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Calcul vectoriel dans le plan

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Vecteur $\vec{AB}$ : Défini par sa direction (droite $(AB)$ ), son sens (de $A$ vers $B$ ) et sa norme $\|\vec{AB}\| = AB$ .
Égalité : $\vec{AB} = \vec{CD}$ si et seulement si $[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu.
Relation de Chasles : Pour tous points $A, B, C$ : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ .
Coordonnées : Si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ , alors $\vec{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A)$ .
Colinéarité : $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x', y')$ sont colinéaires si $xy' - x'y = 0$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer les coordonnées d'un vecteur : Soustraire les coordonnées de l'origine de celles de l'extrémité.
Démontrer un parallélogramme : Montrer que $\vec{AB} = \vec{DC}$ .
Vérifier l'alignement : Montrer que $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.
Trouver le milieu : $I = \text{milieu de } [AB] \iff I\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)$ .

Exemples corrigés

Somme : Soient $\vec{u}(2, 3)$ et $\vec{v}(-1, 4)$ . Alors $\vec{u}+\vec{v} = (2-1, 3+4) = (1, 7)$ .
Colinéarité : $\vec{u}(1, 2)$ et $\vec{v}(2, 4)$ . $1 \times 4 - 2 \times 2 = 4 - 4 = 0$ . Ils sont colinéaires.

Erreurs fréquentes

Confondre le vecteur $\vec{AB}$ avec la distance $AB$ .
Oublier le signe moins lors du calcul des coordonnées (ex: $x_B - x_A$ ).
Appliquer la relation de Chasles dans le mauvais ordre.

L'essentiel du cours

Vecteur $\vec{AB}$ : Défini par sa direction (droite $(AB)$), son sens (de $A$ vers $B$) et sa norme $|\vec{AB}| = AB$.
Égalité : $\vec{AB} = \vec{CD}$ si et seulement si $[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu.
Relation de Chasles : Pour tous points $A, B, C$ : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Coordonnées : Si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$, alors $\vec{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A)$.
Colinéarité : $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x', y')$ sont colinéaires si $xy' - x'y = 0$.

Méthodes à maîtriser

Calculer les coordonnées d'un vecteur : Soustraire les coordonnées de l'origine de celles de l'extrémité.
Démontrer un parallélogramme : Montrer que $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Vérifier l'alignement : Montrer que $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.
Trouver le milieu : $I = \text{milieu de } [AB] \iff I\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

Exemples corrigés

Somme : Soient $\vec{u}(2, 3)$ et $\vec{v}(-1, 4)$. Alors $\vec{u}+\vec{v} = (2-1, 3+4) = (1, 7)$.
Colinéarité : $\vec{u}(1, 2)$ et $\vec{v}(2, 4)$. $1 \times 4 - 2 \times 2 = 4 - 4 = 0$. Ils sont colinéaires.

Erreurs fréquentes

Confondre le vecteur $\vec{AB}$ avec la distance $AB$.
Oublier le signe moins lors du calcul des coordonnées (ex: $x_B - x_A$).
Appliquer la relation de Chasles dans le mauvais ordre.

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🎯 Calcul vectoriel dans le plan

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Si $\vec{u}(2, -3)$ et $\vec{v}(-4, 6)$ , alors :

Si $\vec{u}(2, -3)$ et $\vec{v}(-4, 6)$, alors :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach 3 dyal noqat mstaqimiya (alignés) ?

Calcule les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .
Calcule le déterminant : $det(\vec{AB}, \vec{AC}) = x_{AB} \times y_{AC} - y_{AB} \times x_{AC}$ .
Si le résultat est 0, alors les vecteurs sont colinéaires et les points sont alignés.

💡 À retenir : La colinéarité de deux vecteurs partageant un point commun prouve l'alignement.

Calcule les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
Calcule le déterminant : $det(\vec{AB}, \vec{AC}) = x_{AB} \times y_{AC} - y_{AB} \times x_{AC}$.
Si le résultat est 0, alors les vecteurs sont colinéaires et les points sont alignés.

💡 À retenir : La colinéarité de deux vecteurs partageant un point commun prouve l'alignement.

C'est quoi la différence entre un vecteur et un segment ?

Un segment est une figure géométrique statique définie par deux extrémités.
Un vecteur est un objet mathématique qui possède une direction, un sens et une norme (longueur).

💡 À retenir : Le segment est une distance, le vecteur est un déplacement.

Chno hiya l-farq bin l-i7datiyat dyal noqta o l-i7datiyat dyal motajiha ?

Les coordonnées d'un point $(x, y)$ indiquent sa position par rapport à l'origine $O$ du repère.
Les coordonnées d'un vecteur $(x, y)$ indiquent la variation de déplacement (combien on avance en $x$ et en $y$ ).

💡 À retenir : Le point est une position, le vecteur est un mouvement.

Les coordonnées d'un point $(x, y)$ indiquent sa position par rapport à l'origine $O$ du repère.
Les coordonnées d'un vecteur $(x, y)$ indiquent la variation de déplacement (combien on avance en $x$ et en $y$).

💡 À retenir : Le point est une position, le vecteur est un mouvement.

Comment calculer les coordonnées du milieu d'un segment ?

Additionne les abscisses des deux points et divise par 2.
Additionne les ordonnées des deux points et divise par 2.
$M = (\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2})$ .

💡 À retenir : Le milieu est la moyenne des coordonnées.

Additionne les abscisses des deux points et divise par 2.
Additionne les ordonnées des deux points et divise par 2.
$M = (\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2})$.

💡 À retenir : Le milieu est la moyenne des coordonnées.

Est-ce que vec{AB} = vec{BA} ?

Non. $\vec{AB} = -\vec{BA}$ . Ils ont la même norme et la même direction, mais des sens opposés.

💡 À retenir : L'ordre des lettres change le sens du vecteur.

Non. $\vec{AB} = -\vec{BA}$. Ils ont la même norme et la même direction, mais des sens opposés.

💡 À retenir : L'ordre des lettres change le sens du vecteur.

Kifach n7seb l-monadom (norme) dyal motajiha vec{u}(x, y) ?

Utilise la formule : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .
N'oublie pas que le carré rend toujours le nombre positif.

💡 À retenir : La norme est toujours un nombre positif ou nul.

Utilise la formule : $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
N'oublie pas que le carré rend toujours le nombre positif.

💡 À retenir : La norme est toujours un nombre positif ou nul.

Peut-on additionner un point et un vecteur ?

Non, ce n'est pas défini. On peut seulement additionner deux vecteurs ou ajouter un vecteur à un point (ce qui donne un autre point).

💡 À retenir : Point + Vecteur = Point.

Si vec{u} = 2vec{v}, que peut-on dire ?

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, ils ont la même direction et le même sens.

💡 À retenir : Un scalaire positif conserve le sens.

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, ils ont la même direction et le même sens.

💡 À retenir : Un scalaire positif conserve le sens.

Comment montrer que ABCD est un parallélogramme ?

Montre que $\vec{AB} = \vec{DC}$ (attention à l'ordre des lettres).
Ou montre que $\vec{AB} = \vec{DC}$ en calculant leurs coordonnées.

💡 À retenir : $\vec{AB} = \vec{DC}$ signifie que les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

Montre que $\vec{AB} = \vec{DC}$ (attention à l'ordre des lettres).
Ou montre que $\vec{AB} = \vec{DC}$ en calculant leurs coordonnées.

💡 À retenir : $\vec{AB} = \vec{DC}$ signifie que les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

Est-ce que deux vecteurs colinéaires ont toujours la même norme ?

Non. Ils ont la même direction, mais leurs normes peuvent être différentes.

💡 À retenir : Colinéarité $\neq$ Égalité.

Non. Ils ont la même direction, mais leurs normes peuvent être différentes.

💡 À retenir : Colinéarité $\neq$ Égalité.

Comment trouver les coordonnées d'un point M tel que vec{AM} = vec{u} ?

Soit $M(x, y)$ .
$\vec{AM} = (x-x_A, y-y_A)$ .
Égalise avec les coordonnées de $\vec{u}(x_u, y_u)$ et résous les deux équations.

💡 À retenir : Une égalité vectorielle donne deux équations scalaires.

Soit $M(x, y)$.
$\vec{AM} = (x-x_A, y-y_A)$.
Égalise avec les coordonnées de $\vec{u}(x_u, y_u)$ et résous les deux équations.

💡 À retenir : Une égalité vectorielle donne deux équations scalaires.

Est-ce que le vecteur nul a une direction ?

Non, le vecteur nul $\vec{0}$ n'a pas de direction définie.

💡 À retenir : Le vecteur nul est le seul vecteur sans direction.

Non, le vecteur nul $\vec{0}$ n'a pas de direction définie.

💡 À retenir : Le vecteur nul est le seul vecteur sans direction.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient $A(1, 1)$ , $B(2, 3)$ et $C(4, 7)$ . Montrer que les points $A, B$ et $C$ sont alignés.

Exercice 1

Soient $A(1, 1)$, $B(2, 3)$ et $C(4, 7)$. Montrer que les points $A, B$ et $C$ sont alignés.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soient $A(1, 2)$ , $B(3, 4)$ et $C(5, 2)$ dans un repère orthonormé.

Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ .
Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

Exercice 2

Soient $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ et $C(5, 2)$ dans un repère orthonormé.

Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$.
Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $I$ le milieu de $[AB]$ avec $A(2, 4)$ et $B(6, 0)$ . Soit $M$ un point tel que $\vec{AM} = 3\vec{AB}$ . Trouver les coordonnées de $I$ et $M$ .

Exercice 3

Soit $I$ le milieu de $[AB]$ avec $A(2, 4)$ et $B(6, 0)$. Soit $M$ un point tel que $\vec{AM} = 3\vec{AB}$. Trouver les coordonnées de $I$ et $M$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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