Mathématiques · 2ème Année Bac — Arts appliqués

الاحتمالات مادة الرياضيات ثانية باكالوريا آداب وعلوم انسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

L'univers $\Omega$ est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire. Un événement $A$ est une partie de $\Omega$ .

La probabilité d'un événement $A$ est donnée par : $P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$ .
Propriétés : $0 \leq P(A) \leq 1$ , $P(\Omega) = 1$ et $P(\emptyset) = 0$ .
Événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ .
Réunion de deux événements : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

Méthodes à maîtriser

Dénombrement : Utiliser les outils du chapitre précédent (arrangements, combinaisons) pour calculer $\text{card}(\Omega)$ et $\text{card}(A)$ .
Lecture de l'énoncé : Identifier si le tirage est "simultané" (combinaisons $C_n^k$ ) ou "successif avec remise" (puissances) ou "sans remise" (arrangements $A_n^k$ ).
Passage au contraire : Si l'énoncé contient "au moins un", calculer $1 - P(\text{aucun})$ .

Exemples corrigés

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire 2 boules simultanément.

$\text{card}(\Omega) = C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ .
Probabilité d'avoir 2 boules rouges : $P(A) = \frac{C_3^2}{C_5^2} = \frac{3}{10} = 0,3$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que la somme des probabilités de tous les événements élémentaires vaut 1.
Confondre "simultané" (ordre n'importe pas) et "successif" (ordre compte).
Calculer $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ sans vérifier si $A \cap B = \emptyset$ .

L'essentiel du cours

L'univers $\Omega$ est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire. Un événement $A$ est une partie de $\Omega$.

La probabilité d'un événement $A$ est donnée par : $P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$.
Propriétés : $0 \leq P(A) \leq 1$, $P(\Omega) = 1$ et $P(\emptyset) = 0$.
Événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
Réunion de deux événements : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Méthodes à maîtriser

Dénombrement : Utiliser les outils du chapitre précédent (arrangements, combinaisons) pour calculer $\text{card}(\Omega)$ et $\text{card}(A)$.
Lecture de l'énoncé : Identifier si le tirage est "simultané" (combinaisons $C_n^k$) ou "successif avec remise" (puissances) ou "sans remise" (arrangements $A_n^k$).
Passage au contraire : Si l'énoncé contient "au moins un", calculer $1 - P(\text{aucun})$.

Exemples corrigés

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire 2 boules simultanément.

$\text{card}(\Omega) = C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$.
Probabilité d'avoir 2 boules rouges : $P(A) = \frac{C_3^2}{C_5^2} = \frac{3}{10} = 0,3$.

Erreurs fréquentes

Oublier que la somme des probabilités de tous les événements élémentaires vaut 1.
Confondre "simultané" (ordre n'importe pas) et "successif" (ordre compte).
Calculer $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ sans vérifier si $A \cap B = \emptyset$.

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🎯 الاحتمالات مادة الرياضيات ثانية باكالوريا آداب وعلوم انسانية

1/4

Dans un tirage simultané de 3 boules parmi 10, quel est le nombre de cas possibles ?

❓ Questions fréquentes

Monsieur, c'est quoi la différence entre tirage simultané et successif ?

Tirage simultané : Tu prends plusieurs objets en une seule fois. L'ordre n'a aucune importance, on utilise donc les combinaisons ( $C_n^k$ ).
Tirage successif : Tu prends les objets un par un. Si c'est "avec remise", tu remets l'objet avant le tirage suivant. Si c'est "sans remise", tu ne le remets pas.

💡 À retenir : Simultané = $C_n^k$ . Successif sans remise = $A_n^k$ .

Tirage simultané : Tu prends plusieurs objets en une seule fois. L'ordre n'a aucune importance, on utilise donc les combinaisons ($C_n^k$).
Tirage successif : Tu prends les objets un par un. Si c'est "avec remise", tu remets l'objet avant le tirage suivant. Si c'est "sans remise", tu ne le remets pas.

💡 À retenir : Simultané = $C_n^k$. Successif sans remise = $A_n^k$.

Kifach n7seb l'univers Omega ila kan 3ndi tirage simultané ?

Pour calculer le nombre de cas possibles ( $\text{card}(\Omega)$ ) lors d'un tirage simultané de $k$ objets parmi $n$ :

Tu utilises la formule de la combinaison : $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ .
Exemple : Si tu tires 2 boules parmi 5, tu fais $C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ .

💡 À retenir : Le tirage simultané ignore l'ordre, donc on utilise toujours $C_n^k$ .

Pour calculer le nombre de cas possibles ($\text{card}(\Omega)$) lors d'un tirage simultané de $k$ objets parmi $n$ :

Tu utilises la formule de la combinaison : $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Exemple : Si tu tires 2 boules parmi 5, tu fais $C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

💡 À retenir : Le tirage simultané ignore l'ordre, donc on utilise toujours $C_n^k$.

Est-ce que la probabilité peut être supérieure à 1 ?

Non, jamais. La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1 inclus.

Si $P(A) = 0$ , l'événement est impossible.
Si $P(A) = 1$ , l'événement est certain. Si tu trouves un résultat supérieur à 1, c'est qu'il y a une erreur dans ton calcul de $\text{card}(A)$ ou $\text{card}(\Omega)$ .

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$ .

Non, jamais. La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1 inclus.

Si $P(A) = 0$, l'événement est impossible.
Si $P(A) = 1$, l'événement est certain. Si tu trouves un résultat supérieur à 1, c'est qu'il y a une erreur dans ton calcul de $\text{card}(A)$ ou $\text{card}(\Omega)$.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$.

Wach darouri nst3ml l'événement contraire ?

Ce n'est pas obligatoire, mais c'est souvent plus rapide.

Si la question demande "au moins une boule rouge", il y a plusieurs cas (1 rouge ou 2 rouges).
L'événement contraire est "aucune boule rouge".
Il suffit de calculer $1 - P(\text{aucune rouge})$ , c'est beaucoup plus court.

💡 À retenir : Utilise l'événement contraire quand l'énoncé contient "au moins un".

Ce n'est pas obligatoire, mais c'est souvent plus rapide.

Si la question demande "au moins une boule rouge", il y a plusieurs cas (1 rouge ou 2 rouges).
L'événement contraire est "aucune boule rouge".
Il suffit de calculer $1 - P(\text{aucune rouge})$, c'est beaucoup plus court.

💡 À retenir : Utilise l'événement contraire quand l'énoncé contient "au moins un".

Comment savoir si deux événements sont incompatibles ?

Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si leur intersection est vide, c'est-à-dire $A \cap B = \emptyset$ .

Cela signifie qu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Dans ce cas, $P(A \cap B) = 0$ .
Alors, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

💡 À retenir : Incompatibles = ne peuvent pas arriver ensemble.

Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si leur intersection est vide, c'est-à-dire $A \cap B = \emptyset$.

Cela signifie qu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Dans ce cas, $P(A \cap B) = 0$.
Alors, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

💡 À retenir : Incompatibles = ne peuvent pas arriver ensemble.

Kifach n3ref wach nst3ml Cn^k wla An^k ?

C'est simple :

Si l'ordre des objets tirés compte (ex: premier tirage, deuxième tirage), utilise $A_n^k$ .
Si l'ordre n'a pas d'importance (ex: tirage simultané ou "on choisit un groupe"), utilise $C_n^k$ .

💡 À retenir : Ordre important = $A_n^k$ , Ordre non important = $C_n^k$ .

C'est simple :

Si l'ordre des objets tirés compte (ex: premier tirage, deuxième tirage), utilise $A_n^k$.
Si l'ordre n'a pas d'importance (ex: tirage simultané ou "on choisit un groupe"), utilise $C_n^k$.

💡 À retenir : Ordre important = $A_n^k$, Ordre non important = $C_n^k$.

Qu'est-ce qu'un univers dans un exercice de probabilité ?

L'univers, noté $\Omega$ , est l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience.

Pour une urne, c'est le nombre total de façons de tirer les objets.
C'est toujours le dénominateur de ta fraction de probabilité.

💡 À retenir : $\Omega$ est la base de tout calcul de probabilité.

L'univers, noté $\Omega$, est l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience.

Pour une urne, c'est le nombre total de façons de tirer les objets.
C'est toujours le dénominateur de ta fraction de probabilité.

💡 À retenir : $\Omega$ est la base de tout calcul de probabilité.

Est-ce que la probabilité d'un événement peut être négative ?

Absolument pas. Une probabilité est toujours positive ou nulle.

Le nombre de cas favorables est toujours positif.
Le nombre de cas possibles est toujours positif. Leur quotient ne peut donc pas être négatif.

💡 À retenir : Une probabilité négative est mathématiquement impossible.

C'est quoi la différence entre P(A cap B) et P(A cup B) ?

$P(A \cap B)$ : C'est la probabilité que $A$ ET $B$ se réalisent en même temps.
$P(A \cup B)$ : C'est la probabilité que $A$ OU $B$ se réalise.

💡 À retenir : Intersection ( $\cap$ ) = ET, Réunion ( $\cup$ ) = OU.

$P(A \cap B)$ : C'est la probabilité que $A$ ET $B$ se réalisent en même temps.
$P(A \cup B)$ : C'est la probabilité que $A$ OU $B$ se réalise.

💡 À retenir : Intersection ($\cap$) = ET, Réunion ($\cup$) = OU.

Wach l'ordre dial les boules f tirage successif sans remise kayhem ?

Oui, absolument. Dans un tirage successif, le fait de tirer une boule rouge puis une verte est différent de tirer une verte puis une rouge.

L'ordre compte.
On utilise donc les arrangements $A_n^k$ pour dénombrer les cas.

💡 À retenir : Successif = Ordre compte = $A_n^k$ .

Oui, absolument. Dans un tirage successif, le fait de tirer une boule rouge puis une verte est différent de tirer une verte puis une rouge.

L'ordre compte.
On utilise donc les arrangements $A_n^k$ pour dénombrer les cas.

💡 À retenir : Successif = Ordre compte = $A_n^k$.

Comment calculer la probabilité de l'événement contraire ?

C'est très simple :

Calcule la probabilité de l'événement $A$ .
Soustrais ce résultat de 1.
Formule : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ .

💡 À retenir : La somme d'un événement et de son contraire est toujours 1.

C'est très simple :

Calcule la probabilité de l'événement $A$.
Soustrais ce résultat de 1.
Formule : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

💡 À retenir : La somme d'un événement et de son contraire est toujours 1.

Est-ce que je dois simplifier les fractions à l'examen ?

Oui, c'est fortement recommandé.

Une fraction simplifiée montre que tu maîtrises le calcul.
Si tu peux donner une valeur décimale exacte, fais-le, mais la fraction est souvent plus sûre.

💡 À retenir : Simplifie toujours tes résultats au maximum.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 6 boules : 4 blanches et 2 noires. On tire simultanément 2 boules.

Calculer le nombre de cas possibles.
Calculer la probabilité de tirer 2 boules blanches.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Une urne contient 5 jetons : 3 rouges et 2 verts. On tire 2 jetons successivement sans remise.

Calculer le nombre de cas possibles.
Calculer la probabilité de tirer un jeton rouge puis un jeton vert.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Une urne contient 7 boules : 3 rouges, 2 vertes et 2 bleues. On tire 3 boules simultanément. Calculer la probabilité de tirer au moins une boule rouge.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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