Mathématiques · Prépa concours post-bac — ISPITS (paramédical)

Dérivabilité et étude de fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$ .
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Dérivées usuelles : $(x^n)' = nx^{n-1}$ , $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , $(\sin x)' = \cos x$ , $(\cos x)' = -\sin x$ .
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$ , $(uv)' = u'v+uv'$ , $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$ , $(f \circ g)' = g' \cdot (f' \circ g)$ .
Monotonie : Si $f' > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Concavité : Si $f'' > 0$ sur $I$ , alors $f$ est convexe.

Méthodes à maîtriser

Étude de dérivabilité : Calculer la limite du taux d'accroissement.
Étude de fonction : Domaine, limites aux bornes, dérivée, tableau de variations, branches infinies.
Recherche d'extremums : Chercher les points où $f'(x) = 0$ et change de signe.

Exemples corrigés

Tangente : Pour $f(x)=x^2$ en $a=1$ , $f'(1)=2$ , donc $y=2(x-1)+1 = 2x-1$ .
Dérivée : $f(x) = \frac{1}{x^2+1} \implies f'(x) = \frac{0(x^2+1) - 1(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x}{(x^2+1)^2}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de dérivabilité.
Confondre $f'(x)=0$ avec un extremum (il faut un changement de signe).
Mauvaise application de la dérivée de la composée $(f \circ g)'$ .

L'essentiel du cours

Définition : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$.
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Dérivées usuelles : $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$.
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$, $(uv)' = u'v+uv'$, $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$, $(f \circ g)' = g' \cdot (f' \circ g)$.
Monotonie : Si $f' > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
Concavité : Si $f'' > 0$ sur $I$, alors $f$ est convexe.

Méthodes à maîtriser

Étude de dérivabilité : Calculer la limite du taux d'accroissement.
Étude de fonction : Domaine, limites aux bornes, dérivée, tableau de variations, branches infinies.
Recherche d'extremums : Chercher les points où $f'(x) = 0$ et change de signe.

Exemples corrigés

Tangente : Pour $f(x)=x^2$ en $a=1$, $f'(1)=2$, donc $y=2(x-1)+1 = 2x-1$.
Dérivée : $f(x) = \frac{1}{x^2+1} \implies f'(x) = \frac{0(x^2+1) - 1(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x}{(x^2+1)^2}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de dérivabilité.
Confondre $f'(x)=0$ avec un extremum (il faut un changement de signe).
Mauvaise application de la dérivée de la composée $(f \circ g)'$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Dérivabilité et étude de fonctions

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La dérivée de $f(x) = \ln(x^2+1)$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées ?

Oui, $(u+v)' = u' + v'$ . C'est une règle de linéarité très simple.

💡 À retenir : La dérivation est une opération linéaire.

Oui, $(u+v)' = u' + v'$. C'est une règle de linéarité très simple.

💡 À retenir : La dérivation est une opération linéaire.

Quand est-ce qu'on dit qu'une fonction admet une branche parabolique ?

Quand $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty$ ou $0$ . La courbe "s'aplatit" ou "s'écrase" vers une direction donnée.

💡 À retenir : C'est une direction asymptotique, pas une droite.

Quand $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty$ ou $0$. La courbe "s'aplatit" ou "s'écrase" vers une direction donnée.

💡 À retenir : C'est une direction asymptotique, pas une droite.

Pourquoi on étudie le domaine de définition avant la dérivée ?

Parce qu'une fonction n'est dérivable que là où elle est définie et continue. Si tu dérives en dehors du domaine, le résultat n'a aucun sens.

💡 À retenir : Toujours commencer par $D_f$ .

Parce qu'une fonction n'est dérivable que là où elle est définie et continue. Si tu dérives en dehors du domaine, le résultat n'a aucun sens.

💡 À retenir : Toujours commencer par $D_f$.

Comment savoir si une fonction est dérivable en un point a ?

Calcule le taux d'accroissement $T(x) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .
Calcule la limite de $T(x)$ quand $x$ tend vers $a$ .
Si la limite est un nombre réel fini, alors $f$ est dérivable en $a$ .

💡 À retenir : Si la limite est $\infty$ , la fonction n'est pas dérivable en $a$ (point anguleux ou tangente verticale).

Calcule le taux d'accroissement $T(x) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
Calcule la limite de $T(x)$ quand $x$ tend vers $a$.
Si la limite est un nombre réel fini, alors $f$ est dérivable en $a$.

💡 À retenir : Si la limite est $\infty$, la fonction n'est pas dérivable en $a$ (point anguleux ou tangente verticale).

kifach n3ref wach l'fonction tzaidya aw tna9ousiya?

Calcule la dérivée $f'(x)$ .
Étudie le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle donné.
Si $f'(x) \geq 0$ , la fonction est croissante. Si $f'(x) \leq 0$ , elle est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

Calcule la dérivée $f'(x)$.
Étudie le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle donné.
Si $f'(x) \geq 0$, la fonction est croissante. Si $f'(x) \leq 0$, elle est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

C'est quoi un point d'inflexion ?

C'est un point où la courbe traverse sa tangente. Mathématiquement, c'est un point où la dérivée seconde $f''(x)$ s'annule et change de signe.

💡 À retenir : $f''(x)$ change de signe = changement de concavité.

C'est un point où la courbe traverse sa tangente. Mathématiquement, c'est un point où la dérivée seconde $f''(x)$ s'annule et change de signe.

💡 À retenir : $f''(x)$ change de signe = changement de concavité.

chno hiya l'far9 bin l'mou3amil l'mojawih o l'mou3adala dyal l'mamas?

Le coefficient directeur (ou nombre dérivé) est $f'(a)$ , c'est la pente de la tangente.
L'équation de la tangente est la droite complète $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .

💡 À retenir : La pente est une valeur, la tangente est une droite.

Le coefficient directeur (ou nombre dérivé) est $f'(a)$, c'est la pente de la tangente.
L'équation de la tangente est la droite complète $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

💡 À retenir : La pente est une valeur, la tangente est une droite.

Comment calculer la dérivée d'une fonction composée f(g(x)) ?

Utilise la formule : $(f(g(x)))' = g'(x) \cdot f'(g(x))$ . Exemple : pour $\sin(x^2)$ , la dérivée est $2x \cdot \cos(x^2)$ .

💡 À retenir : Dérive l'intérieur, puis multiplie par la dérivée de l'extérieur.

Utilise la formule : $(f(g(x)))' = g'(x) \cdot f'(g(x))$. Exemple : pour $\sin(x^2)$, la dérivée est $2x \cdot \cos(x^2)$.

💡 À retenir : Dérive l'intérieur, puis multiplie par la dérivée de l'extérieur.

wach l'fonction li 9abla l'ichti9a9 9abla l'itisal?

Oui, toute fonction dérivable en un point $a$ est nécessairement continue en ce point. La réciproque est fausse (ex: la fonction valeur absolue en 0).

💡 À retenir : Dérivable $\implies$ Continue.

Oui, toute fonction dérivable en un point $a$ est nécessairement continue en ce point. La réciproque est fausse (ex: la fonction valeur absolue en 0).

💡 À retenir : Dérivable $\implies$ Continue.

kifach n7seb l'mou9aribat l'ma2ila (asymptotes obliques)?

Cherche $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ (avec $a \neq 0$ ).
Cherche $\lim_{x \to \infty} (f(x) - ax) = b$ .
La droite $y = ax + b$ est l'asymptote oblique.

💡 À retenir : Il faut deux limites pour trouver $a$ et $b$ .

Cherche $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ (avec $a \neq 0$).
Cherche $\lim_{x \to \infty} (f(x) - ax) = b$.
La droite $y = ax + b$ est l'asymptote oblique.

💡 À retenir : Il faut deux limites pour trouver $a$ et $b$.

Qu'est-ce qu'une tangente horizontale ?

C'est une tangente dont le coefficient directeur est nul, donc $f'(a) = 0$ . Cela correspond souvent à un sommet ou un creux (extremum).

💡 À retenir : $f'(a) = 0$ est la condition nécessaire pour un extremum local.

C'est une tangente dont le coefficient directeur est nul, donc $f'(a) = 0$. Cela correspond souvent à un sommet ou un creux (extremum).

💡 À retenir : $f'(a) = 0$ est la condition nécessaire pour un extremum local.

Comment étudier la concavité ?

Calcule la dérivée seconde $f''(x)$ .
Étudie le signe de $f''(x)$ .
Si $f''(x) > 0$ , la courbe est convexe (tournée vers le haut). Si $f''(x) < 0$ , elle est concave (tournée vers le bas).

💡 À retenir : $f''$ contrôle la courbure.

Calcule la dérivée seconde $f''(x)$.
Étudie le signe de $f''(x)$.
Si $f''(x) > 0$, la courbe est convexe (tournée vers le haut). Si $f''(x) < 0$, elle est concave (tournée vers le bas).