Mathématiques · Prépa concours post-bac — ISPITS (paramédical)

Probabilités

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Univers ( $\Omega$ ) : Ensemble des résultats possibles.
Probabilité ( $P$ ) : Application définie sur $\mathcal{P}(\Omega)$ telle que $P(\Omega)=1$ et pour tout $A, B$ incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .
Équiprobabilité : Si tous les événements élémentaires sont équiprobables, $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$ .
Probabilité conditionnelle : $P_A(B) = P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ avec $P(A) > 0$ .
Indépendance : $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .
Variable aléatoire ( $X$ ) : Application de $\Omega$ vers $\mathbb{R}$ .
Espérance : $E(X) = \sum_{i=1}^n x_i P(X=x_i)$ .

Méthodes à maîtriser

Utiliser le dénombrement (arrangements, combinaisons) pour calculer $P(A)$ .
Utiliser l'arbre pondéré pour les probabilités conditionnelles.
Appliquer la formule des probabilités totales : $P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \bar{A})$ .
Vérifier l'indépendance par le calcul $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ .

Exemples corrigés

Tirage : Dans une urne de 10 boules (4 rouges, 6 noires), tirer 2 boules simultanément. $P(\text{2 rouges}) = \frac{C_4^2}{C_{10}^2} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$ .
Conditionnelle : $P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A \cap B)=0.2$ . $P_A(B) = \frac{0.2}{0.5} = 0.4$ . Comme $P_A(B) = P(B)$ , $A$ et $B$ sont indépendants.

Erreurs fréquentes

Confondre tirage avec remise (indépendant) et sans remise (dépendant).
Oublier que la somme des probabilités d'un système complet est égale à 1.
Utiliser $C_n^k$ quand l'ordre compte (il faut utiliser $A_n^k$ ou $n^k$ ).

L'essentiel du cours

Univers ($\Omega$) : Ensemble des résultats possibles.
Probabilité ($P$) : Application définie sur $\mathcal{P}(\Omega)$ telle que $P(\Omega)=1$ et pour tout $A, B$ incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
Équiprobabilité : Si tous les événements élémentaires sont équiprobables, $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$.
Probabilité conditionnelle : $P_A(B) = P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ avec $P(A) > 0$.
Indépendance : $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
Variable aléatoire ($X$) : Application de $\Omega$ vers $\mathbb{R}$.
Espérance : $E(X) = \sum_{i=1}^n x_i P(X=x_i)$.

Méthodes à maîtriser

Utiliser le dénombrement (arrangements, combinaisons) pour calculer $P(A)$.
Utiliser l'arbre pondéré pour les probabilités conditionnelles.
Appliquer la formule des probabilités totales : $P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \bar{A})$.
Vérifier l'indépendance par le calcul $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.

Exemples corrigés

Tirage : Dans une urne de 10 boules (4 rouges, 6 noires), tirer 2 boules simultanément. $P(\text{2 rouges}) = \frac{C_4^2}{C_{10}^2} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$.
Conditionnelle : $P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A \cap B)=0.2$. $P_A(B) = \frac{0.2}{0.5} = 0.4$. Comme $P_A(B) = P(B)$, $A$ et $B$ sont indépendants.

Erreurs fréquentes

Confondre tirage avec remise (indépendant) et sans remise (dépendant).
Oublier que la somme des probabilités d'un système complet est égale à 1.
Utiliser $C_n^k$ quand l'ordre compte (il faut utiliser $A_n^k$ ou $n^k$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Probabilités

1/4

Si $P(A)=0.3$ et $P(B)=0.4$ avec $A, B$ indépendants, alors $P(A \cap B)$ est :

❓ Questions fréquentes

1. C'est quoi la différence entre tirage simultané et successif ?

Le tirage simultané utilise les combinaisons ( $C_n^k$ ) car l'ordre n'importe pas. Le tirage successif sans remise utilise les arrangements ( $A_n^k$ ) car l'ordre compte.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison. Successif = Arrangement.

Le tirage simultané utilise les combinaisons ($C_n^k$) car l'ordre n'importe pas. Le tirage successif sans remise utilise les arrangements ($A_n^k$) car l'ordre compte.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison. Successif = Arrangement.

2. Kifach n3ref wach l-a7dat moustaqila wla la ?

Pour savoir si deux événements $A$ et $B$ sont indépendants, tu dois vérifier si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ . Si l'égalité est vraie, ils sont indépendants.

💡 À retenir : Indépendance = Produit des probabilités.

Pour savoir si deux événements $A$ et $B$ sont indépendants, tu dois vérifier si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Si l'égalité est vraie, ils sont indépendants.

💡 À retenir : Indépendance = Produit des probabilités.

3. Est-ce que P(A cup B) est toujours égal à P(A) + P(B) ?

Non, seulement si $A$ et $B$ sont incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ). Sinon, la formule est $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

💡 À retenir : Ne pas oublier de soustraire l'intersection.

Non, seulement si $A$ et $B$ sont incompatibles ($A \cap B = \emptyset$). Sinon, la formule est $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

💡 À retenir : Ne pas oublier de soustraire l'intersection.

4. Chno hiya l-far9 bin l-i7timal l-charTi w l-i7timal l-3adi ?

L'i7timal l-3adi kay-t7seb 3la l-univers kaml. L-i7timal l-charTi kay-t7seb ghir 3la wa7d l-partie mn l-univers (li 3rfna bli wa93a).

💡 À retenir : Le conditionnel réduit l'univers de travail.

5. Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire ?

Tu multiplies chaque valeur possible $x_i$ par sa probabilité $P(X=x_i)$ , puis tu fais la somme de tous ces produits.

💡 À retenir : $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ .

Tu multiplies chaque valeur possible $x_i$ par sa probabilité $P(X=x_i)$, puis tu fais la somme de tous ces produits.

💡 À retenir : $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$.

6. Kifach n7seb l-i7timal dyal l-7adath l-mou3akiss ?

C'est très simple : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ . C'est utile quand le calcul de $P(A)$ est trop long.

💡 À retenir : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ .

C'est très simple : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$. C'est utile quand le calcul de $P(A)$ est trop long.

💡 À retenir : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

7. Peut-on avoir une probabilité supérieure à 1 ?

Jamais. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 inclus. Si tu trouves plus, vérifie tes calculs.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$ .

Jamais. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 inclus. Si tu trouves plus, vérifie tes calculs.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$.

8. C'est quoi un système complet d'événements ?

C'est un ensemble d'événements qui sont deux à deux incompatibles et dont la réunion est l'univers $\Omega$ .

💡 À retenir : Somme des probabilités = 1.

C'est un ensemble d'événements qui sont deux à deux incompatibles et dont la réunion est l'univers $\Omega$.

💡 À retenir : Somme des probabilités = 1.

9. Quand utiliser la formule des probabilités totales ?

Quand tu veux calculer la probabilité d'un événement $B$ qui dépend de plusieurs cas possibles (ex: $A$ et $\bar{A}$ ).

💡 À retenir : $P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \bar{A})$ .

Quand tu veux calculer la probabilité d'un événement $B$ qui dépend de plusieurs cas possibles (ex: $A$ et $\bar{A}$).

💡 À retenir : $P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \bar{A})$.

10. La variance peut-elle être négative ?

Non, la variance est une somme de carrés pondérés, elle est toujours positive ou nulle.

💡 À retenir : $V(X) \geq 0$ .

Non, la variance est une somme de carrés pondérés, elle est toujours positive ou nulle.

💡 À retenir : $V(X) \geq 0$.

11. Quelle est la différence entre P(A|B) et P(B|A) ?

$P(A|B)$ est la probabilité de $A$ sachant $B$ est réalisé. $P(B|A)$ est la probabilité de $B$ sachant $A$ est réalisé. Ils sont différents sauf cas particulier.

💡 À retenir : L'ordre compte dans la condition.

$P(A|B)$ est la probabilité de $A$ sachant $B$ est réalisé. $P(B|A)$ est la probabilité de $B$ sachant $A$ est réalisé. Ils sont différents sauf cas particulier.

💡 À retenir : L'ordre compte dans la condition.

12. Comment savoir si on doit utiliser Cn^k ou An^k ?

Si l'énoncé dit "simultanément" ou "sans ordre", utilise $C_n^k$ . Si l'énoncé dit "successivement" ou "avec ordre", utilise $A_n^k$ (ou $n^k$ avec remise).

💡 À retenir : Ordre = Arrangement, Pas d'ordre = Combinaison.

Si l'énoncé dit "simultanément" ou "sans ordre", utilise $C_n^k$. Si l'énoncé dit "successivement" ou "avec ordre", utilise $A_n^k$ (ou $n^k$ avec remise).

💡 À retenir : Ordre = Arrangement, Pas d'ordre = Combinaison.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 5 boules blanches et 3 boules noires. On tire 2 boules simultanément.

Calculer le nombre de tirages possibles.
Calculer la probabilité de tirer 2 boules blanches.
Calculer la probabilité de tirer une boule de chaque couleur.

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Exercice 2

Un test médical détecte une maladie chez 95% des malades et chez 2% des personnes saines. La maladie touche 1% de la population.

Calculer la probabilité qu'une personne soit malade et testée positive.
Calculer la probabilité qu'une personne soit testée positive.

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Exercice 3

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $\{-1, 0, 1\}$ avec $P(X=-1)=0.2, P(X=0)=0.5, P(X=1)=0.3$ .

Calculer l'espérance $E(X)$ .
Calculer la variance $V(X)$ .

Exercice 3

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs ${-1, 0, 1}$ avec $P(X=-1)=0.2, P(X=0)=0.5, P(X=1)=0.3$.

Calculer l'espérance $E(X)$.
Calculer la variance $V(X)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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