Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — PSI

Endomorphismes des espaces euclidiens

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Adjoint : Pour tout endomorphisme $u$ d'un espace euclidien $E$ , il existe un unique $u^*$ tel que $\forall x, y \in E, \langle u(x), y \rangle = \langle x, u^*(y) \rangle$ .
Autoadjoints : $u$ est autoadjoint si $u = u^*$ . Dans une base orthonormée, sa matrice est symétrique.
Orthogonaux : $u$ est orthogonal si $\forall x \in E, \|u(x)\| = \|x\|$ . Cela équivaut à $u^* \circ u = Id_E$ .
Théorème spectral : Tout endomorphisme autoadjoint est diagonalisable dans une base orthonormée.

Méthodes à maîtriser

Pour montrer qu'un endomorphisme est autoadjoint : vérifier que sa matrice est symétrique dans une base orthonormée.
Pour montrer qu'il est orthogonal : vérifier que $\langle u(x), u(y) \rangle = \langle x, y \rangle$ ou que $u^* \circ u = Id$ .
Pour diagonaliser : trouver les valeurs propres, déterminer les sous-espaces propres, puis les orthonormaliser par le procédé de Gram-Schmidt.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $u$ dont la matrice est $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ . Elle est symétrique, donc $u$ est autoadjoint.
Exemple 2 : Une rotation plane d'angle $\theta$ a pour matrice $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ , elle est orthogonale car $A^T A = I$ .

Erreurs fréquentes

Confondre matrice symétrique et matrice orthogonale.
Oublier que le théorème spectral ne s'applique qu'aux endomorphismes autoadjoints.
Ne pas vérifier que la base est orthonormée avant de conclure sur la symétrie de la matrice.

L'essentiel du cours

Adjoint : Pour tout endomorphisme $u$ d'un espace euclidien $E$, il existe un unique $u^$ tel que $\forall x, y \in E, \langle u(x), y \rangle = \langle x, u^(y) \rangle$.
Autoadjoints : $u$ est autoadjoint si $u = u^*$. Dans une base orthonormée, sa matrice est symétrique.
Orthogonaux : $u$ est orthogonal si $\forall x \in E, |u(x)| = |x|$. Cela équivaut à $u^* \circ u = Id_E$.
Théorème spectral : Tout endomorphisme autoadjoint est diagonalisable dans une base orthonormée.

Méthodes à maîtriser

Pour montrer qu'un endomorphisme est autoadjoint : vérifier que sa matrice est symétrique dans une base orthonormée.
Pour montrer qu'il est orthogonal : vérifier que $\langle u(x), u(y) \rangle = \langle x, y \rangle$ ou que $u^* \circ u = Id$.
Pour diagonaliser : trouver les valeurs propres, déterminer les sous-espaces propres, puis les orthonormaliser par le procédé de Gram-Schmidt.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $u$ dont la matrice est $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 \end{pmatrix}$. Elle est symétrique, donc $u$ est autoadjoint.
Exemple 2 : Une rotation plane d'angle $\theta$ a pour matrice $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$, elle est orthogonale car $A^T A = I$.

Erreurs fréquentes

Confondre matrice symétrique et matrice orthogonale.
Oublier que le théorème spectral ne s'applique qu'aux endomorphismes autoadjoints.
Ne pas vérifier que la base est orthonormée avant de conclure sur la symétrie de la matrice.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Endomorphismes des espaces euclidiens

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Soit $u$ un endomorphisme autoadjoint. Alors :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre un endomorphisme autoadjoint et une matrice symétrique ?

L'endomorphisme autoadjoint est un objet géométrique défini indépendamment de la base.
La matrice symétrique est la représentation de cet endomorphisme dans une base orthonormée.
Si la base n'est pas orthonormée, la matrice d'un endomorphisme autoadjoint n'est pas forcément symétrique.

💡 À retenir : La symétrie de la matrice dépend du choix de la base (elle doit être orthonormée).

Kifach n'biyen bli wa7d l'endomorphisme howa orthogonal ?

Tu dois montrer que pour tout vecteur $x$ , $\|u(x)\| = \|x\|$ .
Ou bien, tu calcules $u^* \circ u$ et tu vérifies si tu trouves l'identité $Id$ .
Si tu as la matrice $M$ dans une base orthonormée, vérifie que $M^T M = I$ .

💡 À retenir : L'orthogonalité préserve la norme et le produit scalaire.

Tu dois montrer que pour tout vecteur $x$, $|u(x)| = |x|$.
Ou bien, tu calcules $u^* \circ u$ et tu vérifies si tu trouves l'identité $Id$.
Si tu as la matrice $M$ dans une base orthonormée, vérifie que $M^T M = I$.

💡 À retenir : L'orthogonalité préserve la norme et le produit scalaire.

Est-ce que tout endomorphisme autoadjoint est diagonalisable ?

Oui, c'est le résultat fondamental du théorème spectral. Dans un espace euclidien, tout endomorphisme autoadjoint admet une base orthonormée de vecteurs propres.

💡 À retenir : Autoadjoint = Diagonalisable dans une base orthonormée.

Chno hiya l'relation bin l'adjoint et la transposée ?

Si tu travailles dans une base orthonormée, la matrice de l'adjoint $u^*$ est exactement la transposée de la matrice de $u$ .
Si la base n'est pas orthonormée, cette relation n'est plus vraie.

💡 À retenir : Matrice de $u^*$ = Transposée de $M$ (seulement si la base est orthonormée).

Si tu travailles dans une base orthonormée, la matrice de l'adjoint $u^*$ est exactement la transposée de la matrice de $u$.
Si la base n'est pas orthonormée, cette relation n'est plus vraie.

💡 À retenir : Matrice de $u^*$ = Transposée de $M$ (seulement si la base est orthonormée).

Est-ce qu'un endomorphisme orthogonal est toujours diagonalisable ?

Non, pas forcément dans $\mathbb{R}$ . Par exemple, une rotation plane d'angle $\theta \neq 0, \pi$ n'a pas de valeurs propres réelles, donc elle n'est pas diagonalisable.

💡 À retenir : Un endomorphisme orthogonal est diagonalisable si et seulement s'il est aussi autoadjoint (c'est-à-dire une symétrie).

Non, pas forcément dans $\mathbb{R}$. Par exemple, une rotation plane d'angle $\theta \neq 0, \pi$ n'a pas de valeurs propres réelles, donc elle n'est pas diagonalisable.

💡 À retenir : Un endomorphisme orthogonal est diagonalisable si et seulement s'il est aussi autoadjoint (c'est-à-dire une symétrie).

Kifach n'khdem b'Gram-Schmidt bach n'l9a base orthonormée ?

Tu prends une base $(v_1, v_2, ...)$ du sous-espace propre.
Tu poses $e_1 = v_1 / \|v_1\|$ .
Tu construis $e_2$ en enlevant la projection de $v_2$ sur $e_1$ , puis tu normalises.

💡 À retenir : Gram-Schmidt permet de transformer n'importe quelle base en base orthonormée.

Tu prends une base $(v_1, v_2, ...)$ du sous-espace propre.
Tu poses $e_1 = v_1 / |v_1|$.
Tu construis $e_2$ en enlevant la projection de $v_2$ sur $e_1$, puis tu normalises.

💡 À retenir : Gram-Schmidt permet de transformer n'importe quelle base en base orthonormée.

Est-ce que le spectre d'un endomorphisme orthogonal est inclus dans {-1, 1} ?

Non, les valeurs propres d'un endomorphisme orthogonal sont de module 1 (donc $\pm 1$ dans $\mathbb{R}$ ), mais elles ne sont pas obligatoirement réelles. Dans $\mathbb{C}$ , elles sont sur le cercle unité.

💡 À retenir : Dans $\mathbb{R}$ , les seules valeurs propres possibles sont $1$ et $-1$ .

Non, les valeurs propres d'un endomorphisme orthogonal sont de module 1 (donc $\pm 1$ dans $\mathbb{R}$), mais elles ne sont pas obligatoirement réelles. Dans $\mathbb{C}$, elles sont sur le cercle unité.

💡 À retenir : Dans $\mathbb{R}$, les seules valeurs propres possibles sont $1$ et $-1$.

C'est quoi un projecteur orthogonal ?

C'est un projecteur ( $p^2 = p$ ) tel que le noyau et l'image sont orthogonaux ( $Ker(p) \perp Im(p)$ ).

💡 À retenir : $p$ est un projecteur orthogonal ssi $p$ est autoadjoint.

C'est un projecteur ($p^2 = p$) tel que le noyau et l'image sont orthogonaux ($Ker(p) \perp Im(p)$).

💡 À retenir : $p$ est un projecteur orthogonal ssi $p$ est autoadjoint.

Est-ce que la somme de deux endomorphismes autoadjoints est autoadjointe ?

Oui, car l'application $u \mapsto u^*$ est linéaire. Si $u$ et $v$ sont autoadjoints, $(u+v)^* = u^* + v^* = u + v$ .

💡 À retenir : L'ensemble des endomorphismes autoadjoints est un sous-espace vectoriel.

Oui, car l'application $u \mapsto u^$ est linéaire. Si $u$ et $v$ sont autoadjoints, $(u+v)^ = u^* + v^* = u + v$.

💡 À retenir : L'ensemble des endomorphismes autoadjoints est un sous-espace vectoriel.

Wach l'inverse d'une matrice orthogonale est toujours orthogonale ?

Oui, car si $M^T M = I$ , alors $M^T = M^{-1}$ . Comme $(M^{-1})^T M^{-1} = (M^T)^T M^T = M M^T = I$ , l'inverse est bien orthogonale.

💡 À retenir : L'ensemble des matrices orthogonales forme un groupe.

Oui, car si $M^T M = I$, alors $M^T = M^{-1}$. Comme $(M^{-1})^T M^{-1} = (M^T)^T M^T = M M^T = I$, l'inverse est bien orthogonale.

💡 À retenir : L'ensemble des matrices orthogonales forme un groupe.

Comment savoir si une matrice est une symétrie orthogonale ?

Vérifie qu'elle est orthogonale ( $M^T M = I$ ).
Vérifie qu'elle est autoadjoint ( $M^T = M$ ).
Cela implique $M^2 = I$ .

💡 À retenir : Une symétrie orthogonale est à la fois orthogonale et autoadjointe.

Vérifie qu'elle est orthogonale ($M^T M = I$).
Vérifie qu'elle est autoadjoint ($M^T = M$).
Cela implique $M^2 = I$.

💡 À retenir : Une symétrie orthogonale est à la fois orthogonale et autoadjointe.

Est-ce que le déterminant d'un endomorphisme orthogonal peut être 0 ?

Non, car $u^* \circ u = Id$ implique $\det(u^*)\det(u) = 1$ , donc $\det(u)^2 = 1$ . Le déterminant est toujours $1$ ou $-1$ .

💡 À retenir : Un endomorphisme orthogonal est toujours un isomorphisme.

Non, car $u^* \circ u = Id$ implique $\det(u^*)\det(u) = 1$, donc $\det(u)^2 = 1$. Le déterminant est toujours $1$ ou $-1$.

💡 À retenir : Un endomorphisme orthogonal est toujours un isomorphisme.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $E$ un espace euclidien de dimension 3 muni d'une base orthonormée $\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3)$ . Soit $u$ l'endomorphisme dont la matrice dans $\mathcal{B}$ est : $A = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

Montrer que $u$ est un endomorphisme orthogonal.
Montrer que $u$ est une symétrie orthogonale.
Déterminer les sous-espaces propres de $u$ .

Exercice 1

Soit $E$ un espace euclidien de dimension 3 muni d'une base orthonormée $\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3)$. Soit $u$ l'endomorphisme dont la matrice dans $\mathcal{B}$ est : $$A = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \ 2 & 1 & -2 \ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$

Montrer que $u$ est un endomorphisme orthogonal.
Montrer que $u$ est une symétrie orthogonale.
Déterminer les sous-espaces propres de $u$.

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Exercice 2

Soit $S$ l'ensemble des matrices symétriques réelles de taille $n \times n$ . Montrer que si $A, B \in S$ , alors $AB$ est symétrique si et seulement si $AB = BA$ .

Exercice 2

Soit $S$ l'ensemble des matrices symétriques réelles de taille $n \times n$. Montrer que si $A, B \in S$, alors $AB$ est symétrique si et seulement si $AB = BA$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $p$ un projecteur d'un espace euclidien $E$ . Montrer que $p$ est un projecteur orthogonal si et seulement si $\forall x \in E, \|p(x)\| \leq \|x\|$ .

Exercice 3

Soit $p$ un projecteur d'un espace euclidien $E$. Montrer que $p$ est un projecteur orthogonal si et seulement si $\forall x \in E, |p(x)| \leq |x|$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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