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Calcul intégral et primitives

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$ .
Si $F$ est une primitive de $f$ , alors toutes les primitives sont de la forme $F(x) + C$ ( $C \in \mathbb{R}$ ).
L'intégrale de $f$ sur $[a, b]$ est : $\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$ .
Linéarité : $\int (af(x) + bg(x)) dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx$ .
Chasles : $\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$ .

Méthodes à maîtriser

Reconnaître les primitives usuelles (ex: $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}$ , $\frac{1}{x} \to \ln|x|$ , $e^x \to e^x$ ).
Utiliser l'intégration par parties : $\int_{a}^{b} u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x)v(x) dx$ .
Calculer l'aire d'un domaine : $\mathcal{A} = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \times u.a$ .

Exemples corrigés

Primitive de $f(x) = 3x^2 + 2x$ : $F(x) = x^3 + x^2 + C$ .
Calcul de $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ lors de la recherche d'une primitive.
Inverser les bornes de l'intégrale (le signe change).
Confondre la dérivée et la primitive (ex: primitive de $e^x$ est $e^x$ , pas $e^x$ dérivé).

L'essentiel du cours

Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.
Si $F$ est une primitive de $f$, alors toutes les primitives sont de la forme $F(x) + C$ ($C \in \mathbb{R}$).
L'intégrale de $f$ sur $[a, b]$ est : $\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$.
Linéarité : $\int (af(x) + bg(x)) dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx$.
Chasles : $\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$.

Méthodes à maîtriser

Reconnaître les primitives usuelles (ex: $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}$, $\frac{1}{x} \to \ln|x|$, $e^x \to e^x$).
Utiliser l'intégration par parties : $\int_{a}^{b} u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]{a}^{b} - \int{a}^{b} u'(x)v(x) dx$.
Calculer l'aire d'un domaine : $\mathcal{A} = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \times u.a$.

Exemples corrigés

Primitive de $f(x) = 3x^2 + 2x$ : $F(x) = x^3 + x^2 + C$.
Calcul de $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ lors de la recherche d'une primitive.
Inverser les bornes de l'intégrale (le signe change).
Confondre la dérivée et la primitive (ex: primitive de $e^x$ est $e^x$, pas $e^x$ dérivé).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul intégral et primitives

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La primitive de $f(x) = 4x^3$ est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre une primitive et une intégrale ?

La primitive est une fonction $F(x)$ telle que sa dérivée donne $f(x)$ .
L'intégrale est un nombre réel qui représente (souvent) une aire sous la courbe entre deux bornes.

💡 À retenir : La primitive est l'outil, l'intégrale est le calcul final.

La primitive est une fonction $F(x)$ telle que sa dérivée donne $f(x)$.
L'intégrale est un nombre réel qui représente (souvent) une aire sous la courbe entre deux bornes.

💡 À retenir : La primitive est l'outil, l'intégrale est le calcul final.

Kifach n3ref wach nkhdem b'l'intégration par parties wla la ?

Si tu as un produit de deux fonctions différentes (ex: $x \cdot e^x$ ou $x \cdot \ln(x)$ ).
Si tu ne trouves pas de primitive directe.

💡 À retenir : Choisis $u(x)$ pour qu'elle devienne plus simple après dérivation (règle LIATE : Log, Inverse, Algébrique, Trigo, Expo).

Si tu as un produit de deux fonctions différentes (ex: $x \cdot e^x$ ou $x \cdot \ln(x)$).
Si tu ne trouves pas de primitive directe.

💡 À retenir : Choisis $u(x)$ pour qu'elle devienne plus simple après dérivation (règle LIATE : Log, Inverse, Algébrique, Trigo, Expo).

Est-ce que l'intégrale peut être négative ?

Oui, si la fonction $f(x)$ est en dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle $[a, b]$ , alors l'intégrale sera négative.

💡 À retenir : L'intégrale est un calcul algébrique, l'aire est toujours positive.

Oui, si la fonction $f(x)$ est en dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle $[a, b]$, alors l'intégrale sera négative.

💡 À retenir : L'intégrale est un calcul algébrique, l'aire est toujours positive.

Chno hiya l'khassiya dyal Chasles?

C'est la relation qui permet de couper une intégrale en deux : $\int_{a}^{c} = \int_{a}^{b} + \int_{b}^{c}$ .

💡 À retenir : Très utile quand la fonction change d'expression ou de signe.

C'est la relation qui permet de couper une intégrale en deux : $\int_{a}^{c} = \int_{a}^{b} + \int_{b}^{c}$.

💡 À retenir : Très utile quand la fonction change d'expression ou de signe.

Comment trouver la constante C dans une primitive ?

On te donne souvent une condition initiale, par exemple $F(1) = 5$ . Tu remplaces $x$ par 1 dans ton expression $F(x) + C$ et tu résous l'équation.

💡 À retenir : Sans condition initiale, $C$ reste une constante arbitraire.

On te donne souvent une condition initiale, par exemple $F(1) = 5$. Tu remplaces $x$ par 1 dans ton expression $F(x) + C$ et tu résous l'équation.

💡 À retenir : Sans condition initiale, $C$ reste une constante arbitraire.

Wach l'intégrale dyal 1/x hiya ln(x) dima ?

Oui, sur les intervalles où $x > 0$ . Si $x < 0$ , la primitive est $\ln(-x)$ . En général, on écrit $\ln|x|$ .

💡 À retenir : Ne jamais oublier la valeur absolue si l'intervalle contient des nombres négatifs.

Oui, sur les intervalles où $x > 0$. Si $x < 0$, la primitive est $\ln(-x)$. En général, on écrit $\ln|x|$.

💡 À retenir : Ne jamais oublier la valeur absolue si l'intervalle contient des nombres négatifs.

Est-ce que l'intégrale d'une somme est la somme des intégrales ?

Oui, grâce à la linéarité de l'intégrale. $\int (f+g) = \int f + \int g$ .

💡 À retenir : Cela ne marche pas pour le produit : $\int (f \cdot g) \neq \int f \cdot \int g$ .

Oui, grâce à la linéarité de l'intégrale. $\int (f+g) = \int f + \int g$.

💡 À retenir : Cela ne marche pas pour le produit : $\int (f \cdot g) \neq \int f \cdot \int g$.

Kifach n7seb l'mesaha (aire) dyal domaine?

Tu calcules l'intégrale de la fonction sur l'intervalle donné.
Tu prends la valeur absolue du résultat.
Tu multiplies par l'unité d'aire (souvent $1 \text{ cm}^2$ ou $4 \text{ cm}^2$ ).

💡 À retenir : Une aire est toujours positive, ne l'oublie jamais.

Tu calcules l'intégrale de la fonction sur l'intervalle donné.
Tu prends la valeur absolue du résultat.
Tu multiplies par l'unité d'aire (souvent $1 \text{ cm}^2$ ou $4 \text{ cm}^2$).

💡 À retenir : Une aire est toujours positive, ne l'oublie jamais.

Pourquoi on utilise l'intégration par parties ?

Pour transformer une intégrale difficile en une intégrale plus simple à calculer.

💡 À retenir : La formule est $\int u v' = [uv] - \int u' v$ .

Pour transformer une intégrale difficile en une intégrale plus simple à calculer.

💡 À retenir : La formule est $\int u v' = [uv] - \int u' v$.

Est-ce que l'ordre des bornes est important ?

Oui, si tu inverses les bornes, le signe de l'intégrale change. $\int_{a}^{b} = - \int_{b}^{a}$ .

💡 À retenir : Toujours vérifier que la borne du bas est plus petite que celle du haut.

Oui, si tu inverses les bornes, le signe de l'intégrale change. $\int_{a}^{b} = - \int_{b}^{a}$.

💡 À retenir : Toujours vérifier que la borne du bas est plus petite que celle du haut.

Est-ce que je peux sortir un x de l'intégrale ?

Non ! Tu ne peux sortir que les constantes (nombres). Le $x$ doit rester à l'intérieur car il dépend de l'intégration.

💡 À retenir : Seuls les nombres réels peuvent sortir de l'intégrale.

Non ! Tu ne peux sortir que les constantes (nombres). Le $x$ doit rester à l'intérieur car il dépend de l'intégration.

💡 À retenir : Seuls les nombres réels peuvent sortir de l'intégrale.

Est-ce que les fonctions exponentielles sont difficiles à intégrer ?

Au contraire, ce sont les plus simples ! La primitive de $e^x$ est $e^x$ , et celle de $e^{ax+b}$ est $\frac{1}{a}e^{ax+b}$ .

💡 À retenir : N'oublie jamais de diviser par le coefficient devant $x$ .

Au contraire, ce sont les plus simples ! La primitive de $e^x$ est $e^x$, et celle de $e^{ax+b}$ est $\frac{1}{a}e^{ax+b}$.

💡 À retenir : N'oublie jamais de diviser par le coefficient devant $x$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx$ .

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx$.

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Exercice 2

Soit $f(x) = x e^x$ . Calculer $\int_{0}^{1} x e^x dx$ en utilisant l'intégration par parties.

Exercice 2

Soit $f(x) = x e^x$. Calculer $\int_{0}^{1} x e^x dx$ en utilisant l'intégration par parties.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f(x) = \frac{1}{x}$ , l'axe des abscisses et les droites $x=1$ et $x=e$ .

Exercice 3

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f(x) = \frac{1}{x}$, l'axe des abscisses et les droites $x=1$ et $x=e$.

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