Physique · Prépa concours post-bac — IAV & ENA Meknès

Dipôle RC

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Relation charge-intensité : $i = \frac{dq}{dt}$
Relation condensateur : $q = C \cdot u_C$
Loi d'Ohm : $u_R = R \cdot i$
Additivité des tensions : $E = u_R + u_C$
Équation différentielle (charge) : $\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{RC}u_C = \frac{E}{RC}$
Constante de temps : $\tau = RC$
Solution : $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle en utilisant la loi d'additivité des tensions.
Vérifier une solution proposée par dérivation et substitution.
Déterminer $\tau$ graphiquement par la tangente à l'origine ou par $u_C(\tau) \approx 0,63E$ .
Calculer l'énergie emmagasinée : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$ .

Exemples corrigés

Calcul de $\tau$ : Si $R=100\,\Omega$ et $C=10\,\mu F$ , alors $\tau = 100 \times 10 \times 10^{-6} = 10^{-3}\,s = 1\,ms$ .
Énergie : Pour $u_C = 5V$ et $C=100\,\mu F$ , $E_e = 0,5 \times 100 \times 10^{-6} \times 25 = 1,25 \times 10^{-3}\,J$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités (ex: $\mu F$ en $F$ ).
Confondre le sens du courant $i$ et le signe de la charge $q$ lors de la décharge.
Penser que le régime permanent est atteint instantanément (il faut $5\tau$ ).

L'essentiel du cours

Relation charge-intensité : $i = \frac{dq}{dt}$
Relation condensateur : $q = C \cdot u_C$
Loi d'Ohm : $u_R = R \cdot i$
Additivité des tensions : $E = u_R + u_C$
Équation différentielle (charge) : $\frac{du_C}{dt} + \frac{1}{RC}u_C = \frac{E}{RC}$
Constante de temps : $\tau = RC$
Solution : $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle en utilisant la loi d'additivité des tensions.
Vérifier une solution proposée par dérivation et substitution.
Déterminer $\tau$ graphiquement par la tangente à l'origine ou par $u_C(\tau) \approx 0,63E$.
Calculer l'énergie emmagasinée : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$.

Exemples corrigés

Calcul de $\tau$ : Si $R=100,\Omega$ et $C=10,\mu F$, alors $\tau = 100 \times 10 \times 10^{-6} = 10^{-3},s = 1,ms$.
Énergie : Pour $u_C = 5V$ et $C=100,\mu F$, $E_e = 0,5 \times 100 \times 10^{-6} \times 25 = 1,25 \times 10^{-3},J$.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités (ex: $\mu F$ en $F$).
Confondre le sens du courant $i$ et le signe de la charge $q$ lors de la décharge.
Penser que le régime permanent est atteint instantanément (il faut $5\tau$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Dipôle RC

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Quelle est l'unité de la capacité C ?

❓ Questions fréquentes

Chno hiya tau b darija?

$\tau$ (tau) hiya wahed l-wa9t li kay3tina fikra 3la ch7al ghadi yta3tal lcondensateur bach ych7en. Kat-t7seb b $\tau = R \times C$ .

💡 À retenir : $\tau$ est le temps caractéristique du circuit.

$\tau$ (tau) hiya wahed l-wa9t li kay3tina fikra 3la ch7al ghadi yta3tal lcondensateur bach ych7en. Kat-t7seb b $\tau = R \times C$.

💡 À retenir : $\tau$ est le temps caractéristique du circuit.

Kifach n7seb tau ghir mn l-graphique?

Kayn jouj toro9:

Kat-rssem l-tangente f t=0, l-blassa fin kat-tla9a m3a l-khat dyal l-asymptote (l-valeur l-9osswiya) hiya $\tau$ .
Kat-chouf l-wa9t li fih $u_C = 0,63 \times E$ .

💡 À retenir : La méthode de la tangente est la plus utilisée en examen.

Kayn jouj toro9:

Kat-rssem l-tangente f t=0, l-blassa fin kat-tla9a m3a l-khat dyal l-asymptote (l-valeur l-9osswiya) hiya $\tau$.
Kat-chouf l-wa9t li fih $u_C = 0,63 \times E$.

💡 À retenir : La méthode de la tangente est la plus utilisée en examen.

Wach l-courant kaybqay tzad f l-charge?

La, l-courant $i$ kayn9oss f l-charge. F l-bidaya kaykoun $I_0 = E/R$ o f l-lakher kaywli $0$ hit lcondensateur kaywli "m3ammar" o makaykhallich t-tayar ydouz.

💡 À retenir : En régime permanent, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.

La, l-courant $i$ kayn9oss f l-charge. F l-bidaya kaykoun $I_0 = E/R$ o f l-lakher kaywli $0$ hit lcondensateur kaywli "m3ammar" o makaykhallich t-tayar ydouz.

💡 À retenir : En régime permanent, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.

Comment déterminer l'équation différentielle lors de la décharge ?

Appliquer la loi d'additivité : $u_R + u_C = 0$ .
Remplacer $u_R$ par $R \cdot i$ et $i$ par $dq/dt$ .
Comme $q = C \cdot u_C$ , alors $i = C \cdot du_C/dt$ .
On obtient : $RC \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$ .

💡 À retenir : L'équation différentielle de décharge n'a pas de second membre (c'est une équation homogène).

Appliquer la loi d'additivité : $u_R + u_C = 0$.
Remplacer $u_R$ par $R \cdot i$ et $i$ par $dq/dt$.
Comme $q = C \cdot u_C$, alors $i = C \cdot du_C/dt$.
On obtient : $RC \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$.

💡 À retenir : L'équation différentielle de décharge n'a pas de second membre (c'est une équation homogène).

Quelle est la valeur de l'énergie à t = tau ?

On sait que $u_C(\tau) = E(1 - e^{-1}) \approx 0,63 E$ .
L'énergie est $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$ .
Donc $E_e(\tau) = \frac{1}{2} C (0,63 E)^2 \approx 0,2 C E^2$ .

💡 À retenir : L'énergie n'est pas à 63% de sa valeur maximale, car elle dépend du carré de la tension.

On sait que $u_C(\tau) = E(1 - e^{-1}) \approx 0,63 E$.
L'énergie est $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$.
Donc $E_e(\tau) = \frac{1}{2} C (0,63 E)^2 \approx 0,2 C E^2$.

💡 À retenir : L'énergie n'est pas à 63% de sa valeur maximale, car elle dépend du carré de la tension.

Pourquoi le condensateur ne se charge pas instantanément ?

Parce que la résistance $R$ limite le passage du courant. Plus $R$ est grande, plus le courant est faible, et plus le condensateur met du temps à se charger.

💡 À retenir : La résistance freine la charge.

Parce que la résistance $R$ limite le passage du courant. Plus $R$ est grande, plus le courant est faible, et plus le condensateur met du temps à se charger.

💡 À retenir : La résistance freine la charge.

Est-ce que uC peut être négative ?

Oui, si on branche le condensateur à l'envers ou lors d'une décharge si le circuit impose une inversion de polarité (cas des circuits oscillants).

💡 À retenir : La tension est une grandeur algébrique.

Quelle est la relation entre i et uC lors de la décharge ?

Lors de la décharge, le courant sort de l'armature positive, donc $i = -dq/dt$ . Comme $q = C \cdot u_C$ , on a $i = -C \cdot du_C/dt$ .

💡 À retenir : Le signe moins est crucial pour la cohérence du circuit.

Lors de la décharge, le courant sort de l'armature positive, donc $i = -dq/dt$. Comme $q = C \cdot u_C$, on a $i = -C \cdot du_C/dt$.

💡 À retenir : Le signe moins est crucial pour la cohérence du circuit.

Comment varie l'énergie totale du circuit ?

L'énergie totale est stockée dans le condensateur. Lors de la décharge, cette énergie est dissipée par effet Joule dans la résistance $R$ sous forme de chaleur.

💡 À retenir : L'énergie totale diminue au cours du temps.

L'énergie totale est stockée dans le condensateur. Lors de la décharge, cette énergie est dissipée par effet Joule dans la résistance $R$ sous forme de chaleur.

💡 À retenir : L'énergie totale diminue au cours du temps.

Est-ce que C dépend de uC ?

Non, la capacité $C$ est une caractéristique géométrique et physique du condensateur (surface des armatures, distance, isolant). Elle est constante.

💡 À retenir : $C$ est indépendante de la tension appliquée.

Non, la capacité $C$ est une caractéristique géométrique et physique du condensateur (surface des armatures, distance, isolant). Elle est constante.

💡 À retenir : $C$ est indépendante de la tension appliquée.

Comment vérifier que uC(t) = A(1 - e^{-t/tau}) est solution ?

Calculer la dérivée : $du_C/dt = (A/\tau) e^{-t/\tau}$ .
Injecter dans l'équation différentielle.
Identifier les termes pour trouver $A=E$ et $\tau=RC$ .

💡 À retenir : La vérification est une question classique au bac.

Calculer la dérivée : $du_C/dt = (A/\tau) e^{-t/\tau}$.
Injecter dans l'équation différentielle.
Identifier les termes pour trouver $A=E$ et $\tau=RC$.

💡 À retenir : La vérification est une question classique au bac.

Quelle est l'unité de tau ?

$\tau = R \times C$ . $R$ est en Ohm ( $\Omega$ ) et $C$ en Farad ( $F$ ). Le produit donne des secondes ( $s$ ).

💡 À retenir : $\tau$ est toujours homogène à un temps.

$\tau = R \times C$. $R$ est en Ohm ($\Omega$) et $C$ en Farad ($F$). Le produit donne des secondes ($s$).

💡 À retenir : $\tau$ est toujours homogène à un temps.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un condensateur de capacité $C = 100\,\mu F$ est chargé à travers une résistance $R = 1\,k\Omega$ par un générateur de tension $E = 6\,V$ .

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C$ .
Calculer $\tau$ .
Calculer l'énergie stockée en régime permanent.

Exercice 1

Un condensateur de capacité $C = 100,\mu F$ est chargé à travers une résistance $R = 1,k\Omega$ par un générateur de tension $E = 6,V$.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C$.
Calculer $\tau$.
Calculer l'énergie stockée en régime permanent.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un condensateur initialement chargé sous $10\,V$ se décharge dans une résistance. À $t = 0,2\,s$ , la tension est de $3,7\,V$ . Déterminer $\tau$ .

Exercice 2

Un condensateur initialement chargé sous $10,V$ se décharge dans une résistance. À $t = 0,2,s$, la tension est de $3,7,V$. Déterminer $\tau$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Démontrer que l'énergie dissipée par effet Joule lors de la décharge totale est égale à l'énergie initiale du condensateur.

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