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Équations différentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une équation différentielle du premier ordre est une relation entre une fonction inconnue $y$ et sa dérivée $y'$ . La forme générale étudiée est : $y' + ay = 0$ (sans second membre) ou $y' + ay = f(x)$ (avec second membre), où $a \in \mathbb{R}$ .

Équation $y' + ay = 0$ : Les solutions sont de la forme $y(x) = C e^{-ax}$ avec $C \in \mathbb{R}$ .
Équation $y' + ay = b$ ( $b \in \mathbb{R}$ ) : La solution particulière est $y_p = \frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$ ). La solution générale est $y(x) = C e^{-ax} + \frac{b}{a}$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier les coefficients $a$ et $b$ dans l'équation.
Appliquer directement la formule de la solution générale.
Utiliser la condition initiale $y(x_0) = y_0$ pour déterminer la valeur de la constante $C$ .
Vérifier la solution trouvée en la dérivant et en la remplaçant dans l'équation initiale.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Résoudre $y' + 3y = 0$ . Ici $a=3$ . La solution générale est $y(x) = C e^{-3x}$ . Exemple 2 : Résoudre $y' + 2y = 6$ avec $y(0) = 4$ . Solution générale : $y(x) = C e^{-2x} + \frac{6}{2} = C e^{-2x} + 3$ . Condition initiale : $y(0) = C e^0 + 3 = 4 \implies C + 3 = 4 \implies C = 1$ . La solution est $y(x) = e^{-2x} + 3$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le signe "moins" dans l'exposant de l'exponentielle ( $e^{ax}$ au lieu de $e^{-ax}$ ).
Confondre la solution particulière avec la solution générale.
Ne pas déterminer la constante $C$ quand une condition initiale est donnée.
Se tromper dans le calcul de $C$ lors de la résolution de l'équation $C e^{-ax_0} + \frac{b}{a} = y_0$ .

L'essentiel du cours

Une équation différentielle du premier ordre est une relation entre une fonction inconnue $y$ et sa dérivée $y'$. La forme générale étudiée est : $y' + ay = 0$ (sans second membre) ou $y' + ay = f(x)$ (avec second membre), où $a \in \mathbb{R}$.

Équation $y' + ay = 0$ : Les solutions sont de la forme $y(x) = C e^{-ax}$ avec $C \in \mathbb{R}$.
Équation $y' + ay = b$ ($b \in \mathbb{R}$) : La solution particulière est $y_p = \frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$). La solution générale est $y(x) = C e^{-ax} + \frac{b}{a}$.

Méthodes à maîtriser

Identifier les coefficients $a$ et $b$ dans l'équation.
Appliquer directement la formule de la solution générale.
Utiliser la condition initiale $y(x_0) = y_0$ pour déterminer la valeur de la constante $C$.
Vérifier la solution trouvée en la dérivant et en la remplaçant dans l'équation initiale.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Résoudre $y' + 3y = 0$. Ici $a=3$. La solution générale est $y(x) = C e^{-3x}$. Exemple 2 : Résoudre $y' + 2y = 6$ avec $y(0) = 4$. Solution générale : $y(x) = C e^{-2x} + \frac{6}{2} = C e^{-2x} + 3$. Condition initiale : $y(0) = C e^0 + 3 = 4 \implies C + 3 = 4 \implies C = 1$. La solution est $y(x) = e^{-2x} + 3$.

Erreurs fréquentes

Oublier le signe "moins" dans l'exposant de l'exponentielle ($e^{ax}$ au lieu de $e^{-ax}$).
Confondre la solution particulière avec la solution générale.
Ne pas déterminer la constante $C$ quand une condition initiale est donnée.
Se tromper dans le calcul de $C$ lors de la résolution de l'équation $C e^{-ax_0} + \frac{b}{a} = y_0$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Équations différentielles

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La solution générale de $y' + 5y = 0$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l'équation li 3ndi hiya y' + ay = 0 wla y' + ay = b ?

Regarde le côté droit de l'égalité.
Si tu as zéro, c'est une équation homogène ( $y' + ay = 0$ ).
Si tu as un nombre réel (ex: 5, -2) ou une fonction, c'est une équation avec second membre.

💡 À retenir : Le second membre est tout ce qui ne contient pas $y$ ou $y'$ .

Regarde le côté droit de l'égalité.
Si tu as zéro, c'est une équation homogène ($y' + ay = 0$).
Si tu as un nombre réel (ex: 5, -2) ou une fonction, c'est une équation avec second membre.

💡 À retenir : Le second membre est tout ce qui ne contient pas $y$ ou $y'$.

Chno hiya l'utilité dyal "Condition initiale" y(x0) = y0 ?

La solution générale contient une constante $C$ inconnue.
La condition initiale sert à fixer cette constante pour trouver une solution unique.
Sans elle, on a une infinité de solutions.

💡 À retenir : La condition initiale transforme la famille de solutions en une solution précise.

La solution générale contient une constante $C$ inconnue.
La condition initiale sert à fixer cette constante pour trouver une solution unique.
Sans elle, on a une infinité de solutions.

💡 À retenir : La condition initiale transforme la famille de solutions en une solution précise.

Wach momkin nkhrej y' bo7dha f chi jiha 9bel manbda n7el ?

Oui, c'est même recommandé. Si l'équation est $2y' + 4y = 8$ , divise tout par 2 pour obtenir $y' + 2y = 4$ . C'est beaucoup plus simple.

💡 À retenir : Toujours simplifier l'équation sous la forme $y' + ay = b$ avant de commencer.

Oui, c'est même recommandé. Si l'équation est $2y' + 4y = 8$, divise tout par 2 pour obtenir $y' + 2y = 4$. C'est beaucoup plus simple.

💡 À retenir : Toujours simplifier l'équation sous la forme $y' + ay = b$ avant de commencer.

Quelle est la solution de y' = 5y ?

Réécris l'équation : $y' - 5y = 0$ .
Ici $a = -5$ .
La formule est $y(x) = C e^{-ax}$ , donc $y(x) = C e^{-(-5)x} = C e^{5x}$ .

💡 À retenir : Attention au signe de $a$ lors du passage de $y' = ay$ à $y' - ay = 0$ .

Réécris l'équation : $y' - 5y = 0$.
Ici $a = -5$.
La formule est $y(x) = C e^{-ax}$, donc $y(x) = C e^{-(-5)x} = C e^{5x}$.

💡 À retenir : Attention au signe de $a$ lors du passage de $y' = ay$ à $y' - ay = 0$.

Comment déterminer la solution particulière si le second membre est une constante b ?

On cherche une solution constante $y_p = k$ .
Alors $y_p' = 0$ .
L'équation devient $0 + ak = b$ , donc $k = b/a$ .

💡 À retenir : La solution particulière est toujours $b/a$ quand le second membre est constant.

On cherche une solution constante $y_p = k$.
Alors $y_p' = 0$.
L'équation devient $0 + ak = b$, donc $k = b/a$.

💡 À retenir : La solution particulière est toujours $b/a$ quand le second membre est constant.

Est-ce que y(x) = e^{2x} + 5 est solution de y' - 2y = -10 ?

Calcule $y' = 2e^{2x}$ .
Remplace dans l'équation : $2e^{2x} - 2(e^{2x} + 5) = 2e^{2x} - 2e^{2x} - 10 = -10$ .
Oui, c'est bien une solution.

💡 À retenir : Pour vérifier, remplace toujours $y$ et $y'$ dans l'équation.

Calcule $y' = 2e^{2x}$.
Remplace dans l'équation : $2e^{2x} - 2(e^{2x} + 5) = 2e^{2x} - 2e^{2x} - 10 = -10$.
Oui, c'est bien une solution.

💡 À retenir : Pour vérifier, remplace toujours $y$ et $y'$ dans l'équation.

Pourquoi la constante C est-elle importante ?

Elle représente la famille des primitives possibles. Comme la dérivée d'une constante est nulle, il y a toujours une infinité de solutions sans condition initiale.

💡 À retenir : $C$ est un nombre réel quelconque.

Elle représente la famille des primitives possibles. Comme la dérivée d'une constante est nulle, il y a toujours une infinité de solutions sans condition initiale.

💡 À retenir : $C$ est un nombre réel quelconque.

Est-ce que y' + 3y = x est au programme ?

Non, le programme 2025-2026 pour les ISPITS se limite aux équations $y' + ay = b$ où $b$ est une constante.

💡 À retenir : Seules les équations à coefficients constants et second membre constant sont exigibles.

Non, le programme 2025-2026 pour les ISPITS se limite aux équations $y' + ay = b$ où $b$ est une constante.

💡 À retenir : Seules les équations à coefficients constants et second membre constant sont exigibles.

Comment calculer C si x0 n'est pas 0 ?

Utilise la forme $y(x) = C e^{-ax} + b/a$ .
Remplace $x$ par $x_0$ et $y(x)$ par $y_0$ .
Résous l'équation pour $C$ .

💡 À retenir : La méthode reste identique, peu importe la valeur de $x_0$ .

Utilise la forme $y(x) = C e^{-ax} + b/a$.
Remplace $x$ par $x_0$ et $y(x)$ par $y_0$.
Résous l'équation pour $C$.

💡 À retenir : La méthode reste identique, peu importe la valeur de $x_0$.

Est-ce que y' + ay = b a toujours une solution ?

Oui, tant que $a \neq 0$ . Si $a=0$ , l'équation devient $y' = b$ , ce qui est une simple recherche de primitive.

💡 À retenir : La formule $y(x) = C e^{-ax} + b/a$ est valable pour tout $a \neq 0$ .

Oui, tant que $a \neq 0$. Si $a=0$, l'équation devient $y' = b$, ce qui est une simple recherche de primitive.

💡 À retenir : La formule $y(x) = C e^{-ax} + b/a$ est valable pour tout $a \neq 0$.

Chno lfar9 bin y' + ay = 0 w y' + ay = b f l'exponentielle ?

Dans $y' + ay = 0$ , l'exponentielle est le seul terme.
Dans $y' + ay = b$ , l'exponentielle est ajoutée à la constante $b/a$ .

💡 À retenir : La structure de base $C e^{-ax}$ reste la même dans les deux cas.

Dans $y' + ay = 0$, l'exponentielle est le seul terme.
Dans $y' + ay = b$, l'exponentielle est ajoutée à la constante $b/a$.

💡 À retenir : La structure de base $C e^{-ax}$ reste la même dans les deux cas.

Est-ce que y(x) = C e^{-ax} est la seule forme possible ?

Oui, pour les équations du premier ordre à coefficients constants sans second membre, c'est la forme unique.

💡 À retenir : Apprends cette forme par cœur, elle est fondamentale.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

On considère l'équation différentielle $(E) : y' + 4y = 0$ .

Déterminer la solution générale de $(E)$ .
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0) = 2$ .

Exercice 1

On considère l'équation différentielle $(E) : y' + 4y = 0$.

Déterminer la solution générale de $(E)$.
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0) = 2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

On considère l'équation différentielle $(E) : y' + 2y = 6$ .

Déterminer la solution particulière constante de $(E)$ .
En déduire la solution générale de $(E)$ .
Déterminer la solution $f$ telle que $f(0) = 5$ .

Exercice 2

On considère l'équation différentielle $(E) : y' + 2y = 6$.

Déterminer la solution particulière constante de $(E)$.
En déduire la solution générale de $(E)$.
Déterminer la solution $f$ telle que $f(0) = 5$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit l'équation $(E) : 3y' + 9y = 18$ .

Mettre $(E)$ sous la forme $y' + ay = b$ .
Résoudre $(E)$ sur $\mathbb{R}$ .
Déterminer la solution dont la courbe passe par le point $A(0, 1)$ .

Exercice 3

Soit l'équation $(E) : 3y' + 9y = 18$.

Mettre $(E)$ sous la forme $y' + ay = b$.
Résoudre $(E)$ sur $\mathbb{R}$.
Déterminer la solution dont la courbe passe par le point $A(0, 1)$.

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