Mathématiques · Prépa concours post-bac — ISPITS (paramédical)

Primitives et calcul intégral

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$ .
Théorème : Si $f$ est continue sur $I$ , alors elle admet des primitives. Si $F$ est une primitive, toutes les autres sont de la forme $F(x) + C$ .
Intégrale : $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ .
Relation de Chasles : $\int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx$ .

Méthodes à maîtriser

Lecture inverse des dérivées : Reconnaître les formes usuelles ( $u^n u'$ , $u'/u$ , $e^u u'$ , etc.).
Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$ . Choisir $u$ selon la règle "LPES" (Log, Polynôme, Expo, Sin/Cos).
Calcul d'aire : $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)| dx \times \|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\|$ .

Exemples corrigés

Primitive de $f(x) = 2x + 3$ est $F(x) = x^2 + 3x + C$ .
Calcul de $\int_0^1 e^x dx = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ lors de la recherche d'une primitive générale.
Inverser les bornes de l'intégrale (ce qui change le signe).
Confondre la primitive d'un produit $\int f \cdot g$ avec le produit des primitives $F \cdot G$ (c'est faux !).

L'essentiel du cours

Définition : $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$.
Théorème : Si $f$ est continue sur $I$, alors elle admet des primitives. Si $F$ est une primitive, toutes les autres sont de la forme $F(x) + C$.
Intégrale : $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.
Relation de Chasles : $\int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx$.

Méthodes à maîtriser

Lecture inverse des dérivées : Reconnaître les formes usuelles ($u^n u'$, $u'/u$, $e^u u'$, etc.).
Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$. Choisir $u$ selon la règle "LPES" (Log, Polynôme, Expo, Sin/Cos).
Calcul d'aire : $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)| dx \times |\vec{i}| \times |\vec{j}|$.

Exemples corrigés

Primitive de $f(x) = 2x + 3$ est $F(x) = x^2 + 3x + C$.
Calcul de $\int_0^1 e^x dx = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ lors de la recherche d'une primitive générale.
Inverser les bornes de l'intégrale (ce qui change le signe).
Confondre la primitive d'un produit $\int f \cdot g$ avec le produit des primitives $F \cdot G$ (c'est faux !).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Primitives et calcul intégral

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Quelle est la primitive de $f(x) = \cos(x)$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction admet une primitive ?

Vérifie si la fonction est continue sur l'intervalle donné.
Si la fonction est continue, elle admet toujours au moins une primitive.
Si elle présente des points de discontinuité, elle n'admet pas de primitive sur tout l'intervalle.

💡 À retenir : La continuité est la condition suffisante pour l'existence d'une primitive.

kifach n3ref chkoun li ghadya tkoun u f-intégration par parties ?

Utilisez l'ordre LPES : Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Sinus/Cosinus.
La fonction qui apparaît en premier dans cet ordre est celle que vous choisissez comme $u(x)$ .
Le reste sera $v'(x)$ .

💡 À retenir : LPES est ton meilleur ami pour ne pas te tromper dans le choix de $u$ .

Utilisez l'ordre LPES : Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Sinus/Cosinus.
La fonction qui apparaît en premier dans cet ordre est celle que vous choisissez comme $u(x)$.
Le reste sera $v'(x)$.

💡 À retenir : LPES est ton meilleur ami pour ne pas te tromper dans le choix de $u$.

Est-ce que l'intégrale d'une fonction positive est toujours positive ?

Oui, si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ avec $a < b$ , alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$ .
Si $a > b$ , l'intégrale change de signe.

💡 À retenir : L'ordre des bornes est crucial pour le signe du résultat.

Oui, si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ avec $a < b$, alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$.
Si $a > b$, l'intégrale change de signe.

💡 À retenir : L'ordre des bornes est crucial pour le signe du résultat.

chnou hiya l-farq bin primitive o intégrale ?

La primitive est une fonction $F(x)$ telle que $F'(x) = f(x)$ .
L'intégrale est un nombre réel qui représente une aire ou une valeur calculée entre deux bornes.

💡 À retenir : La primitive est une "famille de fonctions", l'intégrale est un "nombre".

La primitive est une fonction $F(x)$ telle que $F'(x) = f(x)$.
L'intégrale est un nombre réel qui représente une aire ou une valeur calculée entre deux bornes.

💡 À retenir : La primitive est une "famille de fonctions", l'intégrale est un "nombre".

kifach n7seb l-misa7a (aire) dyal wahed l-man7ana ?

Tracez ou étudiez le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $[a, b]$ .
Si $f(x) \geq 0$ , l'aire est $\int_a^b f(x) dx$ (en unités d'aire).
Si $f(x) \leq 0$ , l'aire est $-\int_a^b f(x) dx$ .

💡 À retenir : Une aire est toujours positive, donc utilisez la valeur absolue.

Tracez ou étudiez le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $[a, b]$.
Si $f(x) \geq 0$, l'aire est $\int_a^b f(x) dx$ (en unités d'aire).
Si $f(x) \leq 0$, l'aire est $-\int_a^b f(x) dx$.

💡 À retenir : Une aire est toujours positive, donc utilisez la valeur absolue.

Peut-on calculer l'intégrale d'une fonction non continue ?

Dans le programme, on se limite aux fonctions continues.
Si la fonction est continue par morceaux, on utilise la relation de Chasles pour découper l'intégrale.

💡 À retenir : La continuité est indispensable pour appliquer le théorème fondamental.

Comment calculer int0^1 frac{1}{x+1} dx ?

Reconnaître la forme $\frac{u'}{u}$ où $u(x) = x+1$ et $u'(x) = 1$ .
La primitive est $\ln|u(x)| = \ln|x+1|$ .
Calculer $[\ln(x+1)]_0^1 = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2)$ .

💡 À retenir : $\ln(1) = 0$ est une valeur à connaître par cœur.

Reconnaître la forme $\frac{u'}{u}$ où $u(x) = x+1$ et $u'(x) = 1$.
La primitive est $\ln|u(x)| = \ln|x+1|$.
Calculer $[\ln(x+1)]_0^1 = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2)$.

💡 À retenir : $\ln(1) = 0$ est une valeur à connaître par cœur.

Est-ce que inta^b f(x)g(x) dx = inta^b f(x) dx times inta^b g(x) dx ?

Non, c'est une erreur très grave.
L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales.
Il faut utiliser l'intégration par parties ou développer le produit avant d'intégrer.

💡 À retenir : Ne jamais multiplier les intégrales entre elles.

Pourquoi on ajoute + C à la fin ?

Parce que la dérivée d'une constante est zéro.
Il existe une infinité de primitives qui diffèrent d'une constante.
$C$ représente cette indétermination.

💡 À retenir : Sans le $+ C$ , votre réponse est incomplète.

Parce que la dérivée d'une constante est zéro.
Il existe une infinité de primitives qui diffèrent d'une constante.
$C$ représente cette indétermination.

💡 À retenir : Sans le $+ C$, votre réponse est incomplète.

Comment choisir les bornes pour l'aire ?

Les bornes sont données par l'énoncé ou par les points d'intersection avec l'axe des abscisses.
Résolvez $f(x) = 0$ pour trouver les points de passage.

💡 À retenir : Les bornes définissent la zone de calcul.

Les bornes sont données par l'énoncé ou par les points d'intersection avec l'axe des abscisses.
Résolvez $f(x) = 0$ pour trouver les points de passage.

💡 À retenir : Les bornes définissent la zone de calcul.

Est-ce que l'intégrale peut être nulle ?

Oui, si les aires positives et négatives se compensent.
Par exemple, $\int_{-1}^1 x dx = [\frac{x^2}{2}]_{-1}^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$ .

💡 À retenir : Une intégrale nulle ne signifie pas que la fonction est nulle.

Oui, si les aires positives et négatives se compensent.
Par exemple, $\int_{-1}^1 x dx = [\frac{x^2}{2}]_{-1}^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.

💡 À retenir : Une intégrale nulle ne signifie pas que la fonction est nulle.

Est-ce que le changement de variable est obligatoire ?

Il n'est pas obligatoire, mais il simplifie souvent le calcul.
Si vous trouvez une primitive directe, utilisez-la.

💡 À retenir : Choisissez la méthode la plus rapide pour gagner du temps.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 x e^x dx$ .

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 x e^x dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ telle que $F(0) = 3$ .

Exercice 2

Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ telle que $F(0) = 3$.

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Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{1}{x^2} - 1$ . Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=1$ et $x=2$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{1}{x^2} - 1$. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=1$ et $x=2$.

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