Mathématiques · Prépa concours post-bac — ISPITS (paramédical)

Statistiques descriptives

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La statistique descriptive permet de résumer des données.

Moyenne ( $\bar{x}$ ) : $\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i x_i$ où $n_i$ est l'effectif et $x_i$ la valeur.
Médiane ( $Me$ ) : Valeur qui partage la série en deux effectifs égaux. Si $N$ est pair, on prend la moyenne des deux valeurs centrales.
Variance ( $V$ ) : $V = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \bar{x})^2 = \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i x_i^2 \right) - \bar{x}^2$ .
Écart-type ( $\sigma$ ) : $\sigma = \sqrt{V}$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul de la moyenne : Toujours vérifier que la somme des fréquences est égale à 1.
Détermination de la médiane : Utiliser le tableau des effectifs cumulés croissants.
Calcul de la variance : Utiliser la formule de König-Huygens (la deuxième formule ci-dessus) pour simplifier les calculs.

Exemples corrigés

Exemple : Soit la série {2, 2, 5, 7}. $N=4$ .

Moyenne : $\bar{x} = \frac{2+2+5+7}{4} = 4$ .
Variance : $V = \frac{2^2+2^2+5^2+7^2}{4} - 4^2 = \frac{4+4+25+49}{4} - 16 = 20,5 - 16 = 4,5$ .
Écart-type : $\sigma = \sqrt{4,5} \approx 2,12$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de multiplier par l'effectif $n_i$ lors du calcul de la moyenne.
Confondre l'effectif total $N$ avec le nombre de valeurs distinctes $k$ .
Ne pas ordonner les valeurs avant de chercher la médiane.

L'essentiel du cours

La statistique descriptive permet de résumer des données.

Moyenne ($\bar{x}$) : $\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i x_i$ où $n_i$ est l'effectif et $x_i$ la valeur.
Médiane ($Me$) : Valeur qui partage la série en deux effectifs égaux. Si $N$ est pair, on prend la moyenne des deux valeurs centrales.
Variance ($V$) : $V = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \bar{x})^2 = \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} n_i x_i^2 \right) - \bar{x}^2$.
Écart-type ($\sigma$) : $\sigma = \sqrt{V}$.

Méthodes à maîtriser

Calcul de la moyenne : Toujours vérifier que la somme des fréquences est égale à 1.
Détermination de la médiane : Utiliser le tableau des effectifs cumulés croissants.
Calcul de la variance : Utiliser la formule de König-Huygens (la deuxième formule ci-dessus) pour simplifier les calculs.

Exemples corrigés

Exemple : Soit la série {2, 2, 5, 7}. $N=4$.

Moyenne : $\bar{x} = \frac{2+2+5+7}{4} = 4$.
Variance : $V = \frac{2^2+2^2+5^2+7^2}{4} - 4^2 = \frac{4+4+25+49}{4} - 16 = 20,5 - 16 = 4,5$.
Écart-type : $\sigma = \sqrt{4,5} \approx 2,12$.

Erreurs fréquentes

Oublier de multiplier par l'effectif $n_i$ lors du calcul de la moyenne.
Confondre l'effectif total $N$ avec le nombre de valeurs distinctes $k$.
Ne pas ordonner les valeurs avant de chercher la médiane.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Statistiques descriptives

1/4

Quelle est la somme des fréquences d'une série ?

❓ Questions fréquentes

Si on ajoute une constante à toutes les valeurs, que devient la moyenne ?

La nouvelle moyenne est égale à l'ancienne moyenne plus cette constante. L'écart-type, lui, ne change pas.

💡 À retenir : La translation ne modifie pas la dispersion.

Kifach n7seb l'écart-type ila kan 3ndi tableau?

7seb l'moyenne $\bar{x}$ b tari9a l3adiya.
7seb l'variance $V$ b l'formule $V = \frac{\sum n_i x_i^2}{N} - \bar{x}^2$ .
Dir ljadr lmorabba3 l'variance bach t9a $\sigma$ .

💡 À retenir : L'écart-type howa l'mesure dyal tchatout dyal l9iyam 3la l'moyenne.

7seb l'moyenne $\bar{x}$ b tari9a l3adiya.
7seb l'variance $V$ b l'formule $V = \frac{\sum n_i x_i^2}{N} - \bar{x}^2$.
Dir ljadr lmorabba3 l'variance bach t9a $\sigma$.

💡 À retenir : L'écart-type howa l'mesure dyal tchatout dyal l9iyam 3la l'moyenne.

Wach l'moyen dima khassha tkoun wahed men l9iyam li 3ndna?

La, l'moyenne machi darouri tkoun wahed men l9iyam. Par exemple, l'moyenne dyal 1 o 4 hiya 2,5, o 2,5 makaynach f l'ensemble dyalna.

💡 À retenir : L'moyenne hiya 9ima 7isabiya machi 9ima li katn9elha mn l'tableau.

Chno lfar9 bin l'mode o l'médiane?

L'mode (l'minwal) howa l9ima li 3ndha akbar effectif (li t3awdat bezzaf).
L'médiane (l'wasatiya) hiya l9ima li katssem l'effectif total 3la jouj.

💡 À retenir : L'mode katchouf l'effectif, l'médiane katchouf l'effectif cumulé.

Comment interpréter un écart-type petit ?

Un écart-type petit signifie que les valeurs de la série sont très regroupées autour de la moyenne. La dispersion est faible.

💡 À retenir : Plus l'écart-type est proche de 0, plus la série est homogène.

Peut-on avoir une médiane égale à la moyenne ?

Oui, c'est le cas pour les séries symétriques, comme {1, 2, 3, 4, 5} où la moyenne est 3 et la médiane est 3.

💡 À retenir : Dans une distribution parfaitement symétrique, moyenne et médiane coïncident.

Pourquoi utilise-t-on la variance au lieu de l'écart-type ?

La variance est mathématiquement plus facile à manipuler (pas de racine carrée), mais l'écart-type est plus utile car il a la même unité que les données.

💡 À retenir : L'écart-type est la mesure de dispersion la plus utilisée car elle est "lisible".

Comment calculer la médiane si l'effectif total est pair ?

Si $N$ est pair, on prend la moyenne des deux valeurs situées aux rangs $N/2$ et $(N/2)+1$ .

💡 À retenir : La médiane est la valeur centrale qui coupe l'effectif en deux parties égales.

Si $N$ est pair, on prend la moyenne des deux valeurs situées aux rangs $N/2$ et $(N/2)+1$.

💡 À retenir : La médiane est la valeur centrale qui coupe l'effectif en deux parties égales.

Est-ce que l'étendue dépend de toutes les valeurs ?

Non, l'étendue ne dépend que des deux valeurs extrêmes (le maximum et le minimum). Elle est donc très sensible aux valeurs aberrantes.

💡 À retenir : L'étendue donne une idée rapide mais imprécise de la dispersion.

Kifach n3ref wach l'tableau li 3ndi fih des classes?

Ila chfti f l'tableau des intervalles بحال [0, 10[, [10, 20[, 3ndek des classes. Khassk tkhdem b centre dyal kol classe.

💡 À retenir : Centre de classe = (borne inf + borne sup) / 2.

La somme des écarts à la moyenne est-elle toujours nulle ?

Oui, $\sum n_i (x_i - \bar{x}) = 0$ . C'est une propriété fondamentale de la moyenne arithmétique.

💡 À retenir : La moyenne est le point d'équilibre de la série.

Oui, $\sum n_i (x_i - \bar{x}) = 0$. C'est une propriété fondamentale de la moyenne arithmétique.

💡 À retenir : La moyenne est le point d'équilibre de la série.

L'écart-type peut-il être négatif ?

Non, l'écart-type est par définition une racine carrée, donc il est toujours positif ou nul.

💡 À retenir : Un écart-type négatif est une erreur de calcul.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit la série statistique suivante : {10, 12, 12, 14, 16, 18, 20}.

Calculer la moyenne.
Déterminer la médiane.
Calculer l'étendue.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un groupe de 10 patients a le nombre de jours d'hospitalisation suivant : Valeurs ( $x_i$ ) : 2, 5, 8 Effectifs ( $n_i$ ) : 3, 5, 2 Calculer la variance et l'écart-type.

Exercice 2

Un groupe de 10 patients a le nombre de jours d'hospitalisation suivant : Valeurs ($x_i$) : 2, 5, 8 Effectifs ($n_i$) : 3, 5, 2 Calculer la variance et l'écart-type.

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Exercice 3

Soit une série avec des classes : [0, 5[ (effectif 10), [5, 10[ (effectif 20), [10, 15[ (effectif 10). Calculer la moyenne.

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