Mathématiques · Tronc Commun — Technologique

L'ordre dans IR

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Comparaison : Pour comparer $a$ et $b$ , on étudie le signe de $a - b$ . Si $a - b \geq 0$ , alors $a \geq b$ .
Propriétés de l'ordre :
- Si $a \leq b$ et $c \leq d$ , alors $a+c \leq b+d$ .
- Si $0 \leq a \leq b$ et $0 \leq c \leq d$ , alors $ac \leq bd$ .
- Si $a \leq b$ , alors $-a \geq -b$ .
Valeur absolue : $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$ . Propriété : $|x| \leq a \iff -a \leq x \leq a$ (pour $a > 0$ ).
Encadrement : Si $a \leq x \leq b$ et $c \leq y \leq d$ , alors $a+c \leq x+y \leq b+d$ .

Méthodes à maîtriser

Étudier le signe de la différence pour comparer deux expressions.
Utiliser l'encadrement pour borner une expression complexe.
Résoudre des inéquations avec valeur absolue en utilisant les intervalles.

Exemples corrigés

Comparer $x^2$ et $x$ pour $x \in [0, 1]$ : $x^2 - x = x(x-1)$ . Comme $x \geq 0$ et $x-1 \leq 0$ , alors $x^2 - x \leq 0$ , donc $x^2 \leq x$ .
Encadrer $x+y$ si $2 \leq x \leq 3$ et $-1 \leq y \leq 4$ : $2+(-1) \leq x+y \leq 3+4 \implies 1 \leq x+y \leq 7$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens de l'inégalité lors de la multiplication par un nombre négatif.
Croire que $|a+b| = |a| + |b|$ (c'est faux en général).
Mal gérer les bornes lors de l'intersection ou la réunion d'intervalles.

L'essentiel du cours

Comparaison : Pour comparer $a$ et $b$, on étudie le signe de $a - b$. Si $a - b \geq 0$, alors $a \geq b$.
Propriétés de l'ordre :
- Si $a \leq b$ et $c \leq d$, alors $a+c \leq b+d$.
- Si $0 \leq a \leq b$ et $0 \leq c \leq d$, alors $ac \leq bd$.
- Si $a \leq b$, alors $-a \geq -b$.
Valeur absolue : $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$. Propriété : $|x| \leq a \iff -a \leq x \leq a$ (pour $a > 0$).
Encadrement : Si $a \leq x \leq b$ et $c \leq y \leq d$, alors $a+c \leq x+y \leq b+d$.

Méthodes à maîtriser

Étudier le signe de la différence pour comparer deux expressions.
Utiliser l'encadrement pour borner une expression complexe.
Résoudre des inéquations avec valeur absolue en utilisant les intervalles.

Exemples corrigés

Comparer $x^2$ et $x$ pour $x \in [0, 1]$ : $x^2 - x = x(x-1)$. Comme $x \geq 0$ et $x-1 \leq 0$, alors $x^2 - x \leq 0$, donc $x^2 \leq x$.
Encadrer $x+y$ si $2 \leq x \leq 3$ et $-1 \leq y \leq 4$ : $2+(-1) \leq x+y \leq 3+4 \implies 1 \leq x+y \leq 7$.

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens de l'inégalité lors de la multiplication par un nombre négatif.
Croire que $|a+b| = |a| + |b|$ (c'est faux en général).
Mal gérer les bornes lors de l'intersection ou la réunion d'intervalles.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 L'ordre dans IR

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Si $x \leq y$ , alors :

Si $x \leq y$, alors :

❓ Questions fréquentes

Kifach n9aren joj a3dad b7al a o b ila kano fihom l-racine carré ?

Kanchofo l'isigne dyal $a-b$ .
Ila kan l-far9 s3ib, kanchofo l-far9 dyal l-morabba3at dyalhom ( $a^2 - b^2$ ) ila kano $a$ o $b$ moujabine.
Ila kan $a^2 - b^2 \geq 0$ , alors $a \geq b$ .

💡 À retenir : Pour les racines carrées, le passage au carré facilite souvent le calcul du signe.

Kanchofo l'isigne dyal $a-b$.
Ila kan l-far9 s3ib, kanchofo l-far9 dyal l-morabba3at dyalhom ($a^2 - b^2$) ila kano $a$ o $b$ moujabine.
Ila kan $a^2 - b^2 \geq 0$, alors $a \geq b$.

💡 À retenir : Pour les racines carrées, le passage au carré facilite souvent le calcul du signe.

Chno hiya l-far9 bin l-majmo3a [a, b] o ]a, b[ ?

$[a, b]$ (fermé) kaysmiw majal moussad, ya3ni $a$ o $b$ dakhlin f l-majmo3a.
$]a, b[$ (ouvert) kaysmiw majal maftouh, ya3ni $a$ o $b$ makaynin-ch f l-majmo3a.

💡 À retenir : Les crochets tournés vers l'extérieur signifient que la borne n'est pas incluse.

$[a, b]$ (fermé) kaysmiw majal moussad, ya3ni $a$ o $b$ dakhlin f l-majmo3a.
$]a, b[$ (ouvert) kaysmiw majal maftouh, ya3ni $a$ o $b$ makaynin-ch f l-majmo3a.

💡 À retenir : Les crochets tournés vers l'extérieur signifient que la borne n'est pas incluse.

Kifach n7seb l-intersection dyal joj majalat I = [1, 5] o J = [3, 7] ?

L-intersection hiya l-blassa li mchtaraka binathom.
Kanakhdo l-akbar dyal les bornes sgharat (3) o l-asghar dyal les bornes kbarat (5).
Donc $I \cap J = [3, 5]$ .

💡 À retenir : L'intersection est l'ensemble des éléments qui appartiennent aux deux intervalles en même temps.

L-intersection hiya l-blassa li mchtaraka binathom.
Kanakhdo l-akbar dyal les bornes sgharat (3) o l-asghar dyal les bornes kbarat (5).
Donc $I \cap J = [3, 5]$.

💡 À retenir : L'intersection est l'ensemble des éléments qui appartiennent aux deux intervalles en même temps.

Pourquoi on change le sens de l'inégalité quand on multiplie par un nombre négatif ?

C'est une règle fondamentale de l'ordre dans $\mathbb{R}$ .
Exemple : $2 < 5$ . Si on multiplie par $-1$ , on obtient $-2$ et $-5$ .
Comme $-2 > -5$ , le sens change obligatoirement pour garder la vérité mathématique.

💡 À retenir : La multiplication par un réel strictement négatif inverse toujours le sens de l'inégalité.

C'est une règle fondamentale de l'ordre dans $\mathbb{R}$.
Exemple : $2 < 5$. Si on multiplie par $-1$, on obtient $-2$ et $-5$.
Comme $-2 > -5$, le sens change obligatoirement pour garder la vérité mathématique.

💡 À retenir : La multiplication par un réel strictement négatif inverse toujours le sens de l'inégalité.

Est-ce que |x| = -x est toujours vrai ?

Non, c'est vrai seulement si $x \leq 0$ .
Si $x > 0$ , alors $|x| = x$ .
La définition de la valeur absolue est $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$ .

💡 À retenir : La valeur absolue d'un nombre est toujours positive ou nulle.

Non, c'est vrai seulement si $x \leq 0$.
Si $x > 0$, alors $|x| = x$.
La définition de la valeur absolue est $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$.

💡 À retenir : La valeur absolue d'un nombre est toujours positive ou nulle.

Comment encadrer 1/x si 2 leq x leq 4 ?

La fonction inverse est décroissante sur $]0, +\infty[$ .
Donc, on inverse les bornes : $1/4 \leq 1/x \leq 1/2$ .

💡 À retenir : L'inversion des nombres positifs change l'ordre des bornes.

La fonction inverse est décroissante sur $]0, +\infty[$.
Donc, on inverse les bornes : $1/4 \leq 1/x \leq 1/2$.

💡 À retenir : L'inversion des nombres positifs change l'ordre des bornes.

Comment montrer que x^2 + 1 geq 2x ?

On calcule la différence : $(x^2 + 1) - 2x$ .
On reconnaît une identité remarquable : $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$ .
Comme tout carré est positif, $(x-1)^2 \geq 0$ , donc $x^2 + 1 \geq 2x$ .

💡 À retenir : La mise sous forme canonique ou identité remarquable est une technique puissante.

On calcule la différence : $(x^2 + 1) - 2x$.
On reconnaît une identité remarquable : $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.
Comme tout carré est positif, $(x-1)^2 \geq 0$, donc $x^2 + 1 \geq 2x$.

💡 À retenir : La mise sous forme canonique ou identité remarquable est une technique puissante.

Est-ce que |a-b| = |b-a| ?

Oui, c'est vrai.
La distance entre $a$ et $b$ est la même que la distance entre $b$ et $a$ .
$|-(b-a)| = |-1| \times |b-a| = 1 \times |b-a| = |b-a|$ .

💡 À retenir : La valeur absolue est symétrique.

Oui, c'est vrai.
La distance entre $a$ et $b$ est la même que la distance entre $b$ et $a$.
$|-(b-a)| = |-1| \times |b-a| = 1 \times |b-a| = |b-a|$.

💡 À retenir : La valeur absolue est symétrique.

Comment déterminer l'union de deux intervalles disjoints ?

L'union est l'ensemble des éléments qui sont dans l'un ou l'autre.
Si les intervalles sont disjoints, on les écrit simplement séparés par le symbole $\cup$ .
Exemple : $[1, 2] \cup [4, 5]$ .

💡 À retenir : L'union ne fusionne pas les intervalles s'ils ne se chevauchent pas.

L'union est l'ensemble des éléments qui sont dans l'un ou l'autre.
Si les intervalles sont disjoints, on les écrit simplement séparés par le symbole $\cup$.
Exemple : $[1, 2] \cup [4, 5]$.

💡 À retenir : L'union ne fusionne pas les intervalles s'ils ne se chevauchent pas.

Qu'est-ce qu'un nombre majoré ?

Un ensemble $A$ est majoré s'il existe un nombre $M$ tel que pour tout $x \in A$ , $x \leq M$ .
Le nombre $M$ est appelé un majorant.

💡 À retenir : Un ensemble peut avoir une infinité de majorants.

Un ensemble $A$ est majoré s'il existe un nombre $M$ tel que pour tout $x \in A$, $x \leq M$.
Le nombre $M$ est appelé un majorant.

💡 À retenir : Un ensemble peut avoir une infinité de majorants.

Comment résoudre |x| < 3 ?

$|x| < 3$ signifie que la distance entre $x$ et $0$ est inférieure à $3$ .
Cela revient à dire que $x$ est compris entre $-3$ et $3$ .
La solution est l'intervalle $]-3, 3[$ .

💡 À retenir : $|x| < a$ avec $a>0$ équivaut à $-a < x < a$ .

$|x| < 3$ signifie que la distance entre $x$ et $0$ est inférieure à $3$.
Cela revient à dire que $x$ est compris entre $-3$ et $3$.
La solution est l'intervalle $]-3, 3[$.

💡 À retenir : $|x| < a$ avec $a>0$ équivaut à $-a < x < a$.

Peut-on soustraire deux inégalités ?

Non, il ne faut jamais soustraire des inégalités.
Si on veut faire $a-b$ , on transforme la soustraction en addition : $a + (-b)$ .
On encadre d'abord $-b$ puis on additionne.

💡 À retenir : On additionne les inégalités de même sens, on ne les soustrait jamais.

Non, il ne faut jamais soustraire des inégalités.
Si on veut faire $a-b$, on transforme la soustraction en addition : $a + (-b)$.
On encadre d'abord $-b$ puis on additionne.

💡 À retenir : On additionne les inégalités de même sens, on ne les soustrait jamais.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $1 \leq x \leq 2$ et $-3 \leq y \leq -2$ . Encadrer les expressions suivantes :

$x + y$
$x - y$
$xy$

Exercice 1

Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $1 \leq x \leq 2$ et $-3 \leq y \leq -2$. Encadrer les expressions suivantes :

$x + y$
$x - y$
$xy$

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Exercice 2

Comparer les nombres $A = \sqrt{5} + \sqrt{2}$ et $B = \sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$ .

Exercice 2

Comparer les nombres $A = \sqrt{5} + \sqrt{2}$ et $B = \sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$.

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Exercice 3

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Montrer que $|x-2| \leq 1 \iff 1 \leq x \leq 3$ .

Exercice 3

Soit $x \in \mathbb{R}$. Montrer que $|x-2| \leq 1 \iff 1 \leq x \leq 3$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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