Mathématiques · Prépa concours post-bac — ISPITS (paramédical)

Nombres complexes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Forme algébrique : $z = a + ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$ .
Conjugué : $\bar{z} = a - ib$ . Propriétés : $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$ , $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$ .
Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Propriétés : $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$ , $|z^n| = |z|^n$ .
Argument : $\arg(z) \equiv \theta [2\pi]$ . Propriétés : $\arg(z \cdot z') \equiv \arg(z) + \arg(z') [2\pi]$ .
Forme exponentielle : $z = r e^{i\theta}$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$ .

Méthodes à maîtriser

Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique (calculer $r$ , puis factoriser par $r$ ).
Résoudre $az^2 + bz + c = 0$ avec $\Delta = b^2 - 4ac$ . Si $\Delta < 0$ , les racines sont $\frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ .
Utiliser les complexes pour la géométrie : $AB = |z_B - z_A|$ et $(\vec{u}, \vec{AB}) \equiv \arg\left(\frac{z_B - z_A}{z_A}\right) [2\pi]$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : $z = 1 + i$ . $|z| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ . $z = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$ .
Exemple 2 : Résoudre $z^2 - 2z + 2 = 0$ . $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 = (2i)^2$ . Solutions : $z_1 = \frac{2-2i}{2} = 1-i$ et $z_2 = 1+i$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le $i$ dans la formule des racines quand $\Delta < 0$ .
Confondre $\arg(z_1 + z_2)$ avec $\arg(z_1) + \arg(z_2)$ (ce qui est faux).
Ne pas mettre le modulo $2\pi$ après un argument.

L'essentiel du cours

Forme algébrique : $z = a + ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$.
Conjugué : $\bar{z} = a - ib$. Propriétés : $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$, $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$.
Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Propriétés : $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$, $|z^n| = |z|^n$.
Argument : $\arg(z) \equiv \theta [2\pi]$. Propriétés : $\arg(z \cdot z') \equiv \arg(z) + \arg(z') [2\pi]$.
Forme exponentielle : $z = r e^{i\theta}$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg(z)$.

Méthodes à maîtriser

Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique (calculer $r$, puis factoriser par $r$).
Résoudre $az^2 + bz + c = 0$ avec $\Delta = b^2 - 4ac$. Si $\Delta < 0$, les racines sont $\frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$.
Utiliser les complexes pour la géométrie : $AB = |z_B - z_A|$ et $(\vec{u}, \vec{AB}) \equiv \arg\left(\frac{z_B - z_A}{z_A}\right) [2\pi]$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $z = 1 + i$. $|z| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. $z = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$.
Exemple 2 : Résoudre $z^2 - 2z + 2 = 0$. $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 = (2i)^2$. Solutions : $z_1 = \frac{2-2i}{2} = 1-i$ et $z_2 = 1+i$.

Erreurs fréquentes

Oublier le $i$ dans la formule des racines quand $\Delta < 0$.
Confondre $\arg(z_1 + z_2)$ avec $\arg(z_1) + \arg(z_2)$ (ce qui est faux).
Ne pas mettre le modulo $2\pi$ après un argument.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Nombres complexes

1/4

Le module de $z = 3i$ est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre le module et l'argument ?

Le module $|z|$ représente la distance entre l'origine et le point $M(z)$ . C'est toujours un nombre réel positif.
L'argument $\arg(z)$ représente la mesure de l'angle orienté entre l'axe réel et le vecteur $\vec{OM}$ .

💡 À retenir : Le module donne la "taille" (longueur), l'argument donne la "direction" (angle).

Le module $|z|$ représente la distance entre l'origine et le point $M(z)$. C'est toujours un nombre réel positif.
L'argument $\arg(z)$ représente la mesure de l'angle orienté entre l'axe réel et le vecteur $\vec{OM}$.

💡 À retenir : Le module donne la "taille" (longueur), l'argument donne la "direction" (angle).

Kifach n7seb l'module dyal z = -3 - 3i ?

Identifie $a = -3$ et $b = -3$ .
Applique la formule $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ .
$|z| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ .

💡 À retenir : Le module est toujours positif, même si les coordonnées sont négatives.

Identifie $a = -3$ et $b = -3$.
Applique la formule $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
$|z| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

💡 À retenir : Le module est toujours positif, même si les coordonnées sont négatives.

Est-ce que bar{z} = -z est toujours vrai ?

Non, c'est faux. $\bar{z} = -z$ est vrai seulement si $z$ est un imaginaire pur (de la forme $ib$ ). Si $z = a+ib$ , alors $\bar{z} = a-ib$ et $-z = -a-ib$ .

💡 À retenir : $\bar{z} = z$ si $z \in \mathbb{R}$ et $\bar{z} = -z$ si $z \in i\mathbb{R}$ .

Non, c'est faux. $\bar{z} = -z$ est vrai seulement si $z$ est un imaginaire pur (de la forme $ib$). Si $z = a+ib$, alors $\bar{z} = a-ib$ et $-z = -a-ib$.

💡 À retenir : $\bar{z} = z$ si $z \in \mathbb{R}$ et $\bar{z} = -z$ si $z \in i\mathbb{R}$.

Chno hiya l'fayda dyal l'forme exponentielle ?

L'forme exponentielle $z = re^{i\theta}$ facilite énormément les calculs de puissances et de produits. Par exemple, pour calculer $z^n$ , on fait $(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$ .

💡 À retenir : C'est l'outil le plus puissant pour les calculs complexes.

L'forme exponentielle $z = re^{i\theta}$ facilite énormément les calculs de puissances et de produits. Par exemple, pour calculer $z^n$, on fait $(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$.

💡 À retenir : C'est l'outil le plus puissant pour les calculs complexes.

Comment savoir si trois points sont alignés avec les complexes ?

Trois points $A, B, C$ sont alignés si le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un nombre réel.

💡 À retenir : Si le rapport est réel, l'angle est nul ou $\pi$ , donc les points sont alignés.

Trois points $A, B, C$ sont alignés si le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un nombre réel.

💡 À retenir : Si le rapport est réel, l'angle est nul ou $\pi$, donc les points sont alignés.

Kifach n3ref l'angle dyal rotation ?

Dans une écriture de type $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$ , le nombre $\theta$ est l'angle de la rotation et $\omega$ est l'affixe du centre.

💡 À retenir : L'angle est l'argument du nombre complexe qui multiplie $(z-\omega)$ .

Dans une écriture de type $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$, le nombre $\theta$ est l'angle de la rotation et $\omega$ est l'affixe du centre.

💡 À retenir : L'angle est l'argument du nombre complexe qui multiplie $(z-\omega)$.

Est-ce que |z1 + z2| = |z1| + |z2| ?

En général, non. C'est l'inégalité triangulaire : $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ . L'égalité n'a lieu que si les vecteurs sont colinéaires et de même sens.

💡 À retenir : Ne jamais distribuer le module sur une somme !

En général, non. C'est l'inégalité triangulaire : $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$. L'égalité n'a lieu que si les vecteurs sont colinéaires et de même sens.

💡 À retenir : Ne jamais distribuer le module sur une somme !

Comment trouver la racine carrée d'un nombre complexe ?

Pour trouver $z$ tel que $z^2 = a+ib$ , on pose $z = x+iy$ , on développe $(x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy = a+ib$ , puis on résout le système : $x^2-y^2=a$ , $2xy=b$ et $x^2+y^2 = \sqrt{a^2+b^2}$ .

💡 À retenir : Utilise toujours le système des trois équations.

Pour trouver $z$ tel que $z^2 = a+ib$, on pose $z = x+iy$, on développe $(x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy = a+ib$, puis on résout le système : $x^2-y^2=a$, $2xy=b$ et $x^2+y^2 = \sqrt{a^2+b^2}$.

💡 À retenir : Utilise toujours le système des trois équations.

Pourquoi on utilise i ?

On utilise $i$ pour résoudre des équations qui n'ont pas de solution dans $\mathbb{R}$ , comme $z^2 = -1$ . Cela permet de compléter l'ensemble des nombres réels.

💡 À retenir : $i$ est défini par $i^2 = -1$ .

On utilise $i$ pour résoudre des équations qui n'ont pas de solution dans $\mathbb{R}$, comme $z^2 = -1$. Cela permet de compléter l'ensemble des nombres réels.

💡 À retenir : $i$ est défini par $i^2 = -1$.

Est-ce que l'argument est unique ?

Non, l'argument est défini à $2k\pi$ près. Si $\theta$ est un argument, alors $\theta + 2k\pi$ (avec $k \in \mathbb{Z}$ ) est aussi un argument.

💡 À retenir : On parle souvent de "l'argument principal" dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$ .

Non, l'argument est défini à $2k\pi$ près. Si $\theta$ est un argument, alors $\theta + 2k\pi$ (avec $k \in \mathbb{Z}$) est aussi un argument.

💡 À retenir : On parle souvent de "l'argument principal" dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$.

Comment calculer i^n ?

Il suffit de regarder le reste de la division euclidienne de $n$ par 4 :

Si $n = 4k$ , $i^n = 1$ .
Si $n = 4k+1$ , $i^n = i$ .
Si $n = 4k+2$ , $i^n = -1$ .
Si $n = 4k+3$ , $i^n = -i$ .

💡 À retenir : Les puissances de $i$ sont périodiques de période 4.

Il suffit de regarder le reste de la division euclidienne de $n$ par 4 :

Si $n = 4k$, $i^n = 1$.
Si $n = 4k+1$, $i^n = i$.
Si $n = 4k+2$, $i^n = -1$.
Si $n = 4k+3$, $i^n = -i$.

💡 À retenir : Les puissances de $i$ sont périodiques de période 4.

Est-ce que tout nombre complexe a un argument ?

Tous les nombres complexes sauf 0 ont un argument. Le nombre 0 n'a pas d'argument car le vecteur nul n'a pas de direction.

💡 À retenir : $\arg(0)$ n'existe pas.

Tous les nombres complexes sauf 0 ont un argument. Le nombre 0 n'a pas d'argument car le vecteur nul n'a pas de direction.

💡 À retenir : $\arg(0)$ n'existe pas.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 4z + 13 = 0$ .

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 4z + 13 = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $z = 1 + i\sqrt{3}$ .

Calculer le module de $z$ .
Déterminer un argument de $z$ .
Écrire $z$ sous forme exponentielle.

Exercice 2

Soit $z = 1 + i\sqrt{3}$.

Calculer le module de $z$.
Déterminer un argument de $z$.
Écrire $z$ sous forme exponentielle.

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Exercice 3

Soient $A, B, C$ trois points d'affixes respectives $a=1+i$ , $b=2+3i$ et $c=3+i$ . Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle en $B$ .

Exercice 3

Soient $A, B, C$ trois points d'affixes respectives $a=1+i$, $b=2+3i$ et $c=3+i$. Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle en $B$.

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