Mathématiques · 2ème Année Bac — Arts appliqués

حساب التكامل

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

L'intégration est l'opération inverse de la dérivation. Si on a une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a, b]$ , on cherche une fonction $F$ appelée primitive de $f$ , telle que $F'(x) = f(x)$ .

1. Définition de l'intégrale : L'intégrale de la fonction $f$ entre les bornes $a$ et $b$ se note : $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$

2. Primitives usuelles (à connaître par cœur) :

Si $f(x) = n \cdot x^{n-1}$ , alors $F(x) = x^n$ (pour $n \neq 0$ ).
Si $f(x) = 1$ , alors $F(x) = x$ .
Si $f(x) = e^x$ , alors $F(x) = e^x$ .
Si $f(x) = a$ (une constante), alors $F(x) = ax$ .

3. Propriétés de l'intégrale :

Linéarité : $\int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx$
Sortie d'une constante : $\int_{a}^{b} k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int_{a}^{b} f(x) \, dx$ (où $k$ est un nombre réel).

Méthodes à maîtriser

Trouver une primitive : Utiliser les formules de base pour transformer la fonction donnée en une forme reconnue.
Calculer une valeur numérique :
- Étape 1 : Trouver la primitive $F(x)$ .
- Étape 2 : Remplacer $x$ par la borne supérieure ( $b$ ).
- Étape 3 : Remplacer $x$ par la borne inférieure ( $a$ ).
- Étape 4 : Faire la soustraction $F(b) - F(a)$ .
Calculer une aire : L'aire sous la courbe d'une fonction positive est égale à la valeur de l'intégrale.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calcul simple Calculer $I = \int_{0}^{2} 3x^2 \, dx$ .

On cherche la primitive de $f(x) = 3x^2$ . On sait que la primitive de $x^2$ est $\frac{x^3}{3}$ .
Donc $F(x) = 3 \times \frac{x^3}{3} = x^3$ .
$I = [x^3]_{0}^{2} = (2)^3 - (0)^3 = 8 - 0 = 8$ .

Exemple 2 : Avec l'exponentielle Calculer $J = \int_{0}^{1} e^x \, dx$ .

La primitive de $e^x$ est $e^x$ .
$J = [e^x]_{0}^{1} = e^1 - e^0$ .
Comme $e^0 = 1$ , on a $J = e - 1$ .

Erreurs fréquentes

Inversion des bornes : Faire $F(a) - F(b)$ au lieu de $F(b) - F(a)$ . Toujours faire (Haut) - (Bas).
Erreur de signe : Oublier de changer le signe lors de la soustraction, surtout si $F(a)$ est négatif.
Mauvaise primitive : Confondre la dérivée et la primitive (ex: dire que la primitive de $x^2$ est $2x$ ).

L'essentiel du cours

L'intégration est l'opération inverse de la dérivation. Si on a une fonction $f$ continue sur un intervalle $[a, b]$, on cherche une fonction $F$ appelée primitive de $f$, telle que $F'(x) = f(x)$.

1. Définition de l'intégrale : L'intégrale de la fonction $f$ entre les bornes $a$ et $b$ se note : $$\int_{a}^{b} f(x) , dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$

2. Primitives usuelles (à connaître par cœur) :

Si $f(x) = n \cdot x^{n-1}$, alors $F(x) = x^n$ (pour $n \neq 0$).
Si $f(x) = 1$, alors $F(x) = x$.
Si $f(x) = e^x$, alors $F(x) = e^x$.
Si $f(x) = a$ (une constante), alors $F(x) = ax$.

3. Propriétés de l'intégrale :

Linéarité : $\int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) , dx = \int_{a}^{b} f(x) , dx + \int_{a}^{b} g(x) , dx$
Sortie d'une constante : $\int_{a}^{b} k \cdot f(x) , dx = k \cdot \int_{a}^{b} f(x) , dx$ (où $k$ est un nombre réel).

Méthodes à maîtriser

Trouver une primitive : Utiliser les formules de base pour transformer la fonction donnée en une forme reconnue.
Calculer une valeur numérique :
- Étape 1 : Trouver la primitive $F(x)$.
- Étape 2 : Remplacer $x$ par la borne supérieure ($b$).
- Étape 3 : Remplacer $x$ par la borne inférieure ($a$).
- Étape 4 : Faire la soustraction $F(b) - F(a)$.
Calculer une aire : L'aire sous la courbe d'une fonction positive est égale à la valeur de l'intégrale.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calcul simple Calculer $I = \int_{0}^{2} 3x^2 , dx$.

On cherche la primitive de $f(x) = 3x^2$. On sait que la primitive de $x^2$ est $\frac{x^3}{3}$.
Donc $F(x) = 3 \times \frac{x^3}{3} = x^3$.
$I = [x^3]_{0}^{2} = (2)^3 - (0)^3 = 8 - 0 = 8$.

Exemple 2 : Avec l'exponentielle Calculer $J = \int_{0}^{1} e^x , dx$.

La primitive de $e^x$ est $e^x$.
$J = [e^x]_{0}^{1} = e^1 - e^0$.
Comme $e^0 = 1$, on a $J = e - 1$.

Erreurs fréquentes

Inversion des bornes : Faire $F(a) - F(b)$ au lieu de $F(b) - F(a)$. Toujours faire (Haut) - (Bas).
Erreur de signe : Oublier de changer le signe lors de la soustraction, surtout si $F(a)$ est négatif.
Mauvaise primitive : Confondre la dérivée et la primitive (ex: dire que la primitive de $x^2$ est $2x$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 حساب التكامل

1/4

Quelle est la primitive de $f(x) = 5$ ?

Quelle est la primitive de $f(x) = 5$?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi l'idée principale du calcul d'intégrale ?

L'idée est de trouver l'aire située entre la courbe d'une fonction et l'axe des abscisses (l'axe horizontal). Mathématiquement, cela revient à utiliser la primitive de la fonction pour calculer une différence de valeurs entre deux points.

💡 À retenir : L'intégrale sert à calculer des surfaces (aires).

Chno hiya l'primitive dyal x^3 ?

Pour trouver la primitive de $x^3$ , on utilise la règle $x^n \rightarrow \frac{x^{n+1}}{n+1}$ .

Ici $n = 3$ .
On ajoute 1 à l'exposant : $3 + 1 = 4$ .
On divise par ce nouvel exposant : $\frac{x^4}{4}$ . La primitive est donc $F(x) = \frac{1}{4}x^4$ .

💡 À retenir : Pour la primitive, on augmente l'exposant et on divise.

Pour trouver la primitive de $x^3$, on utilise la règle $x^n \rightarrow \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

Ici $n = 3$.
On ajoute 1 à l'exposant : $3 + 1 = 4$.
On divise par ce nouvel exposant : $\frac{x^4}{4}$. La primitive est donc $F(x) = \frac{1}{4}x^4$.

💡 À retenir : Pour la primitive, on augmente l'exposant et on divise.

Kifach n7seb l'intégrale dyal wa7ed l'fonction f wa7ed l'intervalle ?

Il faut suivre 3 étapes simples :

Trouve la primitive $F(x)$ de ta fonction.
Calcule la valeur de la primitive au point du haut (borne supérieure).
Calcule la valeur de la primitive au point du bas (borne inférieure) et soustrais-la du premier résultat.

💡 À retenir : Formule magique : $F(\text{haut}) - F(\text{bas})$ .

Il faut suivre 3 étapes simples :

Trouve la primitive $F(x)$ de ta fonction.
Calcule la valeur de la primitive au point du haut (borne supérieure).
Calcule la valeur de la primitive au point du bas (borne inférieure) et soustrais-la du premier résultat.

💡 À retenir : Formule magique : $F(\text{haut}) - F(\text{bas})$.

Est-ce que l'intégrale d'une constante est possible ?

Oui, absolument. Si tu as une constante $k$ , sa primitive est $k \cdot x$ . Par exemple, l'intégrale de $5$ entre $1$ et $3$ est : $\int_{1}^{3} 5 \, dx = [5x]_{1}^{3} = (5 \times 3) - (5 \times 1) = 15 - 5 = 10$ .

💡 À retenir : L'intégrale d'un nombre est un rectangle (Nombre $\times$ Largeur).

Oui, absolument. Si tu as une constante $k$, sa primitive est $k \cdot x$. Par exemple, l'intégrale de $5$ entre $1$ et $3$ est : $\int_{1}^{3} 5 , dx = [5x]_{1}^{3} = (5 \times 3) - (5 \times 1) = 15 - 5 = 10$.

💡 À retenir : L'intégrale d'un nombre est un rectangle (Nombre $\times$ Largeur).

Chno l'farq bin la dérivée w l'intégrale ?

C'est l'inverse !

La dérivée transforme une fonction pour voir son taux de variation (sa pente).
L'intégrale transforme une fonction pour trouver sa primitive (souvent pour calculer une aire).

💡 À retenir : Dérivée $\rightarrow$ Pente ; Intégrale $\rightarrow$ Aire.

C'est l'inverse !

La dérivée transforme une fonction pour voir son taux de variation (sa pente).
L'intégrale transforme une fonction pour trouver sa primitive (souvent pour calculer une aire).

💡 À retenir : Dérivée $\rightarrow$ Pente ; Intégrale $\rightarrow$ Aire.

Si la borne du haut est égale à la borne du bas, le résultat est quoi ?

Si $a = b$ , alors $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = F(a) - F(a) = 0$ . L'aire d'un segment qui n'a pas de largeur est nulle.

💡 À retenir : $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$ .

Si $a = b$, alors $\int_{a}^{a} f(x) , dx = F(a) - F(a) = 0$. L'aire d'un segment qui n'a pas de largeur est nulle.

💡 À retenir : $\int_{a}^{a} f(x) , dx = 0$.

Peut-on sortir un nombre de l'intégrale ?

Oui, si c'est un nombre multiplié par la fonction. $\int_{a}^{b} k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int_{a}^{b} f(x) \, dx$ . Exemple : $\int_{0}^{1} 4x \, dx = 4 \times \int_{0}^{1} x \, dx$ .

💡 À retenir : Les constantes "sortent" de l'intégrale sans changer.

Oui, si c'est un nombre multiplié par la fonction. $\int_{a}^{b} k \cdot f(x) , dx = k \cdot \int_{a}^{b} f(x) , dx$. Exemple : $\int_{0}^{1} 4x , dx = 4 \times \int_{0}^{1} x , dx$.

💡 À retenir : Les constantes "sortent" de l'intégrale sans changer.

Comment calculer l'intégrale de e^x ?

C'est la plus facile ! La primitive de $e^x$ est elle-même, $e^x$ . Donc $\int_{a}^{b} e^x \, dx = [e^x]_{a}^{b} = e^b - e^a$ .

💡 À retenir : $e^x$ est sa propre primitive.

C'est la plus facile ! La primitive de $e^x$ est elle-même, $e^x$. Donc $\int_{a}^{b} e^x , dx = [e^x]_{a}^{b} = e^b - e^a$.

💡 À retenir : $e^x$ est sa propre primitive.

Est-ce que l'intégrale peut être négative ?

Oui, si la courbe de la fonction se trouve en dessous de l'axe des abscisses (sous l'axe horizontal). Dans ce cas, la valeur mathématique de l'intégrale sera négative.

💡 À retenir : Intégrale négative = courbe sous l'axe.

Que faire si la fonction est une somme de deux termes ?

On sépare l'intégrale en deux. $\int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$ . On calcule chaque primitive séparément.

💡 À retenir : On peut traiter les termes un par un.

On sépare l'intégrale en deux. $\int (f(x) + g(x)) , dx = \int f(x) , dx + \int g(x) , dx$. On calcule chaque primitive séparément.

💡 À retenir : On peut traiter les termes un par un.

Comment vérifier si ma primitive est juste ?

Il suffit de dériver ta primitive. Si tu obtiens la fonction de départ, alors ton travail est correct !

💡 À retenir : Dériver la primitive = revenir à la fonction de départ.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_{1}^{3} 2x \, dx$

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) Calculer l'intégrale suivante : $$I = \int_{1}^{3} 2x , dx$$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) Soit la fonction $f(x) = 3x^2 + 4$ . Calculer $J = \int_{0}^{1} (3x^2 + 4) \, dx$ .

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) Soit la fonction $f(x) = 3x^2 + 4$. Calculer $J = \int_{0}^{1} (3x^2 + 4) , dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen National) Calculer l'intégrale suivante en utilisant les propriétés de l'exponentielle : $K = \int_{0}^{2} (e^x + x) \, dx$

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen National) Calculer l'intégrale suivante en utilisant les propriétés de l'exponentielle : $$K = \int_{0}^{2} (e^x + x) , dx$$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

المتتالية الترجعية نهاية متتالية التعداد مادة الرياضيات للسنة الثانية باكالوريا آداب وعلوم انسانية الاحتمالات مادة الرياضيات ثانية باكالوريا آداب وعلوم انسانية دراسة الدوال العددية للسنة الثانية باكالوريا الاشتقاق و دراسة الدوال الجذرية للثانية باك آداب وعلوم إنسانية دالة اللوغاريتم النبيري رالدالة الأسية النبيرية النهايات والاتصال الدوال الأصلية