Mathématiques · Prépa concours post-bac — ISPITS (paramédical)

Dénombrement et analyse combinatoire

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Cardinal : Soit $E$ un ensemble fini, $|E|$ est le nombre d'éléments de $E$ .
Principe multiplicatif : Si une expérience se déroule en deux étapes, la première ayant $n$ choix et la seconde $m$ choix, le nombre total est $n \times m$ .
Factorielle : Pour $n \in \mathbb{N}^*$ , $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$ . Par convention $0! = 1$ .
Arrangements : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$ (ordre important, sans répétition).
Permutations : $P_n = n!$ (ordre de tous les éléments).
Combinaisons : $C_n^p = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ (ordre non important, sans répétition).

Méthodes à maîtriser

Identifier le type de tirage :
- Simultané $\rightarrow$ Combinaison $C_n^p$ .
- Successif sans remise $\rightarrow$ Arrangement $A_n^p$ .
- Successif avec remise $\rightarrow$ $n^p$ .
Utiliser le principe multiplicatif : Décomposer le problème en étapes indépendantes.
Le complémentaire : Si la question contient "au moins un", calculer $1 - P(\text{aucun})$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirer 3 boules parmi 10 simultanément : $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .
Exemple 2 : Former un code de 3 chiffres parmi 10 (avec répétition) : $10 \times 10 \times 10 = 1000$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Rappelez-vous que $C$ est pour "Choix" (l'ordre ne compte pas).
Oublier que $0! = 1$ .
Ne pas vérifier si le tirage est avec ou sans remise dans les énoncés complexes.

L'essentiel du cours

Cardinal : Soit $E$ un ensemble fini, $|E|$ est le nombre d'éléments de $E$.
Principe multiplicatif : Si une expérience se déroule en deux étapes, la première ayant $n$ choix et la seconde $m$ choix, le nombre total est $n \times m$.
Factorielle : Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$. Par convention $0! = 1$.
Arrangements : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$ (ordre important, sans répétition).
Permutations : $P_n = n!$ (ordre de tous les éléments).
Combinaisons : $C_n^p = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ (ordre non important, sans répétition).

Méthodes à maîtriser

Identifier le type de tirage :
- Simultané $\rightarrow$ Combinaison $C_n^p$.
- Successif sans remise $\rightarrow$ Arrangement $A_n^p$.
- Successif avec remise $\rightarrow$ $n^p$.
Utiliser le principe multiplicatif : Décomposer le problème en étapes indépendantes.
Le complémentaire : Si la question contient "au moins un", calculer $1 - P(\text{aucun})$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirer 3 boules parmi 10 simultanément : $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
Exemple 2 : Former un code de 3 chiffres parmi 10 (avec répétition) : $10 \times 10 \times 10 = 1000$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Rappelez-vous que $C$ est pour "Choix" (l'ordre ne compte pas).
Oublier que $0! = 1$.
Ne pas vérifier si le tirage est avec ou sans remise dans les énoncés complexes.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Dénombrement et analyse combinatoire

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Quel est le résultat de $C_5^2$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que l'ordre compte dans une combinaison ?

Non, dans une combinaison, l'ordre des éléments choisis n'a aucune importance. On s'intéresse uniquement à la composition du sous-ensemble formé.

💡 À retenir : Combinaison = Groupe (l'ordre ne compte pas).

Kifach n7seb Cn^n ?

Pour calculer $C_n^n$ , on utilise la formule : $C_n^n = \frac{n!}{n!(n-n)!} = \frac{n!}{n! \times 0!}$ . Comme $0! = 1$ , alors $C_n^n = 1$ .

💡 À retenir : Choisir tous les éléments d'un ensemble n'offre qu'une seule possibilité.

Pour calculer $C_n^n$, on utilise la formule : $C_n^n = \frac{n!}{n!(n-n)!} = \frac{n!}{n! \times 0!}$. Comme $0! = 1$, alors $C_n^n = 1$.

💡 À retenir : Choisir tous les éléments d'un ensemble n'offre qu'une seule possibilité.

Quelle est la différence entre tirage simultané et successif sans remise ?

Mathématiquement, le résultat est identique. Dans les deux cas, on utilise les combinaisons $C_n^p$ car l'ordre final n'est pas pris en compte dans le dénombrement des issues.

💡 À retenir : Simultané = Successif sans remise = Combinaison.

Mathématiquement, le résultat est identique. Dans les deux cas, on utilise les combinaisons $C_n^p$ car l'ordre final n'est pas pris en compte dans le dénombrement des issues.

💡 À retenir : Simultané = Successif sans remise = Combinaison.

Chno hiya l'far9 bin An^p et n^p ?

$A_n^p$ est utilisé pour des tirages sans remise (l'élément ne peut pas être choisi deux fois). $n^p$ est utilisé pour des tirages avec remise (l'élément peut être choisi plusieurs fois).

💡 À retenir : Avec remise = puissance ; Sans remise = arrangement.

$A_n^p$ est utilisé pour des tirages sans remise (l'élément ne peut pas être choisi deux fois). $n^p$ est utilisé pour des tirages avec remise (l'élément peut être choisi plusieurs fois).

💡 À retenir : Avec remise = puissance ; Sans remise = arrangement.

Comment savoir si je dois utiliser le principe multiplicatif ?

Utilise-le dès que ton expérience est composée de plusieurs étapes successives indépendantes dont les choix se multiplient.

💡 À retenir : "Et" signifie multiplication.

Est-ce que Cn^p = Cn^{n-p} ?

Oui, c'est la formule de symétrie. Choisir $p$ éléments à garder revient à choisir $n-p$ éléments à laisser de côté.

💡 À retenir : $C_n^p = C_n^{n-p}$ simplifie souvent les calculs.

Oui, c'est la formule de symétrie. Choisir $p$ éléments à garder revient à choisir $n-p$ éléments à laisser de côté.

💡 À retenir : $C_n^p = C_n^{n-p}$ simplifie souvent les calculs.

Wach l'ordre kayt7seb f l'arrangement ?

Oui, absolument. Dans un arrangement, si tu changes la position de deux éléments, tu obtiens un arrangement différent.

💡 À retenir : Arrangement = Ordre important.

Comment calculer le nombre de permutations de 5 objets ?

Il suffit de calculer $5!$ (factorielle 5), soit $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ .

💡 À retenir : Permutation de $n$ éléments = $n!$ .

Il suffit de calculer $5!$ (factorielle 5), soit $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

💡 À retenir : Permutation de $n$ éléments = $n!$.

Puis-je utiliser Cn^p si p n ?

Non, c'est impossible. Par convention, si $p > n$ , alors $C_n^p = 0$ car on ne peut pas choisir plus d'objets qu'il n'en existe.

💡 À retenir : $p$ doit toujours être inférieur ou égal à $n$ .

Non, c'est impossible. Par convention, si $p > n$, alors $C_n^p = 0$ car on ne peut pas choisir plus d'objets qu'il n'en existe.

💡 À retenir : $p$ doit toujours être inférieur ou égal à $n$.

Pourquoi on divise par p! dans la formule de Cn^p ?

On divise par $p!$ pour "annuler" l'ordre. Comme $A_n^p$ compte les ordres, et qu'il y a $p!$ façons d'ordonner $p$ objets, on divise pour ne compter chaque groupe qu'une seule fois.

💡 À retenir : Division par $p!$ = suppression de l'ordre.

On divise par $p!$ pour "annuler" l'ordre. Comme $A_n^p$ compte les ordres, et qu'il y a $p!$ façons d'ordonner $p$ objets, on divise pour ne compter chaque groupe qu'une seule fois.

💡 À retenir : Division par $p!$ = suppression de l'ordre.

Est-ce que le résultat d'un dénombrement peut être négatif ?

Jamais. Le nombre d'issues d'une expérience est toujours un entier naturel positif ou nul.

💡 À retenir : Si tu trouves un nombre négatif, vérifie ton calcul.

Comment aborder un problème avec des contraintes (ex: "il faut au moins une fille") ?

La méthode la plus simple est de passer par l'événement contraire : Total - (Cas où il n'y a aucune fille).

💡 À retenir : "Au moins un" = $1 - \text{aucun}$ .

La méthode la plus simple est de passer par l'événement contraire : Total - (Cas où il n'y a aucune fille).

💡 À retenir : "Au moins un" = $1 - \text{aucun}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 8 boules : 5 rouges et 3 noires. On tire simultanément 3 boules.

Combien y a-t-il de tirages possibles ?
Combien de tirages contiennent exactement 2 boules rouges ?

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Exercice 2

On veut former un code secret de 4 chiffres en utilisant les chiffres de 0 à 9.

Combien de codes sont possibles si les chiffres peuvent être répétés ?
Combien de codes sont possibles si les chiffres doivent être distincts ?

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Exercice 3

Dans une classe de 20 élèves, on veut élire un délégué et un adjoint. Combien de binômes peut-on former ?

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