Mathématiques · 2ème Année Bac — Arts appliqués

النهايات والاتصال

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. La Limite d'une fonction : On dit que la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ est égale à $L$ , notée $\lim_{x \to a} f(x) = L$ , si les valeurs de $f(x)$ deviennent de plus en plus proches de $L$ quand $x$ se rapproche de $a$ .

2. Les Formes Indéterminées (F.I) : Il existe 4 formes où on ne peut pas conclure directement : $\frac{0}{0} \quad , \quad \frac{\infty}{\infty} \quad , \quad 0 \times \infty \quad , \quad +\infty - \infty$

3. Continuité en un point : Une fonction $f$ est continue en un point $x_0$ si et seulement si : $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ Cela signifie que la limite à gauche doit être égale à la limite à droite et égale à l'image : $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$

4. Continuité sur un intervalle : Une fonction est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de cet intervalle. Les fonctions polynômes sont toujours continues sur $\mathbb{R}$ .

Méthodes à maîtriser

Pour lever une indétermination $\frac{0}{0}$ : Utiliser la factorisation (souvent avec $(x-a)$ ) ou la simplification.
Pour lever une indétermination $\frac{\infty}{\infty}$ : Pour les fonctions rationnelles, on factorise par le plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
Pour vérifier la continuité en $x_0$ :
1. Calculer $f(x_0)$ .
2. Calculer $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ .
3. Calculer $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ .
4. Comparer les trois résultats.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calcul de limite Calculer $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ .

Test direct : $\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ (Forme indéterminée).
Factorisation : $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ .
Simplification : $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2)$ .
Résultat : $2 + 2 = 4$ .

Exemple 2 : Continuité Soit $f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x \le 1 \\ 2x & \text{si } x > 1 \end{cases}$ . Est-elle continue en $1$ ?

$f(1) = 1 + 1 = 2$ .
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x+1) = 2$ .
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x) = 2$ .
Puisque $f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$ , la fonction est continue en $1$ .

Erreurs fréquentes

Croire que $\frac{0}{\text{nombre}} = 0$ est une forme indéterminée (C'est faux, c'est $0$ ).
Oublier de calculer la limite à gauche ET à droite pour vérifier la continuité.
Confondre $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ avec $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty$ .

L'essentiel du cours

1. La Limite d'une fonction : On dit que la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ est égale à $L$, notée $\lim_{x \to a} f(x) = L$, si les valeurs de $f(x)$ deviennent de plus en plus proches de $L$ quand $x$ se rapproche de $a$.

2. Les Formes Indéterminées (F.I) : Il existe 4 formes où on ne peut pas conclure directement : $$\frac{0}{0} \quad , \quad \frac{\infty}{\infty} \quad , \quad 0 \times \infty \quad , \quad +\infty - \infty$$

3. Continuité en un point : Une fonction $f$ est continue en un point $x_0$ si et seulement si : $$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$ Cela signifie que la limite à gauche doit être égale à la limite à droite et égale à l'image : $$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$$

Méthodes à maîtriser

Pour lever une indétermination $\frac{0}{0}$ : Utiliser la factorisation (souvent avec $(x-a)$) ou la simplification.
Pour lever une indétermination $\frac{\infty}{\infty}$ : Pour les fonctions rationnelles, on factorise par le plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
Pour vérifier la continuité en $x_0$ :
1. Calculer $f(x_0)$.
2. Calculer $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$.
3. Calculer $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$.
4. Comparer les trois résultats.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calcul de limite Calculer $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Test direct : $\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ (Forme indéterminée).
Factorisation : $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
Simplification : $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2)$.
Résultat : $2 + 2 = 4$.

Exemple 2 : Continuité Soit $f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x \le 1 \ 2x & \text{si } x > 1 \end{cases}$. Est-elle continue en $1$ ?

$f(1) = 1 + 1 = 2$.
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x+1) = 2$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x) = 2$.
Puisque $f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$, la fonction est continue en $1$.

Erreurs fréquentes

Croire que $\frac{0}{\text{nombre}} = 0$ est une forme indéterminée (C'est faux, c'est $0$).
Oublier de calculer la limite à gauche ET à droite pour vérifier la continuité.
Confondre $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ avec $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 النهايات والاتصال

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Quelle est la limite de $x^3$ quand $x \to -\infty$ ?

❓ Questions fréquentes

Chno hiya l-farq bin la limite w l-image dyal x0?

L'image $f(x_0)$ hiya l-qima l-mou3taya dyal la fonction f dik l-noqta.
La limite $\lim_{x \to x_0} f(x)$ hiya l-qima li katqereb liha la fonction melli $x$ katqereb l $x_0$ .
Darouri l-image tkon كتساوي la limite bach tkon la fonction continue.

💡 À retenir : L'image est ce qu'on a en $x_0$ , la limite est ce qu'on approche.

L'image $f(x_0)$ hiya l-qima l-mou3taya dyal la fonction f dik l-noqta.
La limite $\lim_{x \to x_0} f(x)$ hiya l-qima li katqereb liha la fonction melli $x$ katqereb l $x_0$.
Darouri l-image tkon كتساوي la limite bach tkon la fonction continue.

💡 À retenir : L'image est ce qu'on a en $x_0$, la limite est ce qu'on approche.

Kifach n7seb la limite dyal x^2 melli x katmchi l +infty?

Pour les fonctions puissances, quand $x$ devient très grand, $x^2$ devient encore plus grand.
$\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$ .
C'est une règle de base pour les polynômes.

💡 À retenir : $\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ (pour $n > 0$ ).

Pour les fonctions puissances, quand $x$ devient très grand, $x^2$ devient encore plus grand.
$\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$.
C'est une règle de base pour les polynômes.

💡 À retenir : $\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ (pour $n > 0$).

Chno ndir ila lqit frac{0}{0} f l-7sab?

Matkhle3ch, hadik hiya "Forme Indéterminée".
Khassk t-simplifier la fonction.
Sta3mel la factorisation (par exemple $(x-a)$ ) bach t-annuler l-mouchkil.

💡 À retenir : $\frac{0}{0}$ khassha la factorisation.

Matkhle3ch, hadik hiya "Forme Indéterminée".
Khassk t-simplifier la fonction.
Sta3mel la factorisation (par exemple $(x-a)$) bach t-annuler l-mouchkil.

💡 À retenir : $\frac{0}{0}$ khassha la factorisation.

Comment vérifier si une fonction est continue en un point a ?

Calcule la valeur de $f(a)$ .
Calcule la limite à gauche : $\lim_{x \to a^-} f(x)$ .
Calcule la limite à droite : $\lim_{x \to a^+} f(x)$ .
Si les trois sont égaux, la fonction est continue.

💡 À retenir : Continuité = Limite à gauche = Limite à droite = Image.

Calcule la valeur de $f(a)$.
Calcule la limite à gauche : $\lim_{x \to a^-} f(x)$.
Calcule la limite à droite : $\lim_{x \to a^+} f(x)$.
Si les trois sont égaux, la fonction est continue.

💡 À retenir : Continuité = Limite à gauche = Limite à droite = Image.

Quelle est la limite de frac{1}{x} quand x tend vers +infty ?

Imagine un nombre immense au dénominateur (ex: $1/1000000$ ).
Le résultat devient extrêmement petit, proche de $0$ .
Donc $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ .

💡 À retenir : $\frac{1}{\infty} = 0$ .

Imagine un nombre immense au dénominateur (ex: $1/1000000$).
Le résultat devient extrêmement petit, proche de $0$.
Donc $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$.

💡 À retenir : $\frac{1}{\infty} = 0$.

Est-ce qu'une fonction peut être discontinue ?

Oui, si la courbe est "coupée" ou s'il y a un "trou".
Cela arrive si la limite n'existe pas ou si elle est différente de l'image.

💡 À retenir : Discontinu = courbe mqtou3a.

Que signifie lim{x to a^+} f(x) ?

C'est la limite de la fonction quand $x$ s'approche de $a$ par des valeurs plus grandes que $a$ (par la droite).
On l'appelle limite à droite.

💡 À retenir : Le signe $+$ signifie "par la droite".

C'est la limite de la fonction quand $x$ s'approche de $a$ par des valeurs plus grandes que $a$ (par la droite).
On l'appelle limite à droite.

💡 À retenir : Le signe $+$ signifie "par la droite".

Si lim{x to a} f(x) = 5 et f(a) = 5, est-elle continue ?

Oui.
La condition $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ est respectée.

💡 À retenir : Si limite = image, alors c'est continu.

Oui.
La condition $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ est respectée.

💡 À retenir : Si limite = image, alors c'est continu.

Quelle est la limite de x+3 quand x to 0 ?

On remplace simplement $x$ par $0$ .
$0 + 3 = 3$ .

💡 À retenir : Remplace $x$ par la valeur si ce n'est pas une forme indéterminée.

On remplace simplement $x$ par $0$.
$0 + 3 = 3$.

💡 À retenir : Remplace $x$ par la valeur si ce n'est pas une forme indéterminée.

Peut-on dire que lim{x to infty} (x^2 + x) = infty ?

Oui.
Pour les polynômes à l'infini, on regarde le terme de plus haut degré.
Ici, $x^2$ domine, donc la limite est $+\infty$ .

💡 À retenir : À l'infini, seul le plus haut degré compte.

Oui.
Pour les polynômes à l'infini, on regarde le terme de plus haut degré.
Ici, $x^2$ domine, donc la limite est $+\infty$.

💡 À retenir : À l'infini, seul le plus haut degré compte.

Que faire avec frac{infty}{infty} ?

Factorise par le plus haut degré en haut et en bas.
Simplifie les termes.
Calcule la limite restante.

💡 À retenir : Factorisation par le plus haut degré.

Si lim{x to 2} f(x) = +infty, la fonction est-elle continue en 2 ?

Non.
Pour être continue, la limite doit être un nombre réel fini (l'image).
$+\infty$ n'est pas un nombre réel.

💡 À retenir : Limite infinie = discontinuité.

Non.
Pour être continue, la limite doit être un nombre réel fini (l'image).
$+\infty$ n'est pas un nombre réel.

💡 À retenir : Limite infinie = discontinuité.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Calculer les limites suivantes :

$\lim_{x \to +\infty} (3x^2 - 5x + 2)$
$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Calculer les limites suivantes :

$\lim_{x \to +\infty} (3x^2 - 5x + 2)$
$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$

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