Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — PSI

Réduction des endomorphismes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Valeurs propres : $\lambda \in \mathbb{K}$ est valeur propre de $f$ s'il existe $x \neq 0$ tel que $f(x) = \lambda x$ .
Polynôme caractéristique : $P_f(\lambda) = \det(A - \lambda I_n)$ . Les racines de $P_f$ sont les valeurs propres.
Diagonalisation : $f$ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à $n$ (ou si $P_f$ est scindé et $m_a(\lambda) = m_g(\lambda)$ ).
Trigonalisation : $f$ est trigonalisable si et seulement si $P_f$ est scindé sur $\mathbb{K}$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul du polynôme caractéristique : Utiliser les opérations sur les lignes/colonnes pour faire apparaître des zéros.
Recherche des sous-espaces propres : Résoudre le système linéaire $(A - \lambda I)X = 0$ .
Vérification de la diagonalisabilité : Comparer multiplicité algébrique et géométrique.
Calcul des puissances : Utiliser $A = PDP^{-1}$ donc $A^n = PD^nP^{-1}$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . $P_A(\lambda) = (1-\lambda)(2-\lambda)$ . Valeurs propres : 1 et 2. Comme elles sont distinctes, $A$ est diagonalisable.
Exemple 2 : $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ . $P_A(\lambda) = \lambda^2$ . Valeur propre 0 (mult. 2). $E_0 = \ker(A) = \text{vect}(e_1)$ , dim = 1. $1 \neq 2$ , donc non diagonalisable.

Erreurs fréquentes

Oublier que le vecteur propre doit être non nul.
Confondre multiplicité algébrique et géométrique.
Croire que tout polynôme annulateur donne les valeurs propres (seul le polynôme caractéristique les donne toutes).

L'essentiel du cours

Valeurs propres : $\lambda \in \mathbb{K}$ est valeur propre de $f$ s'il existe $x \neq 0$ tel que $f(x) = \lambda x$.
Polynôme caractéristique : $P_f(\lambda) = \det(A - \lambda I_n)$. Les racines de $P_f$ sont les valeurs propres.
Diagonalisation : $f$ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à $n$ (ou si $P_f$ est scindé et $m_a(\lambda) = m_g(\lambda)$).
Trigonalisation : $f$ est trigonalisable si et seulement si $P_f$ est scindé sur $\mathbb{K}$.

Méthodes à maîtriser

Calcul du polynôme caractéristique : Utiliser les opérations sur les lignes/colonnes pour faire apparaître des zéros.
Recherche des sous-espaces propres : Résoudre le système linéaire $(A - \lambda I)X = 0$.
Vérification de la diagonalisabilité : Comparer multiplicité algébrique et géométrique.
Calcul des puissances : Utiliser $A = PDP^{-1}$ donc $A^n = PD^nP^{-1}$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 2 \end{pmatrix}$. $P_A(\lambda) = (1-\lambda)(2-\lambda)$. Valeurs propres : 1 et 2. Comme elles sont distinctes, $A$ est diagonalisable.
Exemple 2 : $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$. $P_A(\lambda) = \lambda^2$. Valeur propre 0 (mult. 2). $E_0 = \ker(A) = \text{vect}(e_1)$, dim = 1. $1 \neq 2$, donc non diagonalisable.

Erreurs fréquentes

Oublier que le vecteur propre doit être non nul.
Confondre multiplicité algébrique et géométrique.
Croire que tout polynôme annulateur donne les valeurs propres (seul le polynôme caractéristique les donne toutes).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Réduction des endomorphismes

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Soit $A$ une matrice $3 \times 3$ telle que $P_A(\lambda) = (2-\lambda)^3$ . Si $A$ est diagonalisable, alors :

Soit $A$ une matrice $3 \times 3$ telle que $P_A(\lambda) = (2-\lambda)^3$. Si $A$ est diagonalisable, alors :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que si une matrice est inversible, elle est forcément diagonalisable ?

Non, pas du tout. L'inversibilité concerne le déterminant (qui doit être non nul), alors que la diagonalisation concerne la structure des sous-espaces propres. Par exemple, la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ est inversible (déterminant = 1) mais n'est pas diagonalisable car elle n'admet qu'une seule valeur propre 1 avec une multiplicité géométrique de 1.

💡 À retenir : Inversibilité et diagonalisation sont deux propriétés indépendantes.

Non, pas du tout. L'inversibilité concerne le déterminant (qui doit être non nul), alors que la diagonalisation concerne la structure des sous-espaces propres. Par exemple, la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ est inversible (déterminant = 1) mais n'est pas diagonalisable car elle n'admet qu'une seule valeur propre 1 avec une multiplicité géométrique de 1.

💡 À retenir : Inversibilité et diagonalisation sont deux propriétés indépendantes.

Kifach n3ref wach matrice diagonalisable bla ma n7seb les vecteurs propres ?

Chouf l'polynôme caractéristique : ila kan scindé (koulchi fih 3la chkl $(x-a)$ ) o les racines kolhom distincts, rah diagonalisable.
Ila kan chi racine m3awda, khassk t7seb la dimension dyal l'sous-espace propre dyalha (la multiplicité géométrique). Ila kanet kat-sawy la multiplicité algébrique, rah diagonalisable.

💡 À retenir : Si $P_f$ a $n$ racines distinctes, c'est gagné.

Chouf l'polynôme caractéristique : ila kan scindé (koulchi fih 3la chkl $(x-a)$) o les racines kolhom distincts, rah diagonalisable.
Ila kan chi racine m3awda, khassk t7seb la dimension dyal l'sous-espace propre dyalha (la multiplicité géométrique). Ila kanet kat-sawy la multiplicité algébrique, rah diagonalisable.

💡 À retenir : Si $P_f$ a $n$ racines distinctes, c'est gagné.

Est-ce que la somme des valeurs propres est égale au déterminant ?

Non, c'est une erreur classique. La somme des valeurs propres est égale à la trace de la matrice (la somme des éléments de la diagonale). Le produit des valeurs propres est égal au déterminant.

💡 À retenir : Trace = somme, Déterminant = produit.

Chno hiya l'multiplicité géométrique exactement ?

C'est la dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre $\lambda$ . En gros, c'est le nombre de vecteurs propres linéairement indépendants que tu peux trouver pour cette valeur propre.

💡 À retenir : $1 \leq m_g(\lambda) \leq m_a(\lambda)$ .

C'est la dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre $\lambda$. En gros, c'est le nombre de vecteurs propres linéairement indépendants que tu peux trouver pour cette valeur propre.

💡 À retenir : $1 \leq m_g(\lambda) \leq m_a(\lambda)$.

Kifach n7seb A^n ila kant la matrice diagonalisable ?

Écris $A = PDP^{-1}$ où $D$ est la matrice diagonale.
Calcule $D^n$ (tu mets juste les puissances sur les éléments de la diagonale).
Utilise la formule $A^n = PD^nP^{-1}$ .

💡 À retenir : $A^n = PD^nP^{-1}$ est la méthode la plus rapide.

Écris $A = PDP^{-1}$ où $D$ est la matrice diagonale.
Calcule $D^n$ (tu mets juste les puissances sur les éléments de la diagonale).
Utilise la formule $A^n = PD^nP^{-1}$.

💡 À retenir : $A^n = PD^nP^{-1}$ est la méthode la plus rapide.

Est-ce qu'une matrice réelle peut être diagonalisable dans mathbb{C} mais pas dans mathbb{R} ?

Oui, tout à fait. Si le polynôme caractéristique possède des racines complexes non réelles, la matrice n'est pas diagonalisable dans $\mathbb{R}$ (car il n'y a pas assez de vecteurs propres réels), mais elle le sera dans $\mathbb{C}$ .

💡 À retenir : La diagonalisabilité dépend du corps de base ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).

💡 À retenir : La diagonalisabilité dépend du corps de base ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

Est-ce que le polynôme caractéristique change si on change de base ?

Non, le polynôme caractéristique est un invariant de l'endomorphisme. Si deux matrices sont semblables (représentent le même endomorphisme), elles ont le même polynôme caractéristique.

💡 À retenir : $\det(P^{-1}AP - \lambda I) = \det(A - \lambda I)$ .

Non, le polynôme caractéristique est un invariant de l'endomorphisme. Si deux matrices sont semblables (représentent le même endomorphisme), elles ont le même polynôme caractéristique.

💡 À retenir : $\det(P^{-1}AP - \lambda I) = \det(A - \lambda I)$.

Est-ce qu'une matrice triangulaire est toujours diagonalisable ?

Non. Une matrice triangulaire est toujours trigonalisable, mais elle n'est diagonalisable que si les multiplicités algébriques et géométriques de chaque valeur propre coïncident.

💡 À retenir : Triangulaire $\neq$ Diagonalisable.

Non. Une matrice triangulaire est toujours trigonalisable, mais elle n'est diagonalisable que si les multiplicités algébriques et géométriques de chaque valeur propre coïncident.

💡 À retenir : Triangulaire $\neq$ Diagonalisable.

Chno l'far9 bin polynôme caractéristique o polynôme annulateur ?

Le polynôme caractéristique est unique et donne les valeurs propres. Le polynôme annulateur est n'importe quel polynôme $P$ tel que $P(A) = 0$ . Il en existe une infinité, mais le "polynôme minimal" est celui qui divise tous les autres.

💡 À retenir : Le polynôme caractéristique annule toujours la matrice (Cayley-Hamilton).

Le polynôme caractéristique est unique et donne les valeurs propres. Le polynôme annulateur est n'importe quel polynôme $P$ tel que $P(A) = 0$. Il en existe une infinité, mais le "polynôme minimal" est celui qui divise tous les autres.

💡 À retenir : Le polynôme caractéristique annule toujours la matrice (Cayley-Hamilton).

Est-ce que si A^2 = I, alors A est diagonalisable ?

Oui. Le polynôme $P(X) = X^2 - 1 = (X-1)(X+1)$ est un polynôme annulateur. Comme il est scindé à racines simples, la matrice $A$ est diagonalisable.

💡 À retenir : Un polynôme annulateur scindé à racines simples implique la diagonalisabilité.

Oui. Le polynôme $P(X) = X^2 - 1 = (X-1)(X+1)$ est un polynôme annulateur. Comme il est scindé à racines simples, la matrice $A$ est diagonalisable.

💡 À retenir : Un polynôme annulateur scindé à racines simples implique la diagonalisabilité.

Est-ce que la matrice nulle est diagonalisable ?

Oui, elle est déjà diagonale (tous ses éléments sont nuls). Elle est donc trivialement diagonalisable.

💡 À retenir : La matrice nulle est diagonalisable.

Est-ce que deux matrices ayant le même polynôme caractéristique sont forcément semblables ?

Non. Par exemple, $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ont le même polynôme caractéristique ( $\lambda^2$ ), mais elles ne sont pas semblables car la première n'est pas diagonalisable et la seconde l'est.

💡 À retenir : Le polynôme caractéristique ne suffit pas pour caractériser la similitude.

Non. Par exemple, $\begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ont le même polynôme caractéristique ($\lambda^2$), mais elles ne sont pas semblables car la première n'est pas diagonalisable et la seconde l'est.

💡 À retenir : Le polynôme caractéristique ne suffit pas pour caractériser la similitude.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ .

Déterminer le polynôme caractéristique de $A$ .
En déduire les valeurs propres de $A$ .
La matrice $A$ est-elle diagonalisable dans $\mathbb{R}$ ? Justifier.

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \ 2 & 0 \end{pmatrix}$.

Déterminer le polynôme caractéristique de $A$.
En déduire les valeurs propres de $A$.
La matrice $A$ est-elle diagonalisable dans $\mathbb{R}$ ? Justifier.

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Exercice 2

Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice dans la base canonique est $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ .

Calculer le polynôme caractéristique.
Déterminer les sous-espaces propres.
$f$ est-il diagonalisable ?

Exercice 2

Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice dans la base canonique est $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$.

Calculer le polynôme caractéristique.
Déterminer les sous-espaces propres.
$f$ est-il diagonalisable ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Montrer que $-1$ est valeur propre.
Déterminer la dimension de $E_{-1}$ .
En déduire que $A$ est diagonalisable.

Exercice 3

Soit $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Montrer que $-1$ est valeur propre.
Déterminer la dimension de $E_{-1}$.
En déduire que $A$ est diagonalisable.

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