Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — PSI

Équations différentielles linéaires

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est de la forme $y' + a(x)y = b(x)$ . Pour le second ordre à coefficients constants : $ay'' + by' + cy = f(x)$ .

Solution homogène ( $y_h$ ) : On résout $ay'' + by' + cy = 0$ en utilisant l'équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$ .
Solution particulière ( $y_p$ ) : On cherche une solution selon la forme de $f(x)$ (polynôme, exponentielle, sinus/cosinus).
Solution générale : $y = y_h + y_p$ .

Méthodes à maîtriser

Résolution de l'équation homogène : Identifier les racines de $ar^2 + br + c = 0$ (réelles distinctes, double, ou complexes).
Méthode de variation de la constante : Utile quand $f(x)$ ne permet pas de deviner $y_p$ .
Utilisation des conditions initiales : Déterminer les constantes $C_1, C_2$ pour résoudre le problème de Cauchy.

Exemples corrigés

Exemple : $y'' - 3y' + 2y = 0$ . Équation caractéristique : $r^2 - 3r + 2 = 0$ . Racines $r_1=1, r_2=2$ . Solution générale : $y(x) = C_1e^x + C_2e^{2x}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la solution particulière $y_p$ quand $f(x) \neq 0$ .
Se tromper dans le signe du discriminant $\Delta$ .
Ne pas dériver la solution générale pour appliquer les conditions initiales $y(x_0)$ et $y'(x_0)$ .

L'essentiel du cours

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est de la forme $y' + a(x)y = b(x)$. Pour le second ordre à coefficients constants : $ay'' + by' + cy = f(x)$.

Solution homogène ($y_h$) : On résout $ay'' + by' + cy = 0$ en utilisant l'équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$.
Solution particulière ($y_p$) : On cherche une solution selon la forme de $f(x)$ (polynôme, exponentielle, sinus/cosinus).
Solution générale : $y = y_h + y_p$.

Méthodes à maîtriser

Résolution de l'équation homogène : Identifier les racines de $ar^2 + br + c = 0$ (réelles distinctes, double, ou complexes).
Méthode de variation de la constante : Utile quand $f(x)$ ne permet pas de deviner $y_p$.
Utilisation des conditions initiales : Déterminer les constantes $C_1, C_2$ pour résoudre le problème de Cauchy.

Exemples corrigés

Exemple : $y'' - 3y' + 2y = 0$. Équation caractéristique : $r^2 - 3r + 2 = 0$. Racines $r_1=1, r_2=2$. Solution générale : $y(x) = C_1e^x + C_2e^{2x}$.

Erreurs fréquentes

Oublier la solution particulière $y_p$ quand $f(x) \neq 0$.
Se tromper dans le signe du discriminant $\Delta$.
Ne pas dériver la solution générale pour appliquer les conditions initiales $y(x_0)$ et $y'(x_0)$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Équations différentielles linéaires

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La solution de $y' - 3y = 0$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach nakhdem b'tghayour l'thabita wla la forme particulière ?

D'abord, regarde $f(x)$ . Si c'est un polynôme, une exponentielle ou un sinus/cosinus, utilise la méthode de la forme particulière (plus rapide).
Si $f(x)$ est une fonction plus complexe (ex: $\tan(x)$ , $\ln(x)$ ), alors la méthode de variation de la constante est obligatoire.

💡 À retenir : La forme particulière est un gain de temps, la variation de la constante est l'outil universel.

D'abord, regarde $f(x)$. Si c'est un polynôme, une exponentielle ou un sinus/cosinus, utilise la méthode de la forme particulière (plus rapide).
Si $f(x)$ est une fonction plus complexe (ex: $\tan(x)$, $\ln(x)$), alors la méthode de variation de la constante est obligatoire.

💡 À retenir : La forme particulière est un gain de temps, la variation de la constante est l'outil universel.

Est-ce que l'ordre de l'équation change la méthode de résolution ?

Oui, absolument.

Pour l'ordre 1 ( $y' + ay = f$ ), on utilise le facteur intégrant $e^{A(x)}$ .
Pour l'ordre 2 ( $ay'' + by' + cy = f$ ), on utilise l'équation caractéristique pour l'homogène.

💡 À retenir : Ne confondez jamais les outils de l'ordre 1 avec ceux de l'ordre 2.

Oui, absolument.

Pour l'ordre 1 ($y' + ay = f$), on utilise le facteur intégrant $e^{A(x)}$.
Pour l'ordre 2 ($ay'' + by' + cy = f$), on utilise l'équation caractéristique pour l'homogène.

💡 À retenir : Ne confondez jamais les outils de l'ordre 1 avec ceux de l'ordre 2.

Wach darouri n'chouf l'intervalle fin l'equation khdama ?

Oui, c'est crucial. Une équation différentielle n'a de sens que sur un intervalle où les fonctions $a(x), b(x)$ et $f(x)$ sont continues. Si tu travailles en dehors, tes solutions n'existent pas.

💡 À retenir : Précisez toujours l'intervalle $I$ avant de commencer la résolution.

Oui, c'est crucial. Une équation différentielle n'a de sens que sur un intervalle où les fonctions $a(x), b(x)$ et $f(x)$ sont continues. Si tu travailles en dehors, tes solutions n'existent pas.

💡 À retenir : Précisez toujours l'intervalle $I$ avant de commencer la résolution.

Comment déterminer la solution particulière si f(x) = e^{ax} ?

Si $a$ n'est pas racine de l'équation caractéristique, cherche $y_p = Ke^{ax}$ .
Si $a$ est racine simple, cherche $y_p = Kxe^{ax}$ .
Si $a$ est racine double, cherche $y_p = Kx^2e^{ax}$ .

💡 À retenir : Multiplie par $x$ autant de fois que nécessaire pour éviter que $y_p$ ne soit solution de l'homogène.

Si $a$ n'est pas racine de l'équation caractéristique, cherche $y_p = Ke^{ax}$.
Si $a$ est racine simple, cherche $y_p = Kxe^{ax}$.
Si $a$ est racine double, cherche $y_p = Kx^2e^{ax}$.

💡 À retenir : Multiplie par $x$ autant de fois que nécessaire pour éviter que $y_p$ ne soit solution de l'homogène.

Chno hiya l'far9 bin l'hal l'homogène w l'hal l'khas ?

L'hal l'homogène ( $y_h$ ) est la solution quand le second membre est nul. Elle dépend de constantes arbitraires.
L'hal l'khas ( $y_p$ ) est une solution précise qui "colle" au second membre $f(x)$ . Elle n'a pas de constantes.

💡 À retenir : La solution générale est toujours la somme des deux.

L'hal l'homogène ($y_h$) est la solution quand le second membre est nul. Elle dépend de constantes arbitraires.
L'hal l'khas ($y_p$) est une solution précise qui "colle" au second membre $f(x)$. Elle n'a pas de constantes.

💡 À retenir : La solution générale est toujours la somme des deux.

Peut-on avoir des solutions complexes pour une équation réelle ?

Oui, si $\Delta < 0$ , les racines sont complexes $r = \alpha \pm i\beta$ . La solution est alors $y(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$ .

💡 À retenir : Même si les racines sont complexes, la solution finale doit être réelle.

Oui, si $\Delta < 0$, les racines sont complexes $r = \alpha \pm i\beta$. La solution est alors $y(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$.

💡 À retenir : Même si les racines sont complexes, la solution finale doit être réelle.

Kifach n'la9a les constantes C1 et C2 ?

Tu dois avoir deux conditions initiales (ex: $y(0)$ et $y'(0)$ ).
Tu écris $y(x)$ et sa dérivée $y'(x)$ .
Tu remplaces $x$ par la valeur donnée et tu résous le système de deux équations.

💡 À retenir : Le système est toujours linéaire, donc facile à résoudre.

Tu dois avoir deux conditions initiales (ex: $y(0)$ et $y'(0)$).
Tu écris $y(x)$ et sa dérivée $y'(x)$.
Tu remplaces $x$ par la valeur donnée et tu résous le système de deux équations.

💡 À retenir : Le système est toujours linéaire, donc facile à résoudre.

Est-ce que la méthode de variation de la constante marche pour tout ordre ?

Oui, elle est théoriquement applicable, mais elle devient très lourde en calcul pour l'ordre 2 (il faut résoudre un système de deux équations avec des dérivées).

💡 À retenir : Réserve cette méthode aux cas où la forme particulière est impossible.

Wach l'equation caractéristique katbda dima b r^2 ?

Seulement pour les équations du second ordre. Si l'équation est du premier ordre ( $y' + ay = 0$ ), l'équation caractéristique est $r + a = 0$ .

💡 À retenir : Le degré de l'équation caractéristique est égal à l'ordre de l'équation différentielle.

Seulement pour les équations du second ordre. Si l'équation est du premier ordre ($y' + ay = 0$), l'équation caractéristique est $r + a = 0$.

💡 À retenir : Le degré de l'équation caractéristique est égal à l'ordre de l'équation différentielle.

Pourquoi on dit "linéaire" ?

Parce que l'opérateur différentiel $L(y) = ay'' + by' + cy$ respecte la linéarité : $L(\lambda y_1 + \mu y_2) = \lambda L(y_1) + \mu L(y_2)$ .

💡 À retenir : C'est cette propriété qui permet d'additionner les solutions.

Parce que l'opérateur différentiel $L(y) = ay'' + by' + cy$ respecte la linéarité : $L(\lambda y_1 + \mu y_2) = \lambda L(y_1) + \mu L(y_2)$.

💡 À retenir : C'est cette propriété qui permet d'additionner les solutions.

Est-ce que yp peut être une constante ?

Oui, si $f(x)$ est une constante, on peut chercher $y_p = K$ (une constante). Si $c \neq 0$ , alors $cK = f$ , donc $K = f/c$ .

💡 À retenir : Si $c=0$ , la constante ne suffit pas, il faut chercher $y_p = Kx$ .

Oui, si $f(x)$ est une constante, on peut chercher $y_p = K$ (une constante). Si $c \neq 0$, alors $cK = f$, donc $K = f/c$.

💡 À retenir : Si $c=0$, la constante ne suffit pas, il faut chercher $y_p = Kx$.

Wach n'9der n'khrej l'hal bla ma n'sta3mel l'equation caractéristique ?

Non, c'est la méthode standard au programme. Essayer de deviner la solution sans méthode est risqué et souvent faux.

💡 À retenir : Suis la méthode : Homogène -> Particulière -> Générale.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E) : y'' - 4y' + 4y = e^{2x}$ .

Exercice 1

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E) : y'' - 4y' + 4y = e^{2x}$.

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Exercice 2

Résoudre le problème de Cauchy : $y' + y = x$ , avec $y(0) = 1$ .

Exercice 2

Résoudre le problème de Cauchy : $y' + y = x$, avec $y(0) = 1$.

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Exercice 3

Soit $(E) : y'' + y = \cos(x)$ . Déterminer la solution générale.

Exercice 3

Soit $(E) : y'' + y = \cos(x)$. Déterminer la solution générale.

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