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Trigonométrie 1 (Règles du calcul trigonométrique)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Cercle trigonométrique : Cercle de centre $O$ et de rayon $R=1$ muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .
Abscisses curvilignes : Tout point $M$ sur le cercle est repéré par un réel $x$ tel que $M$ est l'image de $x$ . Si $x$ est une abscisse, alors $x + 2k\pi$ (avec $k \in \mathbb{Z}$ ) est aussi une abscisse du même point.
Mesure principale : C'est l'unique abscisse curviligne appartenant à l'intervalle $]-\pi, \pi]$ .
Relations fondamentales :
- $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$
- $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ et $-1 \leq \sin(x) \leq 1$
- $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ (pour $\cos(x) \neq 0$ )
Angles associés :
- Opposés : $\cos(-x) = \cos(x)$ et $\sin(-x) = -\sin(x)$
- Supplémentaires : $\cos(\pi-x) = -\cos(x)$ et $\sin(\pi-x) = \sin(x)$
- Complémentaires : $\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin(x)$ et $\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos(x)$

Méthodes à maîtriser

Trouver la mesure principale : Diviser $x$ par $2\pi$ , trouver le multiple de $2\pi$ le plus proche, puis soustraire.
Calculer les rapports trigonométriques : Utiliser les relations fondamentales quand on connaît l'un des rapports et l'intervalle de $x$ .
Simplifier des expressions : Utiliser les formules des angles associés pour réduire les expressions complexes.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Mesure principale de $\frac{13\pi}{3}$ . $\frac{13\pi}{3} = \frac{12\pi + \pi}{3} = 4\pi + \frac{\pi}{3}$ . La mesure principale est $\frac{\pi}{3}$ .
Exemple 2 : Sachant $\cos(x) = \frac{1}{2}$ et $x \in ]0, \frac{\pi}{2}[$ , calculer $\sin(x)$ . $\sin^2(x) = 1 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4}$ . Comme $x \in ]0, \frac{\pi}{2}[$ , $\sin(x) > 0$ , donc $\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $\cos^2(x)$ signifie $(\cos(x))^2$ .
Confondre le signe lors de l'utilisation des angles associés (ex: $\cos(\pi-x) = \cos(x)$ est faux).
Ne pas vérifier l'intervalle pour déterminer le signe du sinus ou cosinus.

L'essentiel du cours

Cercle trigonométrique : Cercle de centre $O$ et de rayon $R=1$ muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
Abscisses curvilignes : Tout point $M$ sur le cercle est repéré par un réel $x$ tel que $M$ est l'image de $x$. Si $x$ est une abscisse, alors $x + 2k\pi$ (avec $k \in \mathbb{Z}$) est aussi une abscisse du même point.
Mesure principale : C'est l'unique abscisse curviligne appartenant à l'intervalle $]-\pi, \pi]$.
Relations fondamentales :
- $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$
- $-1 \leq \cos(x) \leq 1$ et $-1 \leq \sin(x) \leq 1$
- $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ (pour $\cos(x) \neq 0$)
Angles associés :
- Opposés : $\cos(-x) = \cos(x)$ et $\sin(-x) = -\sin(x)$
- Supplémentaires : $\cos(\pi-x) = -\cos(x)$ et $\sin(\pi-x) = \sin(x)$
- Complémentaires : $\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin(x)$ et $\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos(x)$

Méthodes à maîtriser

Trouver la mesure principale : Diviser $x$ par $2\pi$, trouver le multiple de $2\pi$ le plus proche, puis soustraire.
Calculer les rapports trigonométriques : Utiliser les relations fondamentales quand on connaît l'un des rapports et l'intervalle de $x$.
Simplifier des expressions : Utiliser les formules des angles associés pour réduire les expressions complexes.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Mesure principale de $\frac{13\pi}{3}$. $\frac{13\pi}{3} = \frac{12\pi + \pi}{3} = 4\pi + \frac{\pi}{3}$. La mesure principale est $\frac{\pi}{3}$.
Exemple 2 : Sachant $\cos(x) = \frac{1}{2}$ et $x \in ]0, \frac{\pi}{2}[$, calculer $\sin(x)$. $\sin^2(x) = 1 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4}$. Comme $x \in ]0, \frac{\pi}{2}[$, $\sin(x) > 0$, donc $\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $\cos^2(x)$ signifie $(\cos(x))^2$.
Confondre le signe lors de l'utilisation des angles associés (ex: $\cos(\pi-x) = \cos(x)$ est faux).
Ne pas vérifier l'intervalle pour déterminer le signe du sinus ou cosinus.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Trigonométrie 1 (Règles du calcul trigonométrique)

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Quelle est la mesure principale de $\frac{17\pi}{2}$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach tan(x) positif aw salib?

Ça dépend du quadrant. $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ . Si $\sin$ et $\cos$ ont le même signe, $\tan$ est positif. S'ils ont des signes opposés, $\tan$ est négatif.

💡 À retenir : $\tan$ est positif dans les quadrants 1 et 3.

Ça dépend du quadrant. $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Si $\sin$ et $\cos$ ont le même signe, $\tan$ est positif. S'ils ont des signes opposés, $\tan$ est négatif.

💡 À retenir : $\tan$ est positif dans les quadrants 1 et 3.

C'est quoi la différence entre un degré et un radian ?

Le degré divise le cercle en 360 parts, tandis que le radian est basé sur le rayon du cercle. Un radian est l'angle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon. La relation est $180^\circ = \pi$ rad.

💡 À retenir : Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par $\frac{\pi}{180}$ .

💡 À retenir : Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par $\frac{\pi}{180}$.

Kifach n7seb l'abscisse curviligne principale dyal chi 3adad kbir?

Divise ton nombre par $2\pi$ .
Trouve l'entier $k$ le plus proche du résultat.
Soustrais $2k\pi$ du nombre initial.

💡 À retenir : Le résultat doit toujours être dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$ .

Divise ton nombre par $2\pi$.
Trouve l'entier $k$ le plus proche du résultat.
Soustrais $2k\pi$ du nombre initial.

💡 À retenir : Le résultat doit toujours être dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$.

Est-ce que tan(x) peut être égal à 2 ?

Oui, la tangente peut prendre n'importe quelle valeur réelle dans $]-\infty, +\infty[$ , contrairement au sinus et cosinus qui sont bloqués entre -1 et 1.

💡 À retenir : $\tan(x)$ n'est défini que si $\cos(x) \neq 0$ .

Oui, la tangente peut prendre n'importe quelle valeur réelle dans $]-\infty, +\infty[$, contrairement au sinus et cosinus qui sont bloqués entre -1 et 1.

💡 À retenir : $\tan(x)$ n'est défini que si $\cos(x) \neq 0$.

Chno hiya l'3ala9a bin cos(x) o sin(x)?

C'est la relation fondamentale : $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ . Elle vient directement du théorème de Pythagore appliqué dans le cercle trigonométrique.

💡 À retenir : Cette formule est indispensable pour trouver un rapport si on connaît l'autre.

C'est la relation fondamentale : $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$. Elle vient directement du théorème de Pythagore appliqué dans le cercle trigonométrique.

💡 À retenir : Cette formule est indispensable pour trouver un rapport si on connaît l'autre.

Pourquoi cos(-x) = cos(x) ?

Sur le cercle trigonométrique, si tu prends un angle $x$ et son opposé $-x$ , ils ont la même abscisse sur l'axe des $x$ .

💡 À retenir : La fonction cosinus est dite "paire".

Sur le cercle trigonométrique, si tu prends un angle $x$ et son opposé $-x$, ils ont la même abscisse sur l'axe des $x$.

💡 À retenir : La fonction cosinus est dite "paire".

Kifach n3ref wach l'angle f l'intervalle [0, pi/2] aw la?

Regarde le signe de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ . Si les deux sont positifs, l'angle est dans le premier quadrant, donc entre $0$ et $\pi/2$ .

💡 À retenir : Utilise le cercle trigonométrique pour visualiser les signes des quadrants.

Regarde le signe de $\cos(x)$ et $\sin(x)$. Si les deux sont positifs, l'angle est dans le premier quadrant, donc entre $0$ et $\pi/2$.

💡 À retenir : Utilise le cercle trigonométrique pour visualiser les signes des quadrants.

Est-ce que sin(pi + x) = sin(x) ?

Non, c'est faux. $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$ . Le point est diamétralement opposé sur le cercle, donc le sinus change de signe.

💡 À retenir : Apprends bien le cercle pour ne pas confondre les signes.

Non, c'est faux. $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$. Le point est diamétralement opposé sur le cercle, donc le sinus change de signe.

💡 À retenir : Apprends bien le cercle pour ne pas confondre les signes.

Comment simplifier cos(frac{pi}{2} + x) ?

On utilise les angles associés : $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x)$ .

💡 À retenir : $\frac{\pi}{2}$ change le cos en sin et inversement.

On utilise les angles associés : $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin(x)$.

💡 À retenir : $\frac{\pi}{2}$ change le cos en sin et inversement.

Est-ce que tan(x) = tan(x + pi) ?

Oui, la fonction tangente est périodique de période $\pi$ .

💡 À retenir : $\tan(x + k\pi) = \tan(x)$ pour tout $k \in \mathbb{Z}$ .

Oui, la fonction tangente est périodique de période $\pi$.

💡 À retenir : $\tan(x + k\pi) = \tan(x)$ pour tout $k \in \mathbb{Z}$.

Chno l'far9 bin l'abscisse curviligne o l'abscisse curviligne principale ?

L'abscisse curviligne est n'importe quel nombre $x + 2k\pi$ . L'abscisse principale est l'unique valeur parmi elles qui se trouve dans $]-\pi, \pi]$ .

💡 À retenir : Il n'y a qu'une seule mesure principale.

L'abscisse curviligne est n'importe quel nombre $x + 2k\pi$. L'abscisse principale est l'unique valeur parmi elles qui se trouve dans $]-\pi, \pi]$.

💡 À retenir : Il n'y a qu'une seule mesure principale.

Est-ce que cos^2(x) = cos(x^2) ?

Absolument pas. $\cos^2(x)$ veut dire $(\cos(x)) \times (\cos(x))$ , alors que $\cos(x^2)$ est le cosinus du carré de l'angle.

💡 À retenir : Ne confonds jamais la notation du carré.

Absolument pas. $\cos^2(x)$ veut dire $(\cos(x)) \times (\cos(x))$, alors que $\cos(x^2)$ est le cosinus du carré de l'angle.

💡 À retenir : Ne confonds jamais la notation du carré.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Déterminer la mesure principale de $x = \frac{25\pi}{4}$ .
Simplifier l'expression $A = \cos(\pi - x) + \cos(\pi + x) + \sin(\frac{\pi}{2} - x)$ .

Exercice 1

Déterminer la mesure principale de $x = \frac{25\pi}{4}$.
Simplifier l'expression $A = \cos(\pi - x) + \cos(\pi + x) + \sin(\frac{\pi}{2} - x)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $x \in ]\pi, \frac{3\pi}{2}[$ tel que $\cos(x) = -\frac{4}{5}$ . Calculer $\sin(x)$ et $\tan(x)$ .

Exercice 2

Soit $x \in ]\pi, \frac{3\pi}{2}[$ tel que $\cos(x) = -\frac{4}{5}$. Calculer $\sin(x)$ et $\tan(x)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi\}$ : $1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$ .

Exercice 3

Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus {\frac{\pi}{2} + k\pi}$ : $1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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