les vecteurs $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires, donc $A, G$ et $B$ sont alignés.
💡 À retenir : Barycentre = Alignement.
Est-ce que je peux multiplier les coefficients par un nombre non nul ?
Oui, si $G$ est le barycentre de ${(A, \alpha), (B, \beta)}$, alors $G$ est aussi le barycentre de ${(A, k\alpha), (B, k\beta)}$ pour tout $k \neq 0$.
💡 À retenir : Les coefficients sont proportionnels.
Comment trouver les coordonnées de G sans formule ?
En utilisant la relation vectorielle $\overrightarrow{AG} = \frac{\beta}{\alpha + \beta} \overrightarrow{AB}$. Tu calcules les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$, tu multiplies par le rapport, puis tu ajoutes les coordonnées de $A$.
💡 À retenir : La méthode vectorielle est souvent plus rapide.
Pourquoi on dit "système pondéré" ?
Parce que chaque point est affecté d'un "poids" ou "masse" (le coefficient). Le barycentre est le point d'équilibre de ce système.
💡 À retenir : Le coefficient est comme une masse physique.
Est-ce que le barycentre peut être confondu avec A ou B ?
Oui, si l'un des coefficients est nul (mais la somme doit être non nulle). Par exemple, si $\beta = 0$, alors $G = A$.
💡 À retenir : Le barycentre est alors le point dont le coefficient est non nul.
Est-ce que l'ordre des points change le barycentre ?
Non, l'ensemble ${(A, \alpha), (B, \beta)}$ est le même que ${(B, \beta), (A, \alpha)}$.
💡 À retenir : L'ordre n'a aucune importance.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soient $A(1, -2)$ et $B(3, 4)$. Déterminer les coordonnées du barycentre $G$ du système ${(A, 2), (B, 1)}$.
Soient A et B deux points du plan et α,β∈R tels que α+β=0. Le point G est le barycentre du système {(A,α),(B,β)} si :
αGA+βGB=0
Pour tout point M du plan, on a la relation : MG=α+βαMA+βMB.
Si α=β, G est le milieu du segment [AB] (isobarycentre).
Méthodes à maîtriser
Construction géométrique : Utiliser la relation AG=α+ββAB.
Calcul des coordonnées : xG=α+βαxA+βxB et yG=α+βαyA+βyB.
Réduction de somme vectorielle : Transformer αMA+βMB en (α+β)MG.
Exemples corrigés
Soient A(1,2) et B(3,0) avec α=1,β=3.
xG=1+31(1)+3(3)=410=2,5.
yG=1+31(2)+3(0)=42=0,5.
Donc G(2,5;0,5).
Erreurs fréquentes
Oublier la condition α+β=0.
Inverser les coefficients dans la formule des coordonnées.
Confondre le barycentre avec le milieu quand les coefficients ne sont pas égaux.
Le barycentre de {(A,1),(B,1)} est :
Le milieu de [AB]
Si la somme des coefficients est nulle, le barycentre n'existe pas. Le vecteur αMA+βMB devient un vecteur constant (indépendant de M) et ne peut pas être nul.
💡 À retenir : La condition α+β=0 est obligatoire.
Pour trois points A,B,C avec des coefficients α,β,γ (α+β+γ=0), le point G vérifie :
αGA+βGB+γGC=0.
xG=α+β+γαxA+βxB+γxC.
💡 À retenir : La formule se généralise simplement en ajoutant les termes.
Non, le point G est unique dans le plan. La relation MG=α+βαMA+βMB est vraie pour n'importe quel point M du plan (l'origine, A, ou n'importe quel point).
💡 À retenir : G est fixe, seul le vecteur MG change selon M.
Oui, la définition est la même, mais comme nous sommes dans le programme de 1ère Bac Arts Appliqués, nous nous limitons au plan.
💡 À retenir : Les formules restent identiques en ajoutant la coordonnée z.
Si tu montres que G est le barycentre de A et B, alors par définition, les vecteurs AG et AB sont colinéaires, donc A,G et B sont alignés.
💡 À retenir : Barycentre = Alignement.
Oui, si G est le barycentre de {(A,α),(B,β)}, alors G est aussi le barycentre de {(A,kα),(B,kβ)} pour tout k=0.
💡 À retenir : Les coefficients sont proportionnels.
En utilisant la relation vectorielle AG=α+ββAB. Tu calcules les coordonnées du vecteur AB, tu multiplies par le rapport, puis tu ajoutes les coordonnées de A.
💡 À retenir : La méthode vectorielle est souvent plus rapide.
Oui, si l'un des coefficients est nul (mais la somme doit être non nulle). Par exemple, si β=0, alors G=A.
💡 À retenir : Le barycentre est alors le point dont le coefficient est non nul.
Non, l'ensemble {(A,α),(B,β)} est le même que {(B,β),(A,α)}.
💡 À retenir : L'ordre n'a aucune importance.
Exercice 1
Soient A(1,−2) et B(3,4). Déterminer les coordonnées du barycentre G du système {(A,2),(B,1)}.
Exercice 2
Soient A et B deux points distincts. Construire le point G barycentre de {(A,1),(B,3)}.
Exercice 3
Soient A,B,C trois points du plan. Montrer que le barycentre G de {(A,1),(B,1),(C,1)} est le centre de gravité du triangle ABC.