Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — PSI

Suites et séries de fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Convergence simple : $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$ si $\forall x \in I, \lim_{n \to +\infty} f_n(x) = f(x)$ .
Convergence uniforme : $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ si $\lim_{n \to +\infty} (\sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)|) = 0$ .
Convergence normale : Une série $\sum f_n$ converge normalement si la série numérique $\sum \|f_n\|_\infty$ converge.
Théorèmes de transfert : Si $f_n \to f$ uniformément, alors la limite est continue (si $f_n$ le sont) et on peut permuter limite et intégrale.

Méthodes à maîtriser

Étude de la convergence simple : Fixer $x$ et calculer la limite de la suite numérique $(f_n(x))$ .
Étude de la convergence uniforme : Calculer $M_n = \sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)|$ en utilisant l'étude des variations (dérivée).
Convergence normale : Vérifier si $\sum \|f_n\|_\infty$ est une série de Riemann ou géométrique convergente.

Exemples corrigés

Soit $f_n(x) = \frac{x}{n}$ sur $[0, 1]$ . $f_n(x) \to 0$ simplement. $M_n = \sup |x/n - 0| = 1/n \to 0$ . Donc convergence uniforme.
Soit $f_n(x) = x^n$ sur $[0, 1]$ . $f_n$ converge simplement vers $f(x)=0$ si $x<1$ et $f(1)=1$ . La limite n'est pas continue, donc la convergence n'est pas uniforme.

Erreurs fréquentes

Confondre convergence simple et uniforme.
Oublier de vérifier la continuité de la limite pour prouver l'absence de convergence uniforme.
Appliquer le théorème de permutation limite-intégrale sans vérifier la convergence uniforme.

L'essentiel du cours

Convergence simple : $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$ si $\forall x \in I, \lim_{n \to +\infty} f_n(x) = f(x)$.
Convergence uniforme : $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ si $\lim_{n \to +\infty} (\sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)|) = 0$.
Convergence normale : Une série $\sum f_n$ converge normalement si la série numérique $\sum |f_n|_\infty$ converge.
Théorèmes de transfert : Si $f_n \to f$ uniformément, alors la limite est continue (si $f_n$ le sont) et on peut permuter limite et intégrale.

Méthodes à maîtriser

Étude de la convergence simple : Fixer $x$ et calculer la limite de la suite numérique $(f_n(x))$.
Étude de la convergence uniforme : Calculer $M_n = \sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)|$ en utilisant l'étude des variations (dérivée).
Convergence normale : Vérifier si $\sum |f_n|_\infty$ est une série de Riemann ou géométrique convergente.

Exemples corrigés

Soit $f_n(x) = \frac{x}{n}$ sur $[0, 1]$. $f_n(x) \to 0$ simplement. $M_n = \sup |x/n - 0| = 1/n \to 0$. Donc convergence uniforme.
Soit $f_n(x) = x^n$ sur $[0, 1]$. $f_n$ converge simplement vers $f(x)=0$ si $x<1$ et $f(1)=1$. La limite n'est pas continue, donc la convergence n'est pas uniforme.

Erreurs fréquentes

Confondre convergence simple et uniforme.
Oublier de vérifier la continuité de la limite pour prouver l'absence de convergence uniforme.
Appliquer le théorème de permutation limite-intégrale sans vérifier la convergence uniforme.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Suites et séries de fonctions

1/4

Soit $f_n(x) = x^n$ sur $[0, 1/2]$ . La suite converge-t-elle uniformément ?

Soit $f_n(x) = x^n$ sur $[0, 1/2]$. La suite converge-t-elle uniformément ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la convergence uniforme implique la convergence simple ?

Oui, absolument. La convergence uniforme est une condition beaucoup plus forte. Si une suite de fonctions converge uniformément vers $f$ sur $I$ , elle converge nécessairement simplement vers $f$ sur $I$ . La réciproque est fausse (voir l'exemple $x^n$ sur $[0, 1]$ ).

💡 À retenir : Uniforme $\implies$ Simple.

Oui, absolument. La convergence uniforme est une condition beaucoup plus forte. Si une suite de fonctions converge uniformément vers $f$ sur $I$, elle converge nécessairement simplement vers $f$ sur $I$. La réciproque est fausse (voir l'exemple $x^n$ sur $[0, 1]$).

💡 À retenir : Uniforme $\implies$ Simple.

Kifach n3ref wach l'convergence uniforme wla la?

7seb l'limite simple $f(x)$ .
7seb $M_n = \sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)|$ .
Ila kanet $\lim_{n \to +\infty} M_n = 0$ , raha uniforme. Ila kanet $\neq 0$ wla l'limite makatwjedch, raha machi uniforme.

💡 À retenir : Dima 7seb l'sup (l'max dyal l'fonction).

7seb l'limite simple $f(x)$.
7seb $M_n = \sup_{x \in I} |f_n(x) - f(x)|$.
Ila kanet $\lim_{n \to +\infty} M_n = 0$, raha uniforme. Ila kanet $\neq 0$ wla l'limite makatwjedch, raha machi uniforme.

💡 À retenir : Dima 7seb l'sup (l'max dyal l'fonction).

Chno hiya l'convergence normale?

C'est une notion propre aux séries de fonctions. On dit que $\sum f_n$ converge normalement si la série des normes infinies $\sum \|f_n\|_\infty$ converge. C'est le moyen le plus rapide pour montrer la convergence uniforme d'une série.

💡 À retenir : Convergence normale $\implies$ Convergence uniforme.

C'est une notion propre aux séries de fonctions. On dit que $\sum f_n$ converge normalement si la série des normes infinies $\sum |f_n|_\infty$ converge. C'est le moyen le plus rapide pour montrer la convergence uniforme d'une série.

💡 À retenir : Convergence normale $\implies$ Convergence uniforme.

Kifach n7seb l'sup dyal |fn(x) - f(x)| ila kan l'intervalle s3ib?

Khassk tdir l'étude de fonction :

Ch9 l'fonction $g_n(x) = |f_n(x) - f(x)|$ .
7seb $g_n'(x)$ bach t3ref fin kayn l'max.
7seb l'valeur dyal $g_n$ f'hadik l'boussa (point critique) wla f'les bornes dyal l'intervalle.

💡 À retenir : L'sup kayt7seb b'dérivée.

Khassk tdir l'étude de fonction :

Ch9 l'fonction $g_n(x) = |f_n(x) - f(x)|$.
7seb $g_n'(x)$ bach t3ref fin kayn l'max.
7seb l'valeur dyal $g_n$ f'hadik l'boussa (point critique) wla f'les bornes dyal l'intervalle.

💡 À retenir : L'sup kayt7seb b'dérivée.

Est-ce qu'on peut toujours permuter la limite et l'intégrale ?

Non, seulement si la convergence est uniforme sur un intervalle fermé borné $[a, b]$ . Si la convergence est seulement simple, le résultat est faux en général.

💡 À retenir : Convergence uniforme = Permutation autorisée.

Non, seulement si la convergence est uniforme sur un intervalle fermé borné $[a, b]$. Si la convergence est seulement simple, le résultat est faux en général.

💡 À retenir : Convergence uniforme = Permutation autorisée.

Est-ce que la limite d'une suite de fonctions dérivables est toujours dérivable ?

Non. Il faut que la suite des dérivées $(f_n')$ converge uniformément et que la suite $(f_n)$ converge en au moins un point.

💡 À retenir : La convergence uniforme de $f_n$ ne suffit pas pour dériver.

Non. Il faut que la suite des dérivées $(f_n')$ converge uniformément et que la suite $(f_n)$ converge en au moins un point.

💡 À retenir : La convergence uniforme de $f_n$ ne suffit pas pour dériver.

Chno l'far9 bin série numérique et série de fonctions ?

Série numérique, c'est l'addition des nombres. Série de fonctions, c'est l'addition des fonctions $f_n(x)$ pour chaque $x$ . Le résultat est une nouvelle fonction.

💡 À retenir : Série de fonctions = Somme de fonctions.

Série numérique, c'est l'addition des nombres. Série de fonctions, c'est l'addition des fonctions $f_n(x)$ pour chaque $x$. Le résultat est une nouvelle fonction.

💡 À retenir : Série de fonctions = Somme de fonctions.

Si la série converge normalement, est-ce qu'elle converge simplement ?

Oui. La convergence normale est la condition la plus forte : elle implique la convergence uniforme, qui elle-même implique la convergence simple.

💡 À retenir : Normale $\implies$ Uniforme $\implies$ Simple.

Oui. La convergence normale est la condition la plus forte : elle implique la convergence uniforme, qui elle-même implique la convergence simple.

💡 À retenir : Normale $\implies$ Uniforme $\implies$ Simple.

Est-ce que la convergence uniforme conserve la continuité ?

Oui, c'est le théorème de continuité : si chaque $f_n$ est continue et que $f_n \to f$ uniformément, alors $f$ est continue.

💡 À retenir : Uniforme + Continue = Limite continue.

Oui, c'est le théorème de continuité : si chaque $f_n$ est continue et que $f_n \to f$ uniformément, alors $f$ est continue.

💡 À retenir : Uniforme + Continue = Limite continue.

Comment montrer qu'une série ne converge pas normalement ?

Il suffit de montrer que la série numérique $\sum \|f_n\|_\infty$ diverge (par exemple en utilisant le critère de Riemann ou en montrant que le terme général ne tend pas vers 0).

💡 À retenir : $\sum \|f_n\|_\infty$ diverge $\implies$ Pas de convergence normale.

Il suffit de montrer que la série numérique $\sum |f_n|_\infty$ diverge (par exemple en utilisant le critère de Riemann ou en montrant que le terme général ne tend pas vers 0).

💡 À retenir : $\sum |f_n|_\infty$ diverge $\implies$ Pas de convergence normale.

Est-ce que la convergence uniforme sur ]0, 1[ est la même que sur [0, 1] ?

Non, les bornes changent tout. Parfois, la convergence est uniforme sur tout compact inclus dans l'intervalle, mais pas sur l'intervalle ouvert lui-même.

💡 À retenir : Attention aux bornes de l'intervalle.

Est-ce que la somme d'une série de fonctions uniformément convergentes est continue ?

Oui, si chaque terme de la série est continu et que la série converge uniformément, alors la somme est continue.

💡 À retenir : Somme uniforme de fonctions continues = Fonction continue.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f_n(x) = \frac{nx}{1+n^2x^2}$ pour $x \in [0, 1]$ .

Étudier la convergence simple de $(f_n)$ .
Étudier la convergence uniforme de $(f_n)$ sur $[0, 1]$ .

Exercice 1

Soit $f_n(x) = \frac{nx}{1+n^2x^2}$ pour $x \in [0, 1]$.

Étudier la convergence simple de $(f_n)$.
Étudier la convergence uniforme de $(f_n)$ sur $[0, 1]$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n^2}$ . Montrer que la série $\sum f_n$ converge normalement sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 2

Soit $f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n^2}$. Montrer que la série $\sum f_n$ converge normalement sur $\mathbb{R}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f_n(x) = x^n(1-x)$ sur $[0, 1]$ . Montrer que $\sum f_n$ converge uniformément sur $[0, 1]$ .

Exercice 3

Soit $f_n(x) = x^n(1-x)$ sur $[0, 1]$. Montrer que $\sum f_n$ converge uniformément sur $[0, 1]$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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