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Limites et continuité

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Limite en un point : $\lim_{x \to a} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $L$ quand $x$ se rapproche de $a$ .
Continuité en $a$ : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .
Opérations : La somme, le produit et le quotient de fonctions continues sont continues sur leur domaine de définition.
TVl (Théorème des Valeurs Intermédiaires) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$ .

Méthodes à maîtriser

Lever une indétermination : Utiliser la factorisation, le conjugué ou les limites usuelles.
Étudier la continuité : Vérifier l'égalité des limites à gauche, à droite et la valeur de la fonction au point $a$ .
TVl : Pour montrer qu'une équation $f(x) = 0$ admet une solution, vérifier la continuité, la monotonie et le changement de signe $f(a) \times f(b) < 0$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$ .
Exemple 2 : $f(x) = x^2$ est continue sur $\mathbb{R}$ car c'est une fonction polynôme.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre la limite en $a$ avec la valeur $f(a)$ .
Oublier le signe "moins" lors du calcul du conjugué.

L'essentiel du cours

Limite en un point : $\lim_{x \to a} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $L$ quand $x$ se rapproche de $a$.
Continuité en $a$ : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Opérations : La somme, le produit et le quotient de fonctions continues sont continues sur leur domaine de définition.
TVl (Théorème des Valeurs Intermédiaires) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.

Méthodes à maîtriser

Lever une indétermination : Utiliser la factorisation, le conjugué ou les limites usuelles.
Étudier la continuité : Vérifier l'égalité des limites à gauche, à droite et la valeur de la fonction au point $a$.
TVl : Pour montrer qu'une équation $f(x) = 0$ admet une solution, vérifier la continuité, la monotonie et le changement de signe $f(a) \times f(b) < 0$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$.
Exemple 2 : $f(x) = x^2$ est continue sur $\mathbb{R}$ car c'est une fonction polynôme.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre la limite en $a$ avec la valeur $f(a)$.
Oublier le signe "moins" lors du calcul du conjugué.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Limites et continuité

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La limite $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2+1}{x^2-3}$ est égale à :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach founction mtssla f chi no9ta?

Pour vérifier la continuité en $a$ :

Calcule la limite $\lim_{x \to a} f(x)$ .
Calcule l'image $f(a)$ .
Si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ , alors $f$ est continue en $a$ .

💡 À retenir : La limite doit être égale à l'image.

Pour vérifier la continuité en $a$ :

Calcule la limite $\lim_{x \to a} f(x)$.
Calcule l'image $f(a)$.
Si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$, alors $f$ est continue en $a$.

💡 À retenir : La limite doit être égale à l'image.

Chno hiya l-fark bin l-limite f l-fini o l-limite f no9ta?

La limite en un point $a$ mesure le comportement local de la fonction.
La limite en $\pm \infty$ mesure le comportement global (la tendance) de la fonction.

💡 À retenir : Le point $a$ est une valeur précise, $\infty$ est une direction.

La limite en un point $a$ mesure le comportement local de la fonction.
La limite en $\pm \infty$ mesure le comportement global (la tendance) de la fonction.

💡 À retenir : Le point $a$ est une valeur précise, $\infty$ est une direction.

Kifach nkhdem b-TVI bach n-l9a l-7al dyal l-mo3adala?

Vérifie que $f$ est continue sur $[a, b]$ .
Calcule $f(a)$ et $f(b)$ .
Vérifie que $f(a) \times f(b) < 0$ (changement de signe).
Conclus qu'il existe au moins une solution dans $]a, b[$ .

💡 À retenir : Le changement de signe garantit le passage par zéro.

Vérifie que $f$ est continue sur $[a, b]$.
Calcule $f(a)$ et $f(b)$.
Vérifie que $f(a) \times f(b) < 0$ (changement de signe).
Conclus qu'il existe au moins une solution dans $]a, b[$.

💡 À retenir : Le changement de signe garantit le passage par zéro.

Qu'est-ce qu'une forme indéterminée ?

C'est une situation où les règles usuelles des limites ne permettent pas de conclure directement. Les formes sont : $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0 \times \infty$ , et $+\infty - \infty$ .

💡 À retenir : Il faut transformer l'expression pour lever l'indétermination.

C'est une situation où les règles usuelles des limites ne permettent pas de conclure directement. Les formes sont : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, et $+\infty - \infty$.

💡 À retenir : Il faut transformer l'expression pour lever l'indétermination.

Comment lever une indétermination avec une racine carrée ?

Multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée. Par exemple, pour $\sqrt{x}-a$ , multiplie par $\sqrt{x}+a$ .

💡 À retenir : $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ permet d'éliminer la racine.

Multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée. Par exemple, pour $\sqrt{x}-a$, multiplie par $\sqrt{x}+a$.

💡 À retenir : $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ permet d'éliminer la racine.

La fonction f(x) = frac{1}{x} est-elle continue en 0 ?

Non, car $f(0)$ n'est pas définie. La fonction n'est pas définie en 0, donc elle ne peut pas être continue en ce point.

💡 À retenir : La continuité nécessite que la fonction soit définie au point.

Non, car $f(0)$ n'est pas définie. La fonction n'est pas définie en 0, donc elle ne peut pas être continue en ce point.

💡 À retenir : La continuité nécessite que la fonction soit définie au point.

Est-ce que toute fonction continue est dérivable ?

Non. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en 0, mais elle n'est pas dérivable en 0 (point anguleux).

💡 À retenir : La continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité.

Non. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en 0, mais elle n'est pas dérivable en 0 (point anguleux).

💡 À retenir : La continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité.

Comment calculer la limite d'un polynôme en +infty ?

On prend la limite du terme de plus haut degré. Par exemple, $\lim_{x \to +\infty} (3x^2 - 5x + 1) = \lim_{x \to +\infty} 3x^2 = +\infty$ .

💡 À retenir : Le terme dominant l'emporte sur les autres.

On prend la limite du terme de plus haut degré. Par exemple, $\lim_{x \to +\infty} (3x^2 - 5x + 1) = \lim_{x \to +\infty} 3x^2 = +\infty$.

💡 À retenir : Le terme dominant l'emporte sur les autres.

Peut-on utiliser le TVI si la fonction n'est pas monotone ?

Oui, le TVI fonctionne même si la fonction n'est pas monotone. Cependant, si on veut prouver que la solution est unique, la monotonie est indispensable.

💡 À retenir : TVI = existence ; TVI + Monotonie = unicité.

Qu'est-ce qu'une asymptote verticale ?

C'est une droite d'équation $x = a$ telle que $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$ .

💡 À retenir : La courbe "explose" vers l'infini près de $a$ .

C'est une droite d'équation $x = a$ telle que $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$.

💡 À retenir : La courbe "explose" vers l'infini près de $a$.

Si lim{x to a} f(x) = L, est-ce que f(a) = L ?

Pas forcément. Si la fonction est continue en $a$ , alors oui. Si elle est discontinue, $f(a)$ peut être différent de $L$ ou même non défini.

💡 À retenir : La limite est une approche, pas forcément la valeur atteinte.

Pas forcément. Si la fonction est continue en $a$, alors oui. Si elle est discontinue, $f(a)$ peut être différent de $L$ ou même non défini.

💡 À retenir : La limite est une approche, pas forcément la valeur atteinte.

Comment justifier la continuité d'une fonction composée ?

Si $g$ est continue en $a$ et $f$ est continue en $g(a)$ , alors $f \circ g$ est continue en $a$ .

💡 À retenir : La continuité se transmet par composition.

Si $g$ est continue en $a$ et $f$ est continue en $g(a)$, alors $f \circ g$ est continue en $a$.

💡 À retenir : La continuité se transmet par composition.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^3 - 3x + 1$ .

Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[0, 1]$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^3 - 3x + 1$.

Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[0, 1]$.

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Exercice 2

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$ .

Exercice 2

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$.

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Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = 2$ . Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 1$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = 2$. Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 1$.

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