Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — PSI

Séries entières

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une série entière est une série de fonctions de la forme $\sum a_n x^n$ .

Rayon de convergence ( $R$ ) : Il existe un unique $R \in [0, +\infty]$ tel que la série converge absolument pour $|x| < R$ et diverge pour $|x| > R$ .
Calcul de $R$ : On utilise souvent la règle de d'Alembert : si $\lim_{n \to +\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = L$ , alors $R = \frac{1}{L}$ .
Propriétés : La fonction somme $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ est de classe $C^\infty$ sur $]-R, R[$ . On peut dériver et intégrer terme à terme.

Méthodes à maîtriser

Déterminer $R$ : Appliquer d'Alembert ou Cauchy. Si $a_n$ contient des factorielles, d'Alembert est privilégié.
Développement en série entière (DSE) : Utiliser les DSE usuels ( $e^x, \ln(1+x), \frac{1}{1-x}$ , etc.) et les opérations (somme, produit, dérivation).
Calcul de somme : Reconnaître une série géométrique ou une série dérivée d'une série géométrique.

Exemples corrigés

DSE de $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ : On sait que $\frac{1}{1-u} = \sum u^n$ . En posant $u = -x^2$ , on obtient $\sum (-1)^n x^{2n}$ pour $|x| < 1$ .
Rayon de $e^x$ : $a_n = \frac{1}{n!}$ . $|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \to 0$ . Donc $R = +\infty$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser l'intervalle de convergence.
Croire que la série converge toujours aux bornes $x = R$ ou $x = -R$ .
Confondre la série dérivée avec la dérivée de la somme (bien que ce soit égal, la justification par la convergence uniforme est nécessaire).

L'essentiel du cours

Une série entière est une série de fonctions de la forme $\sum a_n x^n$.

Rayon de convergence ($R$) : Il existe un unique $R \in [0, +\infty]$ tel que la série converge absolument pour $|x| < R$ et diverge pour $|x| > R$.
Calcul de $R$ : On utilise souvent la règle de d'Alembert : si $\lim_{n \to +\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = L$, alors $R = \frac{1}{L}$.
Propriétés : La fonction somme $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ est de classe $C^\infty$ sur $]-R, R[$. On peut dériver et intégrer terme à terme.

Méthodes à maîtriser

Déterminer $R$ : Appliquer d'Alembert ou Cauchy. Si $a_n$ contient des factorielles, d'Alembert est privilégié.
Développement en série entière (DSE) : Utiliser les DSE usuels ($e^x, \ln(1+x), \frac{1}{1-x}$, etc.) et les opérations (somme, produit, dérivation).
Calcul de somme : Reconnaître une série géométrique ou une série dérivée d'une série géométrique.

Exemples corrigés

DSE de $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ : On sait que $\frac{1}{1-u} = \sum u^n$. En posant $u = -x^2$, on obtient $\sum (-1)^n x^{2n}$ pour $|x| < 1$.
Rayon de $e^x$ : $a_n = \frac{1}{n!}$. $|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \to 0$. Donc $R = +\infty$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser l'intervalle de convergence.
Croire que la série converge toujours aux bornes $x = R$ ou $x = -R$.
Confondre la série dérivée avec la dérivée de la somme (bien que ce soit égal, la justification par la convergence uniforme est nécessaire).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Séries entières

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Le rayon de convergence de $\sum \frac{x^n}{n!}$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n-l9a R ila kan l-coefficient an fih factorielle?

Ktab l-hadd l-3am $u_n(x) = a_n x^n$ .
Hseb l-limite dyal $|\frac{a_{n+1}}{a_n}|$ lamma $n \to +\infty$ .
Ila l-limite hiya $L$ , $R = 1/L$ .
Ila kan $L=0$ , $R=+\infty$ . Ila kan $L=+\infty$ , $R=0$ .

💡 À retenir : D'Alembert hiya l-a7san tari9a m3a l-factorielle.

Ktab l-hadd l-3am $u_n(x) = a_n x^n$.
Hseb l-limite dyal $|\frac{a_{n+1}}{a_n}|$ lamma $n \to +\infty$.
Ila l-limite hiya $L$, $R = 1/L$.
Ila kan $L=0$, $R=+\infty$. Ila kan $L=+\infty$, $R=0$.

💡 À retenir : D'Alembert hiya l-a7san tari9a m3a l-factorielle.

Wach dima l-convergence katkon f-l-bornes x=R et x=-R?

Non, machi dima. F-l-bornes, khassk t-dres l-convergence dyal s-selsila 3adadiya li kat-7sel 3liha.

💡 À retenir : L-convergence f-l-bornes khassha d-rasa moustaqila.

Chno hiya l-3ala9a bin s-selsila l-asliya o s-selsila l-mouchta9a?

S-selsila l-mouchta9a hiya $\sum n a_n x^{n-1}$ .
3ndhom nafs rayone de convergence $R$ .
L-moujmo3 dyal s-selsila l-mouchta9a howa l-mouchta9a dyal l-moujmo3 dyal s-selsila l-asliya.

💡 À retenir : L-mouchta9a kat-7afed 3la nafs R.

S-selsila l-mouchta9a hiya $\sum n a_n x^{n-1}$.
3ndhom nafs rayone de convergence $R$.
L-moujmo3 dyal s-selsila l-mouchta9a howa l-mouchta9a dyal l-moujmo3 dyal s-selsila l-asliya.

💡 À retenir : L-mouchta9a kat-7afed 3la nafs R.

Comment justifier la dérivabilité de la fonction somme ?

On utilise le théorème de dérivation terme à terme : si la série $\sum a_n x^n$ a un rayon $R > 0$ , alors la fonction somme est $C^\infty$ sur $]-R, R[$ et sa dérivée est la somme de la série dérivée.

On utilise le théorème de dérivation terme à terme : si la série $\sum a_n x^n$ a un rayon $R > 0$, alors la fonction somme est $C^\infty$ sur $]-R, R[$ et sa dérivée est la somme de la série dérivée.

Quelle est la différence entre convergence simple et convergence uniforme pour les séries entières ?

Sur tout segment $[a, b] \subset ]-R, R[$ , la série entière converge normalement, donc uniformément. La convergence simple est assurée sur $]-R, R[$ .

Sur tout segment $[a, b] \subset ]-R, R[$, la série entière converge normalement, donc uniformément. La convergence simple est assurée sur $]-R, R[$.

Comment calculer la somme sum{n=1}^{+infty} n x^n ?

On reconnaît la dérivée de la série géométrique $\sum x^n = \frac{1}{1-x}$ . En dérivant, on obtient $\sum n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$ , donc $\sum n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ .

On reconnaît la dérivée de la série géométrique $\sum x^n = \frac{1}{1-x}$. En dérivant, on obtient $\sum n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$, donc $\sum n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$.

Peut-on multiplier deux séries entières ?

Oui, par le produit de Cauchy : $(\sum a_n x^n)(\sum b_n x^n) = \sum c_n x^n$ avec $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$ .

Oui, par le produit de Cauchy : $(\sum a_n x^n)(\sum b_n x^n) = \sum c_n x^n$ avec $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$.

Que faire si an ne tend pas vers 0 ?

Si $a_n$ ne tend pas vers 0, la série diverge pour tout $x \neq 0$ . Le rayon de convergence est alors $R = 0$ .

Si $a_n$ ne tend pas vers 0, la série diverge pour tout $x \neq 0$. Le rayon de convergence est alors $R = 0$.

Comment intégrer une série entière ?

On intègre terme à terme : $\int_0^x (\sum a_n t^n) dt = \sum \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}$ . Le rayon de convergence reste inchangé.

On intègre terme à terme : $\int_0^x (\sum a_n t^n) dt = \sum \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}$. Le rayon de convergence reste inchangé.

Est-ce que le rayon de convergence dépend de x ?

Non, le rayon de convergence est une constante qui dépend uniquement de la suite des coefficients $(a_n)$ .

Non, le rayon de convergence est une constante qui dépend uniquement de la suite des coefficients $(a_n)$.

Qu'est-ce qu'un développement en série entière usuel ?

Ce sont les DSE des fonctions classiques comme $e^x$ , $\sin(x)$ , $\cos(x)$ , $\ln(1+x)$ et $(1+x)^\alpha$ valables au voisinage de 0.

Ce sont les DSE des fonctions classiques comme $e^x$, $\sin(x)$, $\cos(x)$, $\ln(1+x)$ et $(1+x)^\alpha$ valables au voisinage de 0.

Comment prouver qu'une fonction est développable en série entière ?

Il faut montrer qu'elle est $C^\infty$ et que le reste de Taylor $R_n(x)$ tend vers 0 quand $n \to +\infty$ .

Il faut montrer qu'elle est $C^\infty$ et que le reste de Taylor $R_n(x)$ tend vers 0 quand $n \to +\infty$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^2}{2^n} x^n$ .

Exercice 1

Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^2}{2^n} x^n$.

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Exercice 2

Déterminer le DSE en 0 de $f(x) = \ln(1+x)$ et préciser son rayon de convergence.

Exercice 2

Déterminer le DSE en 0 de $f(x) = \ln(1+x)$ et préciser son rayon de convergence.

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Exercice 3

Calculer la somme $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) x^n$ pour $|x| < 1$ .

Exercice 3

Calculer la somme $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) x^n$ pour $|x| < 1$.

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