Mathématiques · Prépa concours post-bac — ISPITS (paramédical)

Limites et continuité

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Limite en un point : $\lim_{x \to a} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $L$ quand $x$ se rapproche de $a$ .
Continuité : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , alors pour tout $y$ entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$ .
Corollaire du TVI : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$ , alors l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique dans $[a, b]$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul de limites : Utiliser la factorisation pour lever les formes indéterminées ( $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ ).
Étude de continuité : Vérifier l'égalité des limites à gauche, à droite et la valeur en $a$ .
Utilisation du TVI : Toujours préciser que la fonction est continue sur l'intervalle donné avant d'appliquer le théorème.

Exemples corrigés

Limite : $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$ .
Continuité : Soit $f(x) = x^2$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = 1$ . Comme $\lim_{x \to 1} x^2 = 1 = f(1)$ , $f$ est continue en 1.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'utiliser le TVI.
Confondre la limite en $a$ avec la valeur $f(a)$ .
Ne pas justifier la monotonie lors de l'utilisation du corollaire du TVI.

L'essentiel du cours

Limite en un point : $\lim_{x \to a} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $L$ quand $x$ se rapproche de $a$.
Continuité : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout $y$ entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$.
Corollaire du TVI : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$, alors l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique dans $[a, b]$.

Méthodes à maîtriser

Calcul de limites : Utiliser la factorisation pour lever les formes indéterminées ($\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$).
Étude de continuité : Vérifier l'égalité des limites à gauche, à droite et la valeur en $a$.
Utilisation du TVI : Toujours préciser que la fonction est continue sur l'intervalle donné avant d'appliquer le théorème.

Exemples corrigés

Limite : $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$.
Continuité : Soit $f(x) = x^2$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = 1$. Comme $\lim_{x \to 1} x^2 = 1 = f(1)$, $f$ est continue en 1.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'utiliser le TVI.
Confondre la limite en $a$ avec la valeur $f(a)$.
Ne pas justifier la monotonie lors de l'utilisation du corollaire du TVI.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Limites et continuité

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La limite de $\frac{1}{x}$ quand $x \to 0^+$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l'fonction continue f wahed l'point a ?

Calcule la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ (parfois il faut calculer la limite à gauche et à droite).
Calcule l'image $f(a)$ .
Si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ , alors la fonction est continue en $a$ .

💡 À retenir : La continuité, c'est quand le dessin ne s'arrête pas au point $a$ .

Calcule la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ (parfois il faut calculer la limite à gauche et à droite).
Calcule l'image $f(a)$.
Si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$, alors la fonction est continue en $a$.

💡 À retenir : La continuité, c'est quand le dessin ne s'arrête pas au point $a$.

Chno hiya l'forme indéterminée ?

C'est un calcul de limite qui donne un résultat impossible à déterminer directement comme $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $+\infty - \infty$ ou $0 \times \infty$ . Il faut alors transformer l'expression (factorisation, conjugué, etc.).

💡 À retenir : Une forme indéterminée n'est pas un résultat, c'est juste un signal pour changer de méthode.

C'est un calcul de limite qui donne un résultat impossible à déterminer directement comme $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $+\infty - \infty$ ou $0 \times \infty$. Il faut alors transformer l'expression (factorisation, conjugué, etc.).

💡 À retenir : Une forme indéterminée n'est pas un résultat, c'est juste un signal pour changer de méthode.

Kifach nkhdem b'TVI bach nbiyen bli l'équation f(x)=0 3ndha 7al ?

Vérifie que $f$ est continue sur l'intervalle $[a, b]$ .
Calcule $f(a)$ et $f(b)$ .
Vérifie que $f(a) \times f(b) < 0$ (signes opposés).
Conclus qu'il existe au moins une solution dans $]a, b[$ .

💡 À retenir : Le TVI garantit l'existence, la monotonie garantit l'unicité.

Vérifie que $f$ est continue sur l'intervalle $[a, b]$.
Calcule $f(a)$ et $f(b)$.
Vérifie que $f(a) \times f(b) < 0$ (signes opposés).
Conclus qu'il existe au moins une solution dans $]a, b[$.

💡 À retenir : Le TVI garantit l'existence, la monotonie garantit l'unicité.

Comment lever une indétermination avec une racine carrée ?

Utilise la quantité conjuguée. Par exemple, pour $\sqrt{x} - a$ , multiplie et divise par $\sqrt{x} + a$ pour obtenir une identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ .

💡 À retenir : Le conjugué permet de faire disparaître la racine au numérateur.

Utilise la quantité conjuguée. Par exemple, pour $\sqrt{x} - a$, multiplie et divise par $\sqrt{x} + a$ pour obtenir une identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

💡 À retenir : Le conjugué permet de faire disparaître la racine au numérateur.

Qu'est-ce qu'un prolongement par continuité ?

Si une fonction $f$ n'est pas définie en $a$ mais que $\lim_{x \to a} f(x) = L$ , on peut créer une nouvelle fonction $g$ telle que $g(x) = f(x)$ pour $x \neq a$ et $g(a) = L$ . Cette fonction $g$ est continue en $a$ .

💡 À retenir : On "bouche le trou" de la courbe.

Si une fonction $f$ n'est pas définie en $a$ mais que $\lim_{x \to a} f(x) = L$, on peut créer une nouvelle fonction $g$ telle que $g(x) = f(x)$ pour $x \neq a$ et $g(a) = L$. Cette fonction $g$ est continue en $a$.

💡 À retenir : On "bouche le trou" de la courbe.

Est-ce que toute fonction continue est dérivable ?

Non. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en 0, mais elle n'est pas dérivable en 0 (il y a un point anguleux).

💡 À retenir : La continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité.

Non. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en 0, mais elle n'est pas dérivable en 0 (il y a un point anguleux).

💡 À retenir : La continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité.

Comment calculer la limite d'une fonction rationnelle en +infty ?

Il suffit de prendre le rapport des termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

💡 À retenir : En $+\infty$ , ce sont les puissances les plus grandes qui gagnent.

Il suffit de prendre le rapport des termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

💡 À retenir : En $+\infty$, ce sont les puissances les plus grandes qui gagnent.

Qu'est-ce qu'une asymptote verticale ?

C'est une droite d'équation $x = a$ telle que $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$ .

💡 À retenir : La courbe "explose" ou "plonge" vers l'infini en s'approchant de $a$ .

C'est une droite d'équation $x = a$ telle que $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$.

💡 À retenir : La courbe "explose" ou "plonge" vers l'infini en s'approchant de $a$.

Si f est strictement croissante, est-ce qu'elle est forcément continue ?

Non, une fonction peut être strictement croissante et avoir des sauts (discontinuités).

💡 À retenir : La monotonie ne suffit pas à garantir la continuité.

Comment montrer qu'une fonction admet une fonction réciproque ?

Il faut montrer que $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ .

💡 À retenir : Une fonction strictement monotone est une bijection de son intervalle vers son image.

Il faut montrer que $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$.

💡 À retenir : Une fonction strictement monotone est une bijection de son intervalle vers son image.

Est-ce que la somme de deux fonctions continues est continue ?

Oui, la somme, le produit et le quotient (si le dénominateur ne s'annule pas) de deux fonctions continues sont des fonctions continues.

💡 À retenir : Les opérations usuelles conservent la continuité.

Quelle est la différence entre le TVI et le corollaire du TVI ?

Le TVI prouve juste l'existence d'une solution. Le corollaire, en ajoutant la condition de stricte monotonie, prouve que cette solution est unique.

💡 À retenir : Monotonie = Unicité.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ .

Déterminer $\lim_{x \to 1} f(x)$ .
Peut-on prolonger $f$ par continuité en $x=1$ ? Si oui, donner la fonction prolongée $g$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$.

Déterminer $\lim_{x \to 1} f(x)$.
Peut-on prolonger $f$ par continuité en $x=1$ ? Si oui, donner la fonction prolongée $g$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0, 1]$ .

Exercice 2

Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0, 1]$.

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Exercice 3

Étudier la continuité de $f$ en $x=0$ avec $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = 1$ .

Exercice 3

Étudier la continuité de $f$ en $x=0$ avec $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = 1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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