Mathématiques · Paramédical (ISPITS) — Soins infirmiers

Rappels sur les fonctions numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Ensemble de définition $D_f$ : L'ensemble des réels $x$ tels que $f(x)$ existe. (Ex: $x \in D_f$ si $x \neq 0$ pour $1/x$ ou $x \geq 0$ pour $\sqrt{x}$ ).
Parité :
- Paire : $D_f$ symétrique et $f(-x) = f(x)$ . Courbe symétrique par rapport à l'axe $(Oy)$ .
- Impaire : $D_f$ symétrique et $f(-x) = -f(x)$ . Courbe symétrique par rapport à l'origine $O$ .
Monotonie : Soit $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ $T = \frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{2} )}{x _{1} - x _{2}}$ (taux de variation).
- $T > 0$ : fonction croissante.
- $T < 0$ : fonction décroissante.

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ : Chercher les contraintes (dénominateur $\neq 0$ , racine $\geq 0$ ).
Étudier la parité : Calculer $f(-x)$ et comparer avec $f(x)$ .
Dresser le tableau de variation : Utiliser le signe du taux de variation ou les dérivées (si déjà vues).

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f(x) = x^2 + 3$ . $f(-x) = (-x)^2 + 3 = x^2 + 3 = f(x)$ . Donc $f$ est paire.
Exemple 2 : $f(x) = \frac{1}{x}$ . $D_f = \mathbb{R}^*$ . $f(-x) = \frac{1}{-x} = -f(x)$ . Donc $f$ est impaire.

Erreurs fréquentes

Oublier que l'ensemble de définition doit être symétrique pour parler de parité.
Confuser "croissante" avec "positive". Une fonction peut être décroissante tout en étant positive.
Ne pas vérifier les conditions d'existence avant de simplifier une expression.

L'essentiel du cours

Ensemble de définition $D_f$ : L'ensemble des réels $x$ tels que $f(x)$ existe. (Ex: $x \in D_f$ si $x \neq 0$ pour $1/x$ ou $x \geq 0$ pour $\sqrt{x}$).
Parité :
- Paire : $D_f$ symétrique et $f(-x) = f(x)$. Courbe symétrique par rapport à l'axe $(Oy)$.
- Impaire : $D_f$ symétrique et $f(-x) = -f(x)$. Courbe symétrique par rapport à l'origine $O$.
Monotonie : Soit $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ (taux de variation).
- $T > 0$ : fonction croissante.
- $T < 0$ : fonction décroissante.

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ : Chercher les contraintes (dénominateur $\neq 0$, racine $\geq 0$).
Étudier la parité : Calculer $f(-x)$ et comparer avec $f(x)$.
Dresser le tableau de variation : Utiliser le signe du taux de variation ou les dérivées (si déjà vues).

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f(x) = x^2 + 3$. $f(-x) = (-x)^2 + 3 = x^2 + 3 = f(x)$. Donc $f$ est paire.
Exemple 2 : $f(x) = \frac{1}{x}$. $D_f = \mathbb{R}^*$. $f(-x) = \frac{1}{-x} = -f(x)$. Donc $f$ est impaire.

Erreurs fréquentes

Oublier que l'ensemble de définition doit être symétrique pour parler de parité.
Confuser "croissante" avec "positive". Une fonction peut être décroissante tout en étant positive.
Ne pas vérifier les conditions d'existence avant de simplifier une expression.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Rappels sur les fonctions numériques

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Quel est le domaine de définition de $f(x) = \frac{1}{x+3}$ ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre l'ensemble de définition et l'ensemble d'arrivée ?

L'ensemble de définition ( $D_f$ ) est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles on peut calculer $f(x)$ sans erreur mathématique.
L'ensemble d'arrivée est l'ensemble dans lequel la fonction prend ses valeurs (souvent $\mathbb{R}$ dans notre programme).

💡 À retenir : $D_f$ concerne les antécédents ( $x$ ), l'ensemble d'arrivée concerne les images ( $y$ ).

L'ensemble de définition ($D_f$) est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles on peut calculer $f(x)$ sans erreur mathématique.
L'ensemble d'arrivée est l'ensemble dans lequel la fonction prend ses valeurs (souvent $\mathbb{R}$ dans notre programme).

💡 À retenir : $D_f$ concerne les antécédents ($x$), l'ensemble d'arrivée concerne les images ($y$).

Kifach n3ref wach l'fonction paire ola impaire bla ma nrsmha ?

Vérifie d'abord si $D_f$ est symétrique par rapport à 0 (si $x \in D_f$ alors $-x \in D_f$ ).
Calcule $f(-x)$ .
Si $f(-x) = f(x)$ , elle est paire.
Si $f(-x) = -f(x)$ , elle est impaire.

💡 À retenir : Si aucune des deux conditions n'est vérifiée, la fonction n'est ni paire ni impaire.

Vérifie d'abord si $D_f$ est symétrique par rapport à 0 (si $x \in D_f$ alors $-x \in D_f$).
Calcule $f(-x)$.
Si $f(-x) = f(x)$, elle est paire.
Si $f(-x) = -f(x)$, elle est impaire.

💡 À retenir : Si aucune des deux conditions n'est vérifiée, la fonction n'est ni paire ni impaire.

Est-ce qu'une fonction peut être à la fois paire et impaire ?

Oui, il existe une seule fonction qui est à la fois paire et impaire : la fonction nulle $f(x) = 0$ pour tout $x$ .

💡 À retenir : Pour toute autre fonction, si elle est paire, elle ne peut pas être impaire.

Oui, il existe une seule fonction qui est à la fois paire et impaire : la fonction nulle $f(x) = 0$ pour tout $x$.

💡 À retenir : Pour toute autre fonction, si elle est paire, elle ne peut pas être impaire.

Chno hiya l'méthode bach n3ref wach l'fonction tal3a ola habta ?

Choisis deux nombres $x_1$ et $x_2$ de l'intervalle avec $x_1 < x_2$ .
Calcule la différence $f(x_1) - f(x_2)$ .
Si le résultat est négatif, alors $f(x_1) < f(x_2)$ (croissante).
Si le résultat est positif, alors $f(x_1) > f(x_2)$ (décroissante).

💡 À retenir : Le signe du taux de variation $T$ donne directement le sens de variation.

Choisis deux nombres $x_1$ et $x_2$ de l'intervalle avec $x_1 < x_2$.
Calcule la différence $f(x_1) - f(x_2)$.
Si le résultat est négatif, alors $f(x_1) < f(x_2)$ (croissante).
Si le résultat est positif, alors $f(x_1) > f(x_2)$ (décroissante).

💡 À retenir : Le signe du taux de variation $T$ donne directement le sens de variation.

Est-ce que f(x) = sqrt{x} est paire ?

Non. $D_f = [0, +\infty[$ . Cet ensemble n'est pas symétrique par rapport à 0 (par exemple, $1 \in D_f$ mais $-1 \notin D_f$ ).

💡 À retenir : La condition de symétrie de $D_f$ est obligatoire pour la parité.

Non. $D_f = [0, +\infty[$. Cet ensemble n'est pas symétrique par rapport à 0 (par exemple, $1 \in D_f$ mais $-1 \notin D_f$).

💡 À retenir : La condition de symétrie de $D_f$ est obligatoire pour la parité.

Wach l'fonction li m3rfa b f(x) = x^3 hiya impaire ?

Oui. $D_f = \mathbb{R}$ (symétrique). On calcule $f(-x) = (-x)^3 = -x^3$ . Comme $-x^3 = -f(x)$ , alors elle est impaire.

💡 À retenir : Les puissances impaires de $x$ sont souvent des fonctions impaires.

Oui. $D_f = \mathbb{R}$ (symétrique). On calcule $f(-x) = (-x)^3 = -x^3$. Comme $-x^3 = -f(x)$, alors elle est impaire.

💡 À retenir : Les puissances impaires de $x$ sont souvent des fonctions impaires.

Comment lire le domaine de définition sur une courbe ?

Regarde l'axe des abscisses (axe horizontal).
Projette les points extrêmes de la courbe sur cet axe.
L'intervalle couvert par ces projections est ton domaine de définition.

💡 À retenir : Le domaine de définition est la "largeur" de la courbe sur l'axe des $x$ .

Regarde l'axe des abscisses (axe horizontal).
Projette les points extrêmes de la courbe sur cet axe.
L'intervalle couvert par ces projections est ton domaine de définition.

💡 À retenir : Le domaine de définition est la "largeur" de la courbe sur l'axe des $x$.

Est-ce que le domaine de définition d'une fonction peut être vide ?

En théorie, oui, si aucune valeur ne respecte les conditions, mais dans les exercices de Bac, $D_f$ est toujours un intervalle ou une réunion d'intervalles.

💡 À retenir : Vérifie toujours les dénominateurs et les racines carrées.

En théorie, oui, si aucune valeur ne respecte les conditions, mais dans les exercices de Bac, $D_f$ est toujours un intervalle ou une réunion d'intervalles.

💡 À retenir : Vérifie toujours les dénominateurs et les racines carrées.

Kifach n7seb l'image d'un nombre a par une fonction f ?

Remplace chaque $x$ dans l'expression de $f(x)$ par la valeur $a$ .
Calcule le résultat numérique.
Le nombre obtenu est $f(a)$ .

💡 À retenir : L'image est unique pour chaque $x$ .

Remplace chaque $x$ dans l'expression de $f(x)$ par la valeur $a$.
Calcule le résultat numérique.
Le nombre obtenu est $f(a)$.

💡 À retenir : L'image est unique pour chaque $x$.

Pourquoi on étudie la parité ?

Pour simplifier l'étude de la fonction : si elle est paire ou impaire, on n'a besoin de l'étudier que sur la moitié de son domaine (par exemple sur $[0, +\infty[$ ) et de déduire le reste par symétrie.

💡 À retenir : Cela fait gagner du temps et réduit les risques d'erreurs.

Est-ce que f(x) = |x| est paire ?

Oui. $f(-x) = |-x|$ . Or, la valeur absolue d'un nombre négatif est égale à la valeur absolue de son opposé positif, donc $|-x| = |x| = f(x)$ .

💡 À retenir : La fonction valeur absolue est l'exemple classique d'une fonction paire.

Oui. $f(-x) = |-x|$. Or, la valeur absolue d'un nombre négatif est égale à la valeur absolue de son opposé positif, donc $|-x| = |x| = f(x)$.

💡 À retenir : La fonction valeur absolue est l'exemple classique d'une fonction paire.

Est-ce qu'une fonction croissante est toujours positive ?

Non. Par exemple, $f(x) = x - 5$ est croissante sur $\mathbb{R}$ , mais elle est négative pour tout $x < 5$ .

💡 À retenir : La croissance concerne le sens de variation, pas le signe des valeurs.

Non. Par exemple, $f(x) = x - 5$ est croissante sur $\mathbb{R}$, mais elle est négative pour tout $x < 5$.

💡 À retenir : La croissance concerne le sens de variation, pas le signe des valeurs.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{2}{x-1}$ .

Déterminer $D_f$ .
Étudier la monotonie de $f$ sur l'intervalle $]1, +\infty[$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{2}{x-1}$.

Déterminer $D_f$.
Étudier la monotonie de $f$ sur l'intervalle $]1, +\infty[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = x^2 - 4$ .

Montrer que $f$ est paire.
Étudier le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = x^2 - 4$.

Montrer que $f$ est paire.
Étudier le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = \sqrt{x+2}$ .

Déterminer $D_f$ .
Montrer que $f$ est croissante sur $D_f$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = \sqrt{x+2}$.

Déterminer $D_f$.
Montrer que $f$ est croissante sur $D_f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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