Mathématiques · Tronc Commun — Technologique

Les polynômes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un polynôme $P(x)$ est une expression de la forme : $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ .

Degré : Le degré d'un polynôme non nul est le plus grand exposant $n$ tel que $a_n \neq 0$ . On note $\deg(P) = n$ .
Égalité : Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coefficients pour les mêmes puissances de $x$ .
Racine : $\alpha$ est une racine de $P$ si $P(\alpha) = 0$ .
Division euclidienne : Pour tout polynôme $P$ et tout polynôme non nul $A$ , il existe un unique couple $(Q, R)$ tel que $P(x) = A(x)Q(x) + R(x)$ avec $\deg(R) < \deg(A)$ .

Méthodes à maîtriser

Développer et réduire : Utiliser la distributivité et les identités remarquables.
Factoriser : Chercher un facteur commun ou utiliser les racines évidentes.
Division euclidienne : Poser la division comme une division classique de nombres pour trouver le quotient et le reste.
Utilisation des racines : Si $\alpha$ est racine de $P$ , alors $P(x)$ est divisible par $(x - \alpha)$ .

Exemples corrigés

Développement : $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$ .
Factorisation : $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ .
Division : Diviser $x^2 + 3x + 2$ par $(x+1)$ . On trouve $x+2$ avec un reste de $0$ .

Erreurs fréquentes

Confondre le degré d'un polynôme avec la valeur numérique.
Oublier de changer les signes lors de la soustraction dans la division euclidienne.
Croire que si $P(\alpha) = 0$ et $P(\beta) = 0$ , alors $P(x) = (x-\alpha)(x-\beta)$ est toujours vrai (attention au coefficient dominant).

L'essentiel du cours

Un polynôme $P(x)$ est une expression de la forme : $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$.

Degré : Le degré d'un polynôme non nul est le plus grand exposant $n$ tel que $a_n \neq 0$. On note $\deg(P) = n$.
Égalité : Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coefficients pour les mêmes puissances de $x$.
Racine : $\alpha$ est une racine de $P$ si $P(\alpha) = 0$.
Division euclidienne : Pour tout polynôme $P$ et tout polynôme non nul $A$, il existe un unique couple $(Q, R)$ tel que $P(x) = A(x)Q(x) + R(x)$ avec $\deg(R) < \deg(A)$.

Méthodes à maîtriser

Développer et réduire : Utiliser la distributivité et les identités remarquables.
Factoriser : Chercher un facteur commun ou utiliser les racines évidentes.
Division euclidienne : Poser la division comme une division classique de nombres pour trouver le quotient et le reste.
Utilisation des racines : Si $\alpha$ est racine de $P$, alors $P(x)$ est divisible par $(x - \alpha)$.

Exemples corrigés

Développement : $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$.
Factorisation : $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.
Division : Diviser $x^2 + 3x + 2$ par $(x+1)$. On trouve $x+2$ avec un reste de $0$.

Erreurs fréquentes

Confondre le degré d'un polynôme avec la valeur numérique.
Oublier de changer les signes lors de la soustraction dans la division euclidienne.
Croire que si $P(\alpha) = 0$ et $P(\beta) = 0$, alors $P(x) = (x-\alpha)(x-\beta)$ est toujours vrai (attention au coefficient dominant).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Les polynômes

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Quel est le degré de $P(x) = (x^2+1)(x-3)$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si un polynôme est divisible par un autre ?

Un polynôme $P$ est divisible par $A$ si le reste de la division euclidienne de $P$ par $A$ est égal à 0.

💡 À retenir : On dit alors que $A$ est un facteur de $P$ .

Un polynôme $P$ est divisible par $A$ si le reste de la division euclidienne de $P$ par $A$ est égal à 0.

💡 À retenir : On dit alors que $A$ est un facteur de $P$.

C'est quoi la différence entre un polynôme et une équation ?

Un polynôme est une expression algébrique (comme $x^2 + 2x + 1$ ), c'est un objet mathématique. Une équation est une égalité qui contient une inconnue (comme $x^2 + 2x + 1 = 0$ ). On cherche les valeurs de $x$ qui rendent l'équation vraie.

💡 À retenir : Le polynôme est l'expression, l'équation est la condition.

Un polynôme est une expression algébrique (comme $x^2 + 2x + 1$), c'est un objet mathématique. Une équation est une égalité qui contient une inconnue (comme $x^2 + 2x + 1 = 0$). On cherche les valeurs de $x$ qui rendent l'équation vraie.

💡 À retenir : Le polynôme est l'expression, l'équation est la condition.

Kifach n3ref degré dyal chi polynôme ila kan mkhreb ?

Développe d'abord toutes les parenthèses.
Regroupe les termes de même puissance.
Le degré est le plus grand exposant qui reste avec un coefficient non nul.

💡 À retenir : Il faut toujours simplifier l'expression avant de lire le degré.

Est-ce que le degré d'un produit est la somme des degrés ?

Oui, si $P$ et $Q$ sont deux polynômes non nuls, alors $\deg(P \times Q) = \deg(P) + \deg(Q)$ .

💡 À retenir : C'est une règle très utile pour vérifier tes calculs.

Oui, si $P$ et $Q$ sont deux polynômes non nuls, alors $\deg(P \times Q) = \deg(P) + \deg(Q)$.

💡 À retenir : C'est une règle très utile pour vérifier tes calculs.

Chno hiya "racine évidente" o kifach nlqaha ?

Une racine évidente est une valeur simple que tu testes mentalement pour voir si le polynôme s'annule. Teste toujours : $0, 1, -1, 2, -2$ .

💡 À retenir : Si la somme des coefficients est 0, alors 1 est racine.

Une racine évidente est une valeur simple que tu testes mentalement pour voir si le polynôme s'annule. Teste toujours : $0, 1, -1, 2, -2$.

💡 À retenir : Si la somme des coefficients est 0, alors 1 est racine.

Kifach n7seb l'reste dyal division bla ma ndir l'opération kamla ?

Si tu divises $P(x)$ par $(x - \alpha)$ , le reste est simplement égal à $P(\alpha)$ . C'est le théorème du reste.

💡 À retenir : C'est beaucoup plus rapide que la division euclidienne.

Si tu divises $P(x)$ par $(x - \alpha)$, le reste est simplement égal à $P(\alpha)$. C'est le théorème du reste.

💡 À retenir : C'est beaucoup plus rapide que la division euclidienne.

Est-ce que 0 peut être une racine ?

Oui, si le terme constant ( $a_0$ ) est égal à 0. Par exemple, dans $P(x) = x^2 + 3x$ , $P(0) = 0$ .

💡 À retenir : Si $P(0) = 0$ , alors $x$ est un facteur commun.

Oui, si le terme constant ($a_0$) est égal à 0. Par exemple, dans $P(x) = x^2 + 3x$, $P(0) = 0$.

💡 À retenir : Si $P(0) = 0$, alors $x$ est un facteur commun.

Pourquoi on dit que le polynôme nul n'a pas de degré ?

Parce que dans le polynôme nul, tous les coefficients sont zéro. On ne peut pas définir le "plus grand exposant" car il n'y a aucun terme non nul.

💡 À retenir : Par convention, on dit parfois qu'il est de degré $-\infty$ .

Parce que dans le polynôme nul, tous les coefficients sont zéro. On ne peut pas définir le "plus grand exposant" car il n'y a aucun terme non nul.

💡 À retenir : Par convention, on dit parfois qu'il est de degré $-\infty$.

Wach momkin nqsmo 3la chi haja li degré dyalha kbar men lpolynôme ?

Oui, mais le quotient sera 0 et le reste sera le polynôme lui-même. La règle dit $\deg(R) < \deg(A)$ , donc si $\deg(A) > \deg(P)$ , alors $P = 0 \times A + P$ .

💡 À retenir : La division s'arrête dès que le degré du reste est inférieur au degré du diviseur.

Oui, mais le quotient sera 0 et le reste sera le polynôme lui-même. La règle dit $\deg(R) < \deg(A)$, donc si $\deg(A) > \deg(P)$, alors $P = 0 \times A + P$.

💡 À retenir : La division s'arrête dès que le degré du reste est inférieur au degré du diviseur.

Est-ce que les coefficients doivent être des entiers ?

Non, les coefficients peuvent être n'importe quel nombre réel ( $\mathbb{R}$ ). Ils peuvent être des fractions, des racines carrées, etc.

💡 À retenir : Le programme de Tronc Commun se limite aux coefficients dans $\mathbb{R}$ .

Non, les coefficients peuvent être n'importe quel nombre réel ($\mathbb{R}$). Ils peuvent être des fractions, des racines carrées, etc.

💡 À retenir : Le programme de Tronc Commun se limite aux coefficients dans $\mathbb{R}$.

C'est quoi un polynôme irréductible ?

C'est un polynôme qu'on ne peut pas factoriser davantage en utilisant des polynômes de degré inférieur (dans $\mathbb{R}$ ). Par exemple, $x^2 + 1$ est irréductible dans $\mathbb{R}$ car il n'a pas de racine réelle.

💡 À retenir : Si un polynôme de degré 2 n'a pas de racines, il ne peut pas être factorisé.

C'est un polynôme qu'on ne peut pas factoriser davantage en utilisant des polynômes de degré inférieur (dans $\mathbb{R}$). Par exemple, $x^2 + 1$ est irréductible dans $\mathbb{R}$ car il n'a pas de racine réelle.

💡 À retenir : Si un polynôme de degré 2 n'a pas de racines, il ne peut pas être factorisé.

Est-ce que l'ordre des termes change le polynôme ?

Non, l'addition est commutative. $x^2 + 3x + 2$ est exactement la même chose que $2 + 3x + x^2$ .

💡 À retenir : On écrit généralement les polynômes par puissances décroissantes.

Non, l'addition est commutative. $x^2 + 3x + 2$ est exactement la même chose que $2 + 3x + x^2$.

💡 À retenir : On écrit généralement les polynômes par puissances décroissantes.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ .

Calculer $P(1)$ . Que peut-on en déduire ?
Effectuer la division euclidienne de $P(x)$ par $(x-1)$ .
Factoriser $P(x)$ en produit de trois polynômes de degré 1.

Exercice 1

Soit $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.

Calculer $P(1)$. Que peut-on en déduire ?
Effectuer la division euclidienne de $P(x)$ par $(x-1)$.
Factoriser $P(x)$ en produit de trois polynômes de degré 1.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $x^2 + 5x + 6 = (x+a)(x+b)$ .

Exercice 2

Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $x^2 + 5x + 6 = (x+a)(x+b)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 5x + 6$ . Montrer que $(x-1)$ est un facteur de $P(x)$ et déterminer le quotient.

Exercice 3

Soit $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 5x + 6$. Montrer que $(x-1)$ est un facteur de $P(x)$ et déterminer le quotient.

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