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Dérivabilité et étude de fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dérivabilité en $a$ : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$ .
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$ , $(uv)' = u'v+uv'$ , $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$ .
Monotonie : Si $f' > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ . Si $f' < 0$ , elle est strictement décroissante.
Concavité : Si $f'' > 0$ sur $I$ , la courbe est convexe (tournée vers le haut). Si $f'' < 0$ , elle est concave.

Méthodes à maîtriser

Étude de dérivabilité : Calculer la limite du taux d'accroissement.
Étude de fonction : Déterminer $D_f$ , calculer $f'$ , dresser le tableau de variations, chercher les branches infinies et tracer la courbe.
Point d'inflexion : Chercher où $f''(x)$ s'annule en changeant de signe.

Exemples corrigés

Dérivée : Soit $f(x) = x^2 + 3x$ . Alors $f'(x) = 2x + 3$ .
Tangente : En $a=1$ , $f(1)=4$ et $f'(1)=5$ . L'équation est $y = 5(x-1) + 4 \Rightarrow y = 5x - 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser l'intervalle de dérivabilité.
Confusion entre le signe de $f'(x)$ et le signe de $f(x)$ .
Erreur de signe lors du calcul de la dérivée d'un quotient.

L'essentiel du cours

Dérivabilité en $a$ : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$.
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$, $(uv)' = u'v+uv'$, $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$.
Monotonie : Si $f' > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$. Si $f' < 0$, elle est strictement décroissante.
Concavité : Si $f'' > 0$ sur $I$, la courbe est convexe (tournée vers le haut). Si $f'' < 0$, elle est concave.

Méthodes à maîtriser

Étude de dérivabilité : Calculer la limite du taux d'accroissement.
Étude de fonction : Déterminer $D_f$, calculer $f'$, dresser le tableau de variations, chercher les branches infinies et tracer la courbe.
Point d'inflexion : Chercher où $f''(x)$ s'annule en changeant de signe.

Exemples corrigés

Dérivée : Soit $f(x) = x^2 + 3x$. Alors $f'(x) = 2x + 3$.
Tangente : En $a=1$, $f(1)=4$ et $f'(1)=5$. L'équation est $y = 5(x-1) + 4 \Rightarrow y = 5x - 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser l'intervalle de dérivabilité.
Confusion entre le signe de $f'(x)$ et le signe de $f(x)$.
Erreur de signe lors du calcul de la dérivée d'un quotient.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Dérivabilité et étude de fonctions

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Soit $f(x) = x^2$ . La dérivée $f'(x)$ est :

Soit $f(x) = x^2$. La dérivée $f'(x)$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est dérivable en un point a ?

Calcule la limite $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .
Si le résultat est un nombre réel fini, alors $f$ est dérivable en $a$ .
Si le résultat est $\infty$ , la fonction n'est pas dérivable en $a$ (il y a une tangente verticale).

💡 À retenir : La dérivabilité est liée à l'existence d'une limite finie du taux d'accroissement.

Calcule la limite $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
Si le résultat est un nombre réel fini, alors $f$ est dérivable en $a$.
Si le résultat est $\infty$, la fonction n'est pas dérivable en $a$ (il y a une tangente verticale).

💡 À retenir : La dérivabilité est liée à l'existence d'une limite finie du taux d'accroissement.

Kifach n7seb l-mou3adala dyal l-mamas f no9ta a ?

Hseb $f(a)$ (l-soura dyal $a$ ).
Hseb $f'(a)$ (l-3adad l-mouchta9 f $a$ ).
St3mel l-formula: $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .

💡 À retenir : L'équation de la tangente est une approximation affine locale de la fonction.

Hseb $f(a)$ (l-soura dyal $a$).
Hseb $f'(a)$ (l-3adad l-mouchta9 f $a$).
St3mel l-formula: $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

💡 À retenir : L'équation de la tangente est une approximation affine locale de la fonction.

Quelle est la différence entre un extremum et un point d'inflexion ?

Un extremum est un point où la fonction change de sens de variation (maximum ou minimum).
Un point d'inflexion est un point où la courbe change de concavité (elle passe de "creuse" à "bombée").

💡 À retenir : $f'(x)=0$ pour un extremum, $f''(x)=0$ pour un point d'inflexion.

Un extremum est un point où la fonction change de sens de variation (maximum ou minimum).
Un point d'inflexion est un point où la courbe change de concavité (elle passe de "creuse" à "bombée").

💡 À retenir : $f'(x)=0$ pour un extremum, $f''(x)=0$ pour un point d'inflexion.

Chno hiya l-3ala9a bin l-i7tira9 (concavité) w l-mouchta9a tanya f'' ?

Ila kan $f''(x) > 0$ , l-moun7ana kay-koun mou3addab (convexe).
Ila kan $f''(x) < 0$ , l-moun7ana kay-koun mou9a3r (concave).

💡 À retenir : Le signe de la dérivée seconde détermine la courbure de la fonction.

Ila kan $f''(x) > 0$, l-moun7ana kay-koun mou3addab (convexe).
Ila kan $f''(x) < 0$, l-moun7ana kay-koun mou9a3r (concave).

💡 À retenir : Le signe de la dérivée seconde détermine la courbure de la fonction.

Comment déterminer les branches infinies d'une fonction ?

Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ , asymptote horizontale $y=L$ .
Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ , calculer $\lim \frac{f(x)}{x}$ .
Si $\lim \frac{f(x)}{x} = a \neq 0$ , calculer $\lim (f(x)-ax) = b$ pour avoir une asymptote oblique $y=ax+b$ .

💡 À retenir : Les branches infinies décrivent le comportement de la courbe à l'infini.

Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$, asymptote horizontale $y=L$.
Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$, calculer $\lim \frac{f(x)}{x}$.
Si $\lim \frac{f(x)}{x} = a \neq 0$, calculer $\lim (f(x)-ax) = b$ pour avoir une asymptote oblique $y=ax+b$.

💡 À retenir : Les branches infinies décrivent le comportement de la courbe à l'infini.

Kifach n3ref wach l-fonction tzaidya aw tnaqsya ?

Hseb l-mouchta9a $f'(x)$ .
Chouf l-ichara dyal $f'(x)$ .
Ila kan $f'(x) \geq 0$ , l-fonction tzaidya. Ila kan $f'(x) \leq 0$ , tnaqsya.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée première donne le sens de variation.

Hseb l-mouchta9a $f'(x)$.
Chouf l-ichara dyal $f'(x)$.
Ila kan $f'(x) \geq 0$, l-fonction tzaidya. Ila kan $f'(x) \leq 0$, tnaqsya.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée première donne le sens de variation.

Est-ce que toute fonction continue est dérivable ?

Non. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en 0 mais n'est pas dérivable en 0 (la courbe a un "point anguleux").

💡 À retenir : La continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité.

Non. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en 0 mais n'est pas dérivable en 0 (la courbe a un "point anguleux").

💡 À retenir : La continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité.

Comment calculer la dérivée d'une fonction composée f(g(x)) ?

On utilise la formule : $(f \circ g)'(x) = g'(x) \times f'(g(x))$ .

💡 À retenir : Il faut dériver l'intérieur puis multiplier par la dérivée de l'extérieur.

On utilise la formule : $(f \circ g)'(x) = g'(x) \times f'(g(x))$.

💡 À retenir : Il faut dériver l'intérieur puis multiplier par la dérivée de l'extérieur.

Qu'est-ce qu'une asymptote verticale ?

C'est une droite $x=a$ telle que $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$ .

💡 À retenir : Elle apparaît souvent aux points où la fonction n'est pas définie.

C'est une droite $x=a$ telle que $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$.

💡 À retenir : Elle apparaît souvent aux points où la fonction n'est pas définie.

Comment trouver le domaine de définition d'une fonction ?

Si fraction, dénominateur $\neq 0$ .
Si racine carrée, expression sous racine $\geq 0$ .
Si logarithme, expression $> 0$ .

💡 À retenir : Le domaine de définition est la base de toute étude de fonction.

Si fraction, dénominateur $\neq 0$.
Si racine carrée, expression sous racine $\geq 0$.
Si logarithme, expression $> 0$.

💡 À retenir : Le domaine de définition est la base de toute étude de fonction.

Est-ce que f'(x)=0 implique toujours un extremum ?

Non, seulement si $f'(x)$ change de signe en ce point. Par exemple, pour $f(x)=x^3$ , $f'(0)=0$ mais ce n'est pas un extremum.

💡 À retenir : L'annulation de la dérivée est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Non, seulement si $f'(x)$ change de signe en ce point. Par exemple, pour $f(x)=x^3$, $f'(0)=0$ mais ce n'est pas un extremum.

💡 À retenir : L'annulation de la dérivée est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Pourquoi on étudie les limites aux bornes du domaine ?

Pour comprendre le comportement de la courbe aux extrémités de son domaine de définition et identifier les asymptotes.

💡 À retenir : Les limites aux bornes sont indispensables pour tracer le tableau de variations.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x + 2$ .

Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $f$ .
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x=0$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x + 2$.

Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $f$.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x=0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$ .