Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — PSI

Séries numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une série numérique $\sum u_n$ est la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$ .

Convergence : $\sum u_n$ converge si la suite $(S_n)$ admet une limite finie.
Condition nécessaire : Si $\sum u_n$ converge, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ . (La réciproque est fausse).
Séries de référence :
- Géométrique : $\sum q^n$ converge ssi $|q| < 1$ .
- Riemann : $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge ssi $\alpha > 1$ .

Méthodes à maîtriser

Utiliser les théorèmes de comparaison pour les séries à termes positifs.
Appliquer le critère de d'Alembert : Si $\lim |\frac{u_{n+1}}{u_n}| = l$ , alors convergence si $l < 1$ , divergence si $l > 1$ .
Appliquer le CSSA : Pour $\sum (-1)^n a_n$ avec $a_n \geq 0$ , si $(a_n)$ est décroissante et $\lim a_n = 0$ , alors la série converge.

Exemples corrigés

Série harmonique : $\sum \frac{1}{n}$ diverge (Riemann avec $\alpha = 1$ ).
Série exponentielle : $\sum \frac{x^n}{n!}$ converge pour tout $x \in \mathbb{R}$ (d'Alembert).

Erreurs fréquentes

Penser que $\lim u_n = 0$ implique la convergence (ex: série harmonique).
Oublier de vérifier la décroissance dans le CSSA.
Confondre la convergence de la suite $(u_n)$ et celle de la série $\sum u_n$ .

L'essentiel du cours

Une série numérique $\sum u_n$ est la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$.

Convergence : $\sum u_n$ converge si la suite $(S_n)$ admet une limite finie.
Condition nécessaire : Si $\sum u_n$ converge, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$. (La réciproque est fausse).
Séries de référence :
- Géométrique : $\sum q^n$ converge ssi $|q| < 1$.
- Riemann : $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge ssi $\alpha > 1$.

Méthodes à maîtriser

Utiliser les théorèmes de comparaison pour les séries à termes positifs.
Appliquer le critère de d'Alembert : Si $\lim |\frac{u_{n+1}}{u_n}| = l$, alors convergence si $l < 1$, divergence si $l > 1$.
Appliquer le CSSA : Pour $\sum (-1)^n a_n$ avec $a_n \geq 0$, si $(a_n)$ est décroissante et $\lim a_n = 0$, alors la série converge.

Exemples corrigés

Série harmonique : $\sum \frac{1}{n}$ diverge (Riemann avec $\alpha = 1$).
Série exponentielle : $\sum \frac{x^n}{n!}$ converge pour tout $x \in \mathbb{R}$ (d'Alembert).

Erreurs fréquentes

Penser que $\lim u_n = 0$ implique la convergence (ex: série harmonique).
Oublier de vérifier la décroissance dans le CSSA.
Confondre la convergence de la suite $(u_n)$ et celle de la série $\sum u_n$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Séries numériques

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La série $\sum \frac{1}{n^2}$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que si lim un = 0, alors la série converge forcément ?

Non, c'est une erreur classique. La condition $\lim u_n = 0$ est nécessaire mais pas suffisante. Par exemple, la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ a pour limite 0 mais elle diverge.

💡 À retenir : La condition nécessaire ne sert qu'à prouver la divergence (si $\lim u_n \neq 0$ ).

Non, c'est une erreur classique. La condition $\lim u_n = 0$ est nécessaire mais pas suffisante. Par exemple, la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ a pour limite 0 mais elle diverge.

💡 À retenir : La condition nécessaire ne sert qu'à prouver la divergence (si $\lim u_n \neq 0$).

Kifach n3ref wach nst3mel d'Alembert wla l-mo9arana ?

Si tu vois des factorielles ( $n!$ ) ou des puissances ( $a^n$ ), d'Alembert est souvent le plus rapide.
Si tu as des fractions rationnelles (polynômes), utilise la comparaison avec les séries de Riemann.

💡 À retenir : D'Alembert est efficace quand le rapport $u_{n+1}/u_n$ se simplifie bien.

Si tu vois des factorielles ($n!$) ou des puissances ($a^n$), d'Alembert est souvent le plus rapide.
Si tu as des fractions rationnelles (polynômes), utilise la comparaison avec les séries de Riemann.

💡 À retenir : D'Alembert est efficace quand le rapport $u_{n+1}/u_n$ se simplifie bien.

Chno hiya l-far9 bin l-mota7aliya w l-motsalsila ?

La suite $(u_n)$ est une liste de nombres. La série $\sum u_n$ est la suite des sommes cumulées de ces nombres.

💡 À retenir : La série est l'accumulation des termes de la suite.

La suite $(u_n)$ est une liste de nombres. La série $\sum u_n$ est la suite des sommes cumulées de ces nombres.

💡 À retenir : La série est l'accumulation des termes de la suite.

Comment démontrer qu'une série est divergente ?

Montrer que $\lim u_n \neq 0$ .
Utiliser une comparaison avec une série divergente connue (ex: $\sum 1/n$ ).
Montrer que la suite des sommes partielles $S_n$ tend vers $\pm \infty$ .

💡 À retenir : La méthode 1 est la plus rapide, vérifie-la toujours en premier.

Montrer que $\lim u_n \neq 0$.
Utiliser une comparaison avec une série divergente connue (ex: $\sum 1/n$).
Montrer que la suite des sommes partielles $S_n$ tend vers $\pm \infty$.

💡 À retenir : La méthode 1 est la plus rapide, vérifie-la toujours en premier.

Chno l-3ala9a bin l-motsalsila l-handasiya w l-motsalsila l-3adiya ?

La série géométrique est un cas particulier où le rapport entre deux termes consécutifs est constant ( $u_{n+1} = q \cdot u_n$ ).

💡 À retenir : Elle est très utile car on connaît sa formule de somme : $S_n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ .

La série géométrique est un cas particulier où le rapport entre deux termes consécutifs est constant ($u_{n+1} = q \cdot u_n$).

💡 À retenir : Elle est très utile car on connaît sa formule de somme : $S_n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Qu'est-ce qu'une série alternée ?

C'est une série de la forme $\sum (-1)^n a_n$ ou $\sum (-1)^{n+1} a_n$ avec $a_n \geq 0$ .

💡 À retenir : Utilise le CSSA pour prouver la convergence.

C'est une série de la forme $\sum (-1)^n a_n$ ou $\sum (-1)^{n+1} a_n$ avec $a_n \geq 0$.

💡 À retenir : Utilise le CSSA pour prouver la convergence.

Est-ce que je peux utiliser d'Alembert si la limite est 1 ?

Non, si la limite est 1, le critère de d'Alembert ne permet pas de conclure. Il faut utiliser une autre méthode (comparaison, développement limité).

💡 À retenir : D'Alembert est "muet" quand $l=1$ .

Non, si la limite est 1, le critère de d'Alembert ne permet pas de conclure. Il faut utiliser une autre méthode (comparaison, développement limité).

💡 À retenir : D'Alembert est "muet" quand $l=1$.

Comment majorer une série pour prouver sa convergence ?

Il faut trouver une série $\sum v_n$ convergente telle que $0 \leq u_n \leq v_n$ pour $n$ assez grand.

💡 À retenir : Pense souvent aux séries de Riemann $\sum 1/n^\alpha$ avec $\alpha > 1$ .

Il faut trouver une série $\sum v_n$ convergente telle que $0 \leq u_n \leq v_n$ pour $n$ assez grand.

💡 À retenir : Pense souvent aux séries de Riemann $\sum 1/n^\alpha$ avec $\alpha > 1$.

Est-ce que la nature d'une série change si on modifie les premiers termes ?

Non, la convergence d'une série ne dépend que du comportement des termes à l'infini.

💡 À retenir : Tu peux toujours ignorer un nombre fini de termes au début.

Qu'est-ce que le reste d'une série ?

C'est la différence entre la somme totale $S$ et la somme partielle $S_n$ : $R_n = S - S_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k$ .

💡 À retenir : Pour les séries convergentes, $R_n$ tend vers 0 quand $n \to +\infty$ .

C'est la différence entre la somme totale $S$ et la somme partielle $S_n$ : $R_n = S - S_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k$.

💡 À retenir : Pour les séries convergentes, $R_n$ tend vers 0 quand $n \to +\infty$.

Comment savoir si une série est à termes positifs ?

Il suffit de vérifier que $u_n \geq 0$ pour tout $n$ (ou à partir d'un certain rang).

💡 À retenir : C'est indispensable pour utiliser les théorèmes de comparaison.

Il suffit de vérifier que $u_n \geq 0$ pour tout $n$ (ou à partir d'un certain rang).

💡 À retenir : C'est indispensable pour utiliser les théorèmes de comparaison.

Pourquoi on étudie les séries numériques en PSI ?

Parce qu'elles sont la base pour comprendre les séries de fonctions et les séries entières, essentielles en physique et en analyse.

💡 À retenir : C'est un outil fondamental pour le calcul approché.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Étudier la nature de la série de terme général $u_n = \frac{n^2 + 1}{n^3 + 2n + 1}$ .

Exercice 1

Étudier la nature de la série de terme général $u_n = \frac{n^2 + 1}{n^3 + 2n + 1}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Étudier la nature de la série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{2^n}$ .

Exercice 2

Étudier la nature de la série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{2^n}$.

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Exercice 3

Étudier la convergence de la série $\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}$ .

Exercice 3

Étudier la convergence de la série $\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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