📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Soit $f : I \times [a, b] \to \mathbb{R}$ une fonction. On définit $F(x) = \int_a^b f(x, t) dt$.
- Continuité : Si $f$ est continue sur $I \times [a, b]$, alors $F$ est continue sur $I$.
- Dérivation (Leibniz) : Si $f$ et $\frac{\partial f}{\partial x}$ sont continues sur $I \times [a, b]$, alors $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = \int_a^b \frac{\partial f}{\partial x}(x, t) dt$.
- Cas des intégrales sur un intervalle quelconque : On utilise la convergence uniforme locale ou le théorème de convergence dominée pour passer à la limite sous le signe intégrale.
Méthodes à maîtriser
- Vérifier les hypothèses de continuité et de dérivabilité avant d'appliquer Leibniz.
- Pour les intégrales impropres, utiliser la domination par une fonction intégrable pour justifier la continuité ou la dérivabilité.
- Utiliser le changement de variable pour simplifier l'expression avant de dériver.
Exemples corrigés
Exemple : Soit $F(x) = \int_0^1 \frac{e^{xt}}{t} dt$ (à vérifier par le professeur si le domaine est borné). Pour $F(x) = \int_0^\pi \cos(xt) dt$, on a $F'(x) = \int_0^\pi -t \sin(xt) dt$. On calcule ensuite l'intégrale par parties.
Erreurs fréquentes
- Oublier de vérifier la continuité de la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$.
- Appliquer Leibniz alors que les bornes dépendent de $x$ sans utiliser la formule de dérivation composée : $\frac{d}{dx} \int_{u(x)}^{v(x)} f(x,t) dt = f(x, v(x))v'(x) - f(x, u(x))u'(x) + \int_{u(x)}^{v(x)} \frac{\partial f}{\partial x}(x, t) dt$.