Mathématiques · Paramédical (ISPITS) — Soins infirmiers

Fonctions logarithmes et exponentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Fonction $\ln(x)$ : Définie sur $]0, +\infty[$ , $\ln(1)=0$ et $\ln(e)=1$ . Elle est strictement croissante.
Fonction $\exp(x)$ : Définie sur $\mathbb{R}$ , $\exp(0)=1$ et $\exp(1)=e$ . Elle est strictement croissante.
Propriétés algébriques : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ ; $\ln(a^n) = n\ln(a)$ ; $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ ; $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$ .
Limites fondamentales : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ ; $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ ; $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ .

Méthodes à maîtriser

Résolution d'équations : Pour $\ln(f(x)) = k$ , on passe à l'exponentielle : $f(x) = e^k$ . Pour $e^{f(x)} = k$ , on passe au logarithme : $f(x) = \ln(k)$ (si $k>0$ ).
Étude de signe : Utiliser le fait que $\ln(x) > 0 \iff x > 1$ et $e^x > 0$ pour tout $x$ .
Calcul de dérivée : $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ et $(e^u)' = u' e^u$ .

Exemples corrigés

Dérivée : $f(x) = \ln(x^2+1)$ . On a $u=x^2+1$ , donc $f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ .
Limite : $\lim_{x \to +\infty} (e^x - x^2) = \lim_{x \to +\infty} x^2 (\frac{e^x}{x^2} - 1) = +\infty \cdot (+\infty - 1) = +\infty$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $\ln(x)$ n'est définie que pour $x > 0$ .
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$ (c'est faux !).
Oublier la dérivée de la fonction composée $u'$ dans $u'e^u$ .

L'essentiel du cours

Fonction $\ln(x)$ : Définie sur $]0, +\infty[$, $\ln(1)=0$ et $\ln(e)=1$. Elle est strictement croissante.
Fonction $\exp(x)$ : Définie sur $\mathbb{R}$, $\exp(0)=1$ et $\exp(1)=e$. Elle est strictement croissante.
Propriétés algébriques : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ ; $\ln(a^n) = n\ln(a)$ ; $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ ; $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$.
Limites fondamentales : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ ; $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ ; $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$.

Méthodes à maîtriser

Résolution d'équations : Pour $\ln(f(x)) = k$, on passe à l'exponentielle : $f(x) = e^k$. Pour $e^{f(x)} = k$, on passe au logarithme : $f(x) = \ln(k)$ (si $k>0$).
Étude de signe : Utiliser le fait que $\ln(x) > 0 \iff x > 1$ et $e^x > 0$ pour tout $x$.
Calcul de dérivée : $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ et $(e^u)' = u' e^u$.

Exemples corrigés

Dérivée : $f(x) = \ln(x^2+1)$. On a $u=x^2+1$, donc $f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$.
Limite : $\lim_{x \to +\infty} (e^x - x^2) = \lim_{x \to +\infty} x^2 (\frac{e^x}{x^2} - 1) = +\infty \cdot (+\infty - 1) = +\infty$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $\ln(x)$ n'est définie que pour $x > 0$.
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$ (c'est faux !).
Oublier la dérivée de la fonction composée $u'$ dans $u'e^u$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Fonctions logarithmes et exponentielles

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La valeur de $\ln(e^3)$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach n-khdem b ln aw exp f l-t-marin?

Regarde l'inconnue : si elle est en exposant, utilise $\ln$ pour la faire descendre.
Si tu as des produits ou des quotients complexes, $\ln$ aide à les transformer en sommes ou différences.
Si tu as une équation avec $e^x$ , essaie de poser $X = e^x$ pour obtenir une équation du second degré.

💡 À retenir : $\ln$ et $\exp$ sont des fonctions réciproques, l'une "annule" l'autre.

Regarde l'inconnue : si elle est en exposant, utilise $\ln$ pour la faire descendre.
Si tu as des produits ou des quotients complexes, $\ln$ aide à les transformer en sommes ou différences.
Si tu as une équation avec $e^x$, essaie de poser $X = e^x$ pour obtenir une équation du second degré.

💡 À retenir : $\ln$ et $\exp$ sont des fonctions réciproques, l'une "annule" l'autre.

Chno hiya l-far9 bin ln(x) o log(x)?

$\ln(x)$ est le logarithme népérien (base $e \approx 2,718$ ). C'est celui qu'on utilise en analyse.
$\log(x)$ est le logarithme décimal (base 10).
Dans le programme du Bac, on travaille quasi exclusivement avec $\ln$ .

💡 À retenir : Sauf mention contraire, "log" dans un exercice de maths au Maroc désigne $\ln$ .

$\ln(x)$ est le logarithme népérien (base $e \approx 2,718$). C'est celui qu'on utilise en analyse.
$\log(x)$ est le logarithme décimal (base 10).
Dans le programme du Bac, on travaille quasi exclusivement avec $\ln$.

💡 À retenir : Sauf mention contraire, "log" dans un exercice de maths au Maroc désigne $\ln$.

Kifach n-7seb l-limite dyal xln(x) f 0?

C'est une limite usuelle du cours : $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$ .
Si tu as une forme plus complexe comme $x^2 \ln(x)$ , tu peux écrire $x \cdot (x \ln(x))$ .
Comme $x \to 0$ et $x \ln(x) \to 0$ , le produit tend vers 0.

💡 À retenir : Le logarithme est "plus faible" que n'importe quelle puissance de $x$ au voisinage de 0.

C'est une limite usuelle du cours : $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$.
Si tu as une forme plus complexe comme $x^2 \ln(x)$, tu peux écrire $x \cdot (x \ln(x))$.
Comme $x \to 0$ et $x \ln(x) \to 0$, le produit tend vers 0.

💡 À retenir : Le logarithme est "plus faible" que n'importe quelle puissance de $x$ au voisinage de 0.

Comment résoudre ln(x) + ln(x-1) = ln(2) ?

Déterminer le domaine : $x>0$ et $x-1>0 \implies x>1$ .
Utiliser la propriété : $\ln(x(x-1)) = \ln(2)$ .
Identifier les arguments : $x^2 - x = 2 \implies x^2 - x - 2 = 0$ .
Résoudre l'équation du second degré : $(x-2)(x+1) = 0$ .
Vérifier avec le domaine : $x=2$ est valide, $x=-1$ est rejeté.

💡 À retenir : Toujours vérifier les conditions d'existence avant de conclure.

Déterminer le domaine : $x>0$ et $x-1>0 \implies x>1$.
Utiliser la propriété : $\ln(x(x-1)) = \ln(2)$.
Identifier les arguments : $x^2 - x = 2 \implies x^2 - x - 2 = 0$.
Résoudre l'équation du second degré : $(x-2)(x+1) = 0$.
Vérifier avec le domaine : $x=2$ est valide, $x=-1$ est rejeté.

💡 À retenir : Toujours vérifier les conditions d'existence avant de conclure.

La fonction exponentielle peut-elle être négative ?

Non, pour tout réel $x$ , $e^x$ est strictement positif. C'est une propriété fondamentale qui aide beaucoup pour étudier le signe d'une dérivée.

💡 À retenir : $e^x > 0$ toujours.

Non, pour tout réel $x$, $e^x$ est strictement positif. C'est une propriété fondamentale qui aide beaucoup pour étudier le signe d'une dérivée.

💡 À retenir : $e^x > 0$ toujours.

Comment dériver f(x) = x e^x ?

On utilise la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$ .

$u = x \implies u' = 1$ .
$v = e^x \implies v' = e^x$ .
$f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1+x)$ .

💡 À retenir : Ne jamais oublier de dériver les deux termes du produit.

On utilise la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$.

$u = x \implies u' = 1$.
$v = e^x \implies v' = e^x$.
$f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1+x)$.

💡 À retenir : Ne jamais oublier de dériver les deux termes du produit.

Quelle est la dérivée de ln(3x+2) ?

On utilise $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ .
Ici $u = 3x+2$ , donc $u' = 3$ .
Le résultat est $\frac{3}{3x+2}$ .

💡 À retenir : La dérivée de l'intérieur de la parenthèse doit toujours être au numérateur.

On utilise $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$.
Ici $u = 3x+2$, donc $u' = 3$.
Le résultat est $\frac{3}{3x+2}$.

💡 À retenir : La dérivée de l'intérieur de la parenthèse doit toujours être au numérateur.

Est-ce que ln(x^2) = 2ln(x) ?

Attention, c'est vrai seulement si $x > 0$ . Si $x$ peut être négatif, $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ .

💡 À retenir : Soyez vigilants avec le domaine de définition.

Attention, c'est vrai seulement si $x > 0$. Si $x$ peut être négatif, $\ln(x^2) = 2\ln|x|$.

💡 À retenir : Soyez vigilants avec le domaine de définition.

Comment montrer qu'une fonction est croissante ?

Calcule la dérivée $f'(x)$ .
Étudie le signe de $f'(x)$ .
Si $f'(x) \geq 0$ sur un intervalle, alors la fonction est croissante sur cet intervalle.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

Calcule la dérivée $f'(x)$.
Étudie le signe de $f'(x)$.
Si $f'(x) \geq 0$ sur un intervalle, alors la fonction est croissante sur cet intervalle.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

Quelle est la primitive de f(x) = frac{1}{x} ?

La primitive est $\ln|x| + C$ . Sur l'intervalle $]0, +\infty[$ , on écrit simplement $\ln(x) + C$ .

💡 À retenir : La valeur absolue est importante si l'intervalle contient des nombres négatifs.

La primitive est $\ln|x| + C$. Sur l'intervalle $]0, +\infty[$, on écrit simplement $\ln(x) + C$.

💡 À retenir : La valeur absolue est importante si l'intervalle contient des nombres négatifs.

Pourquoi lim{x to +infty} frac{e^x}{x} = +infty ?

Parce que la fonction exponentielle croît beaucoup plus vite que n'importe quelle fonction polynôme, même si on divise par $x$ .

💡 À retenir : L'exponentielle "gagne" toujours sur les puissances de $x$ en $+\infty$ .

Parce que la fonction exponentielle croît beaucoup plus vite que n'importe quelle fonction polynôme, même si on divise par $x$.

💡 À retenir : L'exponentielle "gagne" toujours sur les puissances de $x$ en $+\infty$.

Comment trouver l'asymptote horizontale ?

Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ (un nombre), alors la droite d'équation $y = L$ est une asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ .

💡 À retenir : Chercher la limite à l'infini pour trouver les asymptotes horizontales.

Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ (un nombre), alors la droite d'équation $y = L$ est une asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$.

💡 À retenir : Chercher la limite à l'infini pour trouver les asymptotes horizontales.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x - \ln(x)$ .

Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .
Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ .
Montrer que $f(x) \geq 1$ pour tout $x > 0$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x - \ln(x)$.

Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
Montrer que $f(x) \geq 1$ pour tout $x > 0$.

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Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ .

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$.

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Exercice 3

Soit $f(x) = \ln(x^2+1)$ . Étudier la concavité de la courbe en calculant $f''(x)$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = \ln(x^2+1)$. Étudier la concavité de la courbe en calculant $f''(x)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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