📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Soient $(\Delta)$ une droite et $(\Delta')$ une droite sécante à $(\Delta)$ en $O$. Soit $(D)$ une direction non parallèle à $(\Delta)$. La projection d'un point $M$ sur $(\Delta)$ parallèlement à $(D)$ est le point $M'$ intersection de $(\Delta)$ et de la droite passant par $M$ et parallèle à $(D)$.
- Si $(D)$ est perpendiculaire à $(\Delta)$, on parle de projection orthogonale.
- Propriété fondamentale : La projection conserve le milieu. Si $I$ est le milieu de $[AB]$, alors $I'$ (projeté de $I$) est le milieu de $[A'B']$ (projetés de $A$ et $B$).
- Théorème de Thalès : Si $M$ et $N$ sont deux points, alors $\frac{M'N'}{MN} = k$ (rapport constant).
Méthodes à maîtriser
- Construire le projeté d'un point : Tracer la droite passant par le point, parallèle à la direction donnée, jusqu'à l'intersection avec la droite cible.
- Utiliser la conservation du milieu : Pour prouver qu'un point est un milieu, projeter les points connus sur une droite où le milieu est évident.
- Appliquer Thalès : Utiliser les rapports de projection pour calculer des distances inconnues.
Exemples corrigés
Exemple : Soit $ABC$ un triangle. Soit $I$ le milieu de $[AB]$. La parallèle à $(BC)$ passant par $I$ coupe $(AC)$ en $J$.
- $J$ est le projeté de $I$ sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$.
- Comme $I$ est milieu de $[AB]$, alors $J$ est milieu de $[AC]$ (conservation du milieu).
Erreurs fréquentes
- Oublier de préciser la direction de la projection (sauf si elle est orthogonale).
- Confondre la projection orthogonale avec une projection quelconque.
- Penser que la projection conserve les distances (elle ne conserve que les rapports de distances).