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Équations, inéquations et systèmes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Équations du second degré ( $ax^2 + bx + c = 0$ )

Pour résoudre cette équation ( $a \neq 0$ ), on calcule le discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$

Si $\Delta > 0$ : Deux solutions réelles : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ .
Si $\Delta = 0$ : Une solution unique (double) : $x_0 = \frac{-b}{2a}$ .
Si $\Delta < 0$ : Pas de solution réelle ( $S = \emptyset$ ).

2. Signe du trinôme $ax^2 + bx + c$

Si $\Delta > 0$ : Le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe de $-a$ entre les racines.
Si $\Delta = 0$ : Le trinôme est du signe de $a$ partout, sauf en $x_0$ où il s'annule.
Si $\Delta < 0$ : Le trinôme est du signe de $a$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

3. Systèmes de deux équations à deux inconnues

Soit le système $(S) : \begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$ . On utilise le déterminant $D = \begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix} = ab' - a'b$ .

Si $D \neq 0$ : Le système admet un couple solution unique $(x, y)$ avec $x = \frac{D_x}{D}$ et $y = \frac{D_y}{D}$ .
Si $D = 0$ : Soit le système n'a pas de solution, soit il en a une infinité (à vérifier par substitution).

Méthodes à maîtriser

Résoudre une inéquation : Toujours passer par l'étude du signe (tableau de signe).
Méthode de substitution : Exprimer $x$ en fonction de $y$ dans une équation et remplacer dans l'autre.
Méthode de combinaison linéaire : Multiplier les équations par des nombres pour éliminer une inconnue par addition.

Exemples corrigés

Équation : $x^2 - 3x + 2 = 0$ . $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$ . $x_1 = \frac{3-1}{2} = 1$ , $x_2 = \frac{3+1}{2} = 2$ . $S = \{1, 2\}$ .
Système : $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$ . Par addition : $2x = 6 \Rightarrow x = 3$ . En remplaçant : $3 + y = 5 \Rightarrow y = 2$ . $S = \{(3, 2)\}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier le signe de $a$ dans un tableau de signe.
Confondre l'ensemble de solutions d'une équation (nombres isolés $\{ \}$ ) et d'une inéquation (intervalles $[ ]$ ).
Inverser les signes dans la formule de $\Delta$ ou des racines.
Écrire $S = (x, y)$ au lieu de $S = \{(x, y)\}$ pour un système.

L'essentiel du cours

1. Équations du second degré ($ax^2 + bx + c = 0$)

Pour résoudre cette équation ($a \neq 0$), on calcule le discriminant : $$\Delta = b^2 - 4ac$$

Si $\Delta > 0$ : Deux solutions réelles : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
Si $\Delta = 0$ : Une solution unique (double) : $x_0 = \frac{-b}{2a}$.
Si $\Delta < 0$ : Pas de solution réelle ($S = \emptyset$).

2. Signe du trinôme $ax^2 + bx + c$

Si $\Delta > 0$ : Le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe de $-a$ entre les racines.
Si $\Delta = 0$ : Le trinôme est du signe de $a$ partout, sauf en $x_0$ où il s'annule.
Si $\Delta < 0$ : Le trinôme est du signe de $a$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

3. Systèmes de deux équations à deux inconnues

Soit le système $(S) : \begin{cases} ax + by = c \ a'x + b'y = c' \end{cases}$. On utilise le déterminant $D = \begin{vmatrix} a & b \ a' & b' \end{vmatrix} = ab' - a'b$.

Si $D \neq 0$ : Le système admet un couple solution unique $(x, y)$ avec $x = \frac{D_x}{D}$ et $y = \frac{D_y}{D}$.
Si $D = 0$ : Soit le système n'a pas de solution, soit il en a une infinité (à vérifier par substitution).

Méthodes à maîtriser

Résoudre une inéquation : Toujours passer par l'étude du signe (tableau de signe).
Méthode de substitution : Exprimer $x$ en fonction de $y$ dans une équation et remplacer dans l'autre.
Méthode de combinaison linéaire : Multiplier les équations par des nombres pour éliminer une inconnue par addition.

Exemples corrigés

Équation : $x^2 - 3x + 2 = 0$. $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$. $x_1 = \frac{3-1}{2} = 1$, $x_2 = \frac{3+1}{2} = 2$. $S = {1, 2}$.
Système : $\begin{cases} x + y = 5 \ x - y = 1 \end{cases}$. Par addition : $2x = 6 \Rightarrow x = 3$. En remplaçant : $3 + y = 5 \Rightarrow y = 2$. $S = {(3, 2)}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier le signe de $a$ dans un tableau de signe.
Confondre l'ensemble de solutions d'une équation (nombres isolés ${ }$) et d'une inéquation (intervalles $[ ]$).
Inverser les signes dans la formule de $\Delta$ ou des racines.
Écrire $S = (x, y)$ au lieu de $S = {(x, y)}$ pour un système.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Équations, inéquations et systèmes

1/4

Quelle est la valeur du discriminant $\Delta$ pour l'équation $x^2 - x + 1 = 0$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb delta (Delta) bla ma nghlet f l-icharat?

Pour calculer $\Delta = b^2 - 4ac$ sans erreur :

Identifie clairement $a$ , $b$ , et $c$ avec leurs signes (ex: si on a $-x^2$ , alors $a = -1$ ).
Utilise toujours des parenthèses pour les nombres négatifs : $(-3)^2$ au lieu de $-3^2$ .
Calcule d'abord $b^2$ , puis le produit $4 \times a \times c$ , et enfin fais la soustraction.

💡 À retenir : Les parenthèses protègent ton calcul, surtout avec les signes moins.

Pour calculer $\Delta = b^2 - 4ac$ sans erreur :

Identifie clairement $a$, $b$, et $c$ avec leurs signes (ex: si on a $-x^2$, alors $a = -1$).
Utilise toujours des parenthèses pour les nombres négatifs : $(-3)^2$ au lieu de $-3^2$.
Calcule d'abord $b^2$, puis le produit $4 \times a \times c$, et enfin fais la soustraction.

💡 À retenir : Les parenthèses protègent ton calcul, surtout avec les signes moins.

Chno l-farq bin S = {1, 2} o S = [1, 2]?

$S = \{1, 2\}$ signifie que seuls les nombres 1 et 2 sont des solutions (cas d'une équation).
$S = [1, 2]$ signifie que TOUS les nombres entre 1 et 2 (comme 1,5 ou 1,99) sont des solutions (cas d'une inéquation).

💡 À retenir : Les accolades $\{ \}$ sont pour les listes, les crochets $[ ]$ sont pour les intervalles.

$S = {1, 2}$ signifie que seuls les nombres 1 et 2 sont des solutions (cas d'une équation).
$S = [1, 2]$ signifie que TOUS les nombres entre 1 et 2 (comme 1,5 ou 1,99) sont des solutions (cas d'une inéquation).

💡 À retenir : Les accolades ${ }$ sont pour les listes, les crochets $[ ]$ sont pour les intervalles.

Imta kandiro jadwal l-ichara (tableau de signe)?

On utilise le tableau de signe uniquement pour les inéquations ( $\le, \ge, <, >$ ) ou pour étudier la position d'une courbe. Pour une équation ( $=$ ), on n'en a pas besoin.

💡 À retenir : Inéquation = Tableau de signe obligatoire.

On utilise le tableau de signe uniquement pour les inéquations ($\le, \ge, <, >$) ou pour étudier la position d'une courbe. Pour une équation ($=$), on n'en a pas besoin.

💡 À retenir : Inéquation = Tableau de signe obligatoire.

Kifach n3ref wach l-nizama (système) 3andha 7al wa7id?

Il faut calculer le déterminant $D = ab' - a'b$ .

Si $D \neq 0$ , il y a une solution unique $(x, y)$ .
Si $D = 0$ , il y a soit zéro solution, soit une infinité.

💡 À retenir : Le déterminant $D$ est le "testeur" de solutions pour un système.

Il faut calculer le déterminant $D = ab' - a'b$.

Si $D \neq 0$, il y a une solution unique $(x, y)$.
Si $D = 0$, il y a soit zéro solution, soit une infinité.

💡 À retenir : Le déterminant $D$ est le "testeur" de solutions pour un système.

Chno hiya "double racine" melli Delta = 0?

C'est quand l'équation a une seule solution $x_0 = \frac{-b}{2a}$ . On l'appelle "double" car le facteur $(x - x_0)$ apparaît au carré dans la forme factorisée : $a(x - x_0)^2$ .

💡 À retenir : $\Delta = 0 \implies$ Une seule valeur de $x$ qui marche.

C'est quand l'équation a une seule solution $x_0 = \frac{-b}{2a}$. On l'appelle "double" car le facteur $(x - x_0)$ apparaît au carré dans la forme factorisée : $a(x - x_0)^2$.

💡 À retenir : $\Delta = 0 \implies$ Une seule valeur de $x$ qui marche.

Melli kankon f inéquation o nelqa Delta < 0, wach S = emptyset?

Pas forcément ! Si $\Delta < 0$ , le trinôme garde le même signe que $a$ partout.

Si tu cherches quand c'est $>0$ et que $a>0$ , alors $S = \mathbb{R}$ .
Si tu cherches quand c'est $<0$ et que $a>0$ , alors $S = \emptyset$ .

💡 À retenir : $\Delta < 0$ veut dire "pas de racines", mais le signe existe toujours.

Pas forcément ! Si $\Delta < 0$, le trinôme garde le même signe que $a$ partout.

Si tu cherches quand c'est $>0$ et que $a>0$, alors $S = \mathbb{R}$.
Si tu cherches quand c'est $<0$ et que $a>0$, alors $S = \emptyset$.

💡 À retenir : $\Delta < 0$ veut dire "pas de racines", mais le signe existe toujours.

Kifach n7el m3adala fiha l-metla9 (valeur absolue) |x-3| = 2?

Une équation $|A| = r$ (avec $r > 0$ ) se sépare en deux équations simples :

$x - 3 = 2 \implies x = 5$
$x - 3 = -2 \implies x = 1$ $S = \{1, 5\}$ .

💡 À retenir : La valeur absolue donne toujours deux pistes à explorer.

Une équation $|A| = r$ (avec $r > 0$) se sépare en deux équations simples :

$x - 3 = 2 \implies x = 5$
$x - 3 = -2 \implies x = 1$ $S = {1, 5}$.

💡 À retenir : La valeur absolue donne toujours deux pistes à explorer.

Est-ce qu'on peut utiliser la calculatrice pour trouver Delta?

Au Tronc Commun, tu dois montrer les étapes du calcul sur ta copie. Tu peux utiliser la calculatrice pour vérifier tes multiplications, mais rédige toujours la formule et les étapes.

💡 À retenir : Les étapes de calcul rapportent des points à l'examen.

Chno l-farq bin substitution o combinaison linéaire?

Substitution : Tu isoles une lettre (ex: $x = 5-y$ ) et tu la remplaces. C'est bien quand une lettre n'a pas de coefficient.
Combinaison : Tu multiplies les lignes pour éliminer une lettre en les additionnant. C'est plus rapide pour les systèmes compliqués.

💡 À retenir : Choisis la méthode où tu te sens le plus à l'aise.

Substitution : Tu isoles une lettre (ex: $x = 5-y$) et tu la remplaces. C'est bien quand une lettre n'a pas de coefficient.
Combinaison : Tu multiplies les lignes pour éliminer une lettre en les additionnant. C'est plus rapide pour les systèmes compliqués.

💡 À retenir : Choisis la méthode où tu te sens le plus à l'aise.

Kifach n7el m3adala fiha l-mora3ba3 x^4 - 5x^2 + 4 = 0?

C'est une équation bicarrée.

Pose $X = x^2$ .
L'équation devient $X^2 - 5X + 4 = 0$ .
Résous pour trouver $X_1$ et $X_2$ .
Reviens à $x$ en résolvant $x^2 = X_1$ et $x^2 = X_2$ .

💡 À retenir : Le changement de variable simplifie les puissances élevées.

C'est une équation bicarrée.

Pose $X = x^2$.
L'équation devient $X^2 - 5X + 4 = 0$.
Résous pour trouver $X_1$ et $X_2$.
Reviens à $x$ en résolvant $x^2 = X_1$ et $x^2 = X_2$.

💡 À retenir : Le changement de variable simplifie les puissances élevées.

Wach darouri n-rattab l-m3adala 9bel ma n7seb Delta?

Oui, absolument. Elle doit être sous la forme $ax^2 + bx + c = 0$ . Si tu as $x^2 + 5 = 3x$ , tu dois d'abord écrire $x^2 - 3x + 5 = 0$ .

💡 À retenir : Toujours tout mettre à gauche pour avoir $= 0$ .

Oui, absolument. Elle doit être sous la forme $ax^2 + bx + c = 0$. Si tu as $x^2 + 5 = 3x$, tu dois d'abord écrire $x^2 - 3x + 5 = 0$.

💡 À retenir : Toujours tout mettre à gauche pour avoir $= 0$.

Kifach n7el m3adala fiha l-kassr (fraction)?

Trouve l'ensemble de définition (le dénominateur ne doit pas être nul).
Réduis au même dénominateur ou fais un produit en croix pour éliminer les fractions.
Résous l'équation obtenue.

💡 À retenir : Attention aux valeurs interdites au début !

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $2x^2 - 7x + 3 = 0$ .
En déduire les solutions de l'inéquation : $2x^2 - 7x + 3 \le 0$ .

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $2x^2 - 7x + 3 = 0$.
En déduire les solutions de l'inéquation : $2x^2 - 7x + 3 \le 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système suivant en utilisant la méthode du déterminant : $(S) : \begin{cases} 3x + 2y = 1 \\ 2x - 3y = 18 \end{cases}$

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système suivant en utilisant la méthode du déterminant : $$(S) : \begin{cases} 3x + 2y = 1 \ 2x - 3y = 18 \end{cases}$$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Un rectangle a un périmètre de $28\text{ cm}$ et une aire de $48\text{ cm}^2$ . Déterminer les dimensions (longueur $L$ et largeur $l$ ) de ce rectangle.

Exercice 3

Un rectangle a un périmètre de $28\text{ cm}$ et une aire de $48\text{ cm}^2$. Déterminer les dimensions (longueur $L$ et largeur $l$) de ce rectangle.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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Autres chapitres de Mathématiques

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Équations, inéquations et systèmes

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Équations du second degré (ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0)

2. Signe du trinôme ax2+bx+cax^2 + bx + cax2+bx+c

3. Systèmes de deux équations à deux inconnues

Méthodes à maîtriser

Exemples corrigés

Erreurs fréquentes

L'essentiel du cours

1. Équations du second degré ($ax^2 + bx + c = 0$)

2. Signe du trinôme $ax^2 + bx + c$

3. Systèmes de deux équations à deux inconnues

Méthodes à maîtriser

Exemples corrigés

Erreurs fréquentes

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

❓ Questions fréquentes

✍️ Exercices type examen national

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L'essentiel du cours

1. Équations du second degré (ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0ax2+bx+c=0)

2. Signe du trinôme ax2+bx+cax^2 + bx + cax2+bx+c

3. Systèmes de deux équations à deux inconnues

Méthodes à maîtriser

Exemples corrigés

Erreurs fréquentes

1. Équations du second degré ( $ax^2 + bx + c = 0$ )

2. Signe du trinôme $ax^2 + bx + c$

1. Équations du second degré ( $ax^2 + bx + c = 0$ )

2. Signe du trinôme $ax^2 + bx + c$