Physique · Prépa concours post-bac — IAV & ENA Meknès

Oscillations mécaniques (Pendules)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Pendule élastique horizontal : Équation différentielle : $\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0$ . Période propre : $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ .
Pendule simple : Pour les faibles angles ( $\sin \theta \approx \theta$ ), l'équation est $\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\theta = 0$ . Période propre : $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ .
Pendule pesant : Équation différentielle : $\ddot{\theta} + \frac{mgd}{J_\Delta}\theta = 0$ . Période propre : $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{mgd}}$ .

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle par la deuxième loi de Newton ou par la conservation de l'énergie mécanique.
Identifier les paramètres $m, k, l, J_\Delta$ dans les expressions de $T_0$ .
Déterminer la solution de l'équation différentielle : $x(t) = X_m \cos(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi)$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Ressort de masse $m=0.2$ kg, raideur $k=20$ N/m. $T_0 = 2\pi\sqrt{0.2/20} = 0.2\pi \approx 0.63$ s.
Exemple 2 : Pendule simple de longueur $l=1$ m. $T_0 = 2\pi\sqrt{1/9.8} \approx 2.0$ s.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités (ex: $g$ en cm au lieu de m).
Confondre la période propre $T_0$ avec la pseudo-période $T$ en présence de frottements.
Utiliser la formule du pendule simple pour un pendule pesant.

L'essentiel du cours

Pendule élastique horizontal : Équation différentielle : $\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0$. Période propre : $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.
Pendule simple : Pour les faibles angles ($\sin \theta \approx \theta$), l'équation est $\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\theta = 0$. Période propre : $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$.
Pendule pesant : Équation différentielle : $\ddot{\theta} + \frac{mgd}{J_\Delta}\theta = 0$. Période propre : $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{mgd}}$.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle par la deuxième loi de Newton ou par la conservation de l'énergie mécanique.
Identifier les paramètres $m, k, l, J_\Delta$ dans les expressions de $T_0$.
Déterminer la solution de l'équation différentielle : $x(t) = X_m \cos(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi)$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Ressort de masse $m=0.2$ kg, raideur $k=20$ N/m. $T_0 = 2\pi\sqrt{0.2/20} = 0.2\pi \approx 0.63$ s.
Exemple 2 : Pendule simple de longueur $l=1$ m. $T_0 = 2\pi\sqrt{1/9.8} \approx 2.0$ s.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités (ex: $g$ en cm au lieu de m).
Confondre la période propre $T_0$ avec la pseudo-période $T$ en présence de frottements.
Utiliser la formule du pendule simple pour un pendule pesant.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Oscillations mécaniques (Pendules)

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Quelle est l'unité de la raideur $k$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment tracer x(t) ?

Placer les points extrêmes $X_m$ et $-X_m$ .
Utiliser $T_0$ pour placer les passages par zéro.
Tracer une sinusoïde.

💡 À retenir : La courbe doit être symétrique par rapport à l'axe des temps.

Placer les points extrêmes $X_m$ et $-X_m$.
Utiliser $T_0$ pour placer les passages par zéro.
Tracer une sinusoïde.

💡 À retenir : La courbe doit être symétrique par rapport à l'axe des temps.

Comment déterminer l'équation différentielle à partir de l'énergie ?

On exprime l'énergie mécanique $E_m = E_c + E_p = \text{constante}$ .
On dérive par rapport au temps : $\frac{dE_m}{dt} = 0$ .
On simplifie par la vitesse ( $\dot{x}$ ou $\dot{\theta}$ ) pour obtenir l'équation différentielle.

💡 À retenir : La dérivée de l'énergie mécanique est nulle en l'absence de frottements.

On exprime l'énergie mécanique $E_m = E_c + E_p = \text{constante}$.
On dérive par rapport au temps : $\frac{dE_m}{dt} = 0$.
On simplifie par la vitesse ($\dot{x}$ ou $\dot{\theta}$) pour obtenir l'équation différentielle.

💡 À retenir : La dérivée de l'énergie mécanique est nulle en l'absence de frottements.

Kifach n7seb JDelta dyal jism solb f pendule pesant ?

$J_\Delta$ (moment d'inertie) est une donnée fournie dans l'énoncé ou calculée via le théorème de Huygens si le centre d'inertie n'est pas sur l'axe.

💡 À retenir : $J_\Delta$ dépend de la forme géométrique et de l'axe de rotation.

$J_\Delta$ (moment d'inertie) est une donnée fournie dans l'énoncé ou calculée via le théorème de Huygens si le centre d'inertie n'est pas sur l'axe.

💡 À retenir : $J_\Delta$ dépend de la forme géométrique et de l'axe de rotation.

Est-ce que la masse influence la période d'un pendule simple ?

Non, dans l'expression $T_0 = 2\pi\sqrt{l/g}$ , la masse $m$ n'apparaît pas.

💡 À retenir : La période d'un pendule simple est indépendante de sa masse.

Non, dans l'expression $T_0 = 2\pi\sqrt{l/g}$, la masse $m$ n'apparaît pas.

💡 À retenir : La période d'un pendule simple est indépendante de sa masse.

Chno hiya l'farq bin T0 et T ?

$T_0$ est la période propre (système idéal sans frottements), alors que $T$ est la pseudo-période mesurée quand il y a des frottements.

💡 À retenir : En régime pseudo-périodique, $T \approx T_0$ .

$T_0$ est la période propre (système idéal sans frottements), alors que $T$ est la pseudo-période mesurée quand il y a des frottements.

💡 À retenir : En régime pseudo-périodique, $T \approx T_0$.

Comment trouver la phase à l'origine varphi ?

Utiliser les conditions initiales à $t=0$ : $x(0) = X_m \cos(\varphi)$ et $v(0) = -X_m \omega_0 \sin(\varphi)$ .
En déduire $\cos(\varphi)$ et $\sin(\varphi)$ .

💡 À retenir : $\varphi$ dépend de la position et de la vitesse à $t=0$ .

Utiliser les conditions initiales à $t=0$ : $x(0) = X_m \cos(\varphi)$ et $v(0) = -X_m \omega_0 \sin(\varphi)$.
En déduire $\cos(\varphi)$ et $\sin(\varphi)$.

💡 À retenir : $\varphi$ dépend de la position et de la vitesse à $t=0$.

Kifach n3ref wach l'mou3adala tafadoliya s7i7a ?

Elle doit être de la forme $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$ . Si tu trouves un terme en $x^2$ ou autre, il y a une erreur.

💡 À retenir : L'équation doit être linéaire et homogène.

Elle doit être de la forme $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$. Si tu trouves un terme en $x^2$ ou autre, il y a une erreur.

💡 À retenir : L'équation doit être linéaire et homogène.

Le pendule élastique vertical, est-ce que g change T0 ?

Non, $g$ modifie la position d'équilibre ( $l_0 + \Delta l = l_0 + mg/k$ ), mais pas la période $T_0$ .

💡 À retenir : $T_0$ dépend uniquement de $m$ et $k$ .

Non, $g$ modifie la position d'équilibre ($l_0 + \Delta l = l_0 + mg/k$), mais pas la période $T_0$.

💡 À retenir : $T_0$ dépend uniquement de $m$ et $k$.

Pourquoi on utilise sin theta approx theta ?

C'est l'approximation des petits angles nécessaire pour linéariser l'équation différentielle.

💡 À retenir : Valable pour $\theta < 15^\circ$ (en radians).

C'est l'approximation des petits angles nécessaire pour linéariser l'équation différentielle.

💡 À retenir : Valable pour $\theta < 15^\circ$ (en radians).

Est-ce que l'amplitude change la période ?

Pour les oscillations harmoniques (pendule élastique, pendule simple à petits angles), non.

💡 À retenir : C'est la propriété d'isochronisme des petites oscillations.

Comment calculer la raideur k si on a T0 et m ?

$T_0 = 2\pi\sqrt{m/k} \implies T_0^2 = 4\pi^2 (m/k)$ .
$k = 4\pi^2 m / T_0^2$ .

💡 À retenir : Toujours isoler la variable cherchée avant l'application numérique.

$T_0 = 2\pi\sqrt{m/k} \implies T_0^2 = 4\pi^2 (m/k)$.
$k = 4\pi^2 m / T_0^2$.

💡 À retenir : Toujours isoler la variable cherchée avant l'application numérique.

Est-ce que la période dépend de l'amplitude dans le pendule pesant ?

Oui, si les angles sont grands, l'approximation $\sin \theta \approx \theta$ n'est plus valide.

💡 À retenir : (à vérifier par le professeur) : Le programme se limite aux petites oscillations.

Oui, si les angles sont grands, l'approximation $\sin \theta \approx \theta$ n'est plus valide.

💡 À retenir : (à vérifier par le professeur) : Le programme se limite aux petites oscillations.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un pendule élastique horizontal est constitué d'un ressort de raideur $k=40$ N/m et d'un solide de masse $m=100$ g. On écarte le solide de 5 cm de sa position d'équilibre et on le lâche sans vitesse initiale.

Établir l'équation différentielle du mouvement.
Déterminer la période propre $T_0$ .
Écrire l'équation horaire $x(t)$ .

Exercice 1

Établir l'équation différentielle du mouvement.
Déterminer la période propre $T_0$.
Écrire l'équation horaire $x(t)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un pendule simple de longueur $l=0.5$ m oscille avec une période $T_0 = 1.42$ s. Calculer la valeur de $g$ dans ce lieu.

Exercice 2

Un pendule simple de longueur $l=0.5$ m oscille avec une période $T_0 = 1.42$ s. Calculer la valeur de $g$ dans ce lieu.

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Exercice 3

Un pendule pesant de masse $m=0.5$ kg, moment d'inertie $J_\Delta = 0.02$ kg.m², distance centre d'inertie-axe $d=0.1$ m. Calculer $T_0$ .

Exercice 3

Un pendule pesant de masse $m=0.5$ kg, moment d'inertie $J_\Delta = 0.02$ kg.m², distance centre d'inertie-axe $d=0.1$ m. Calculer $T_0$.

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