Mathématiques · 2ème Année Bac — Arts appliqués

التعداد مادة الرياضيات للسنة الثانية باكالوريا آداب وعلوم انسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le dénombrement permet de compter le nombre de possibilités dans une situation donnée.

Le principe multiplicatif : Si une opération se fait en $n$ étapes, avec $p_1$ choix pour la 1ère, $p_2$ pour la 2ème, ..., le nombre total est $p_1 \times p_2 \times ... \times p_n$ .
Le $n$ -uplet (avec répétition) : Pour choisir $p$ éléments parmi $n$ avec ordre et répétition, il y a $n^p$ possibilités.
L'arrangement (sans répétition) : Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$ .
La permutation : Le nombre de façons d'ordonner $n$ éléments est $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$ .
La combinaison (sans ordre, sans répétition) : Le nombre de parties de $p$ éléments parmi $n$ est $C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte (ex: podium, code secret), on utilise les arrangements ou $n^p$ . Si l'ordre ne compte pas (ex: choisir un groupe, une main de cartes), on utilise les combinaisons.
Identifier la répétition : Si les éléments peuvent être répétés, on utilise $n^p$ . Sinon, on utilise $A_n^p$ ou $C_n^p$ .
La règle du "ET" et "OU" : "ET" signifie multiplier, "OU" signifie additionner.

Exemples corrigés

Code à 3 chiffres (0-9) : $10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$ codes.
Choisir un bureau de 3 personnes parmi 10 : L'ordre ne compte pas, donc $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Rappelez-vous que $C_n^p$ est plus petit car on divise par $p!$ pour éliminer l'ordre.
Oublier que $0! = 1$ .
Penser que l'ordre compte toujours : lisez bien l'énoncé (ex: "tirage simultané" = combinaison).

L'essentiel du cours

Le dénombrement permet de compter le nombre de possibilités dans une situation donnée.

Le principe multiplicatif : Si une opération se fait en $n$ étapes, avec $p_1$ choix pour la 1ère, $p_2$ pour la 2ème, ..., le nombre total est $p_1 \times p_2 \times ... \times p_n$.
Le $n$-uplet (avec répétition) : Pour choisir $p$ éléments parmi $n$ avec ordre et répétition, il y a $n^p$ possibilités.
L'arrangement (sans répétition) : Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.
La permutation : Le nombre de façons d'ordonner $n$ éléments est $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$.
La combinaison (sans ordre, sans répétition) : Le nombre de parties de $p$ éléments parmi $n$ est $C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$.

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte (ex: podium, code secret), on utilise les arrangements ou $n^p$. Si l'ordre ne compte pas (ex: choisir un groupe, une main de cartes), on utilise les combinaisons.
Identifier la répétition : Si les éléments peuvent être répétés, on utilise $n^p$. Sinon, on utilise $A_n^p$ ou $C_n^p$.
La règle du "ET" et "OU" : "ET" signifie multiplier, "OU" signifie additionner.

Exemples corrigés

Code à 3 chiffres (0-9) : $10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$ codes.
Choisir un bureau de 3 personnes parmi 10 : L'ordre ne compte pas, donc $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Rappelez-vous que $C_n^p$ est plus petit car on divise par $p!$ pour éliminer l'ordre.
Oublier que $0! = 1$.
Penser que l'ordre compte toujours : lisez bien l'énoncé (ex: "tirage simultané" = combinaison).

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

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Combien de façons de choisir 2 élèves parmi 5 ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre un arrangement et une combinaison ?

Dans un arrangement, l'ordre des éléments choisis est important (ex: un podium 1er, 2ème, 3ème).
Dans une combinaison, l'ordre n'a aucune importance (ex: choisir 3 élèves pour nettoyer la classe).

💡 À retenir : Si tu changes l'ordre et que le résultat est différent, c'est un arrangement. Sinon, c'est une combinaison.

Kifach n3ref wach nkhdem b C ou A f l'examen ?

Regarde si l'énoncé dit "tirage simultané" ou "choisir un groupe" : utilise $C_n^p$ .
Regarde si l'énoncé dit "tirage successif sans remise" ou "podium" : utilise $A_n^p$ .

💡 À retenir : Simultané = Combinaison ( $C$ ). Successif = Arrangement ( $A$ ).

Regarde si l'énoncé dit "tirage simultané" ou "choisir un groupe" : utilise $C_n^p$.
Regarde si l'énoncé dit "tirage successif sans remise" ou "podium" : utilise $A_n^p$.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison ($C$). Successif = Arrangement ($A$).

Est-ce que Cn^n est toujours égal à 1 ?

Oui, car $C_n^n = \frac{n!}{n!(n-n)!} = \frac{n!}{n! \times 0!} = \frac{1}{1} = 1$ . Cela signifie qu'il n'y a qu'une seule façon de choisir tous les éléments d'un ensemble.

💡 À retenir : $C_n^n = 1$ et $C_n^1 = n$ .

Oui, car $C_n^n = \frac{n!}{n!(n-n)!} = \frac{n!}{n! \times 0!} = \frac{1}{1} = 1$. Cela signifie qu'il n'y a qu'une seule façon de choisir tous les éléments d'un ensemble.

💡 À retenir : $C_n^n = 1$ et $C_n^1 = n$.

Chno hiya "tirage successif avec remise" ?

C'est quand tu tires un objet, tu notes sa valeur, puis tu le remets dans l'urne avant de tirer le suivant. Le nombre de choix reste donc le même à chaque tirage.

💡 À retenir : Avec remise = $n^p$ .

C'est quand tu tires un objet, tu notes sa valeur, puis tu le remets dans l'urne avant de tirer le suivant. Le nombre de choix reste donc le même à chaque tirage.

💡 À retenir : Avec remise = $n^p$.

Comment calculer C5^2 rapidement ?

Tu écris le numérateur avec 2 nombres en descendant à partir de 5 : $5 \times 4$ .
Tu écris le dénominateur avec la factorielle de 2 : $2 \times 1$ .
Tu divises : $\frac{20}{2} = 10$ .

💡 À retenir : $C_n^p = \frac{n \times (n-1) \times ...}{p \times (p-1) \times ...}$ .

Tu écris le numérateur avec 2 nombres en descendant à partir de 5 : $5 \times 4$.
Tu écris le dénominateur avec la factorielle de 2 : $2 \times 1$.
Tu divises : $\frac{20}{2} = 10$.

💡 À retenir : $C_n^p = \frac{n \times (n-1) \times ...}{p \times (p-1) \times ...}$.

Est-ce que An^p peut être plus grand que n^p ?

Non, car dans $A_n^p$ , on diminue le nombre de choix à chaque étape (sans remise), alors que dans $n^p$ , le nombre de choix reste constant.

💡 À retenir : $A_n^p \leq n^p$ .

Non, car dans $A_n^p$, on diminue le nombre de choix à chaque étape (sans remise), alors que dans $n^p$, le nombre de choix reste constant.

💡 À retenir : $A_n^p \leq n^p$.

Wach darouri n7seb l'ordre f les exercices dial l'urne ?

Oui, c'est la base. Si on tire "simultanément", l'ordre ne compte pas. Si on tire "successivement", l'ordre compte.

💡 À retenir : L'ordre est le critère numéro 1 pour choisir la formule.

Pourquoi on divise par p! dans la formule de Cn^p ?

On divise par $p!$ pour "annuler" l'ordre. Comme $A_n^p$ compte toutes les permutations des $p$ éléments, et que dans une combinaison on veut qu'un seul groupe, on divise par le nombre de façons d'ordonner ces $p$ éléments.

💡 À retenir : $C_n^p = \frac{A_n^p}{p!}$ .

💡 À retenir : $C_n^p = \frac{A_n^p}{p!}$.

Est-ce que Cn^0 existe ?

Oui, $C_n^0 = 1$ . Cela correspond à la situation où l'on choisit aucun élément parmi $n$ . Il n'y a qu'une seule façon de ne rien choisir.

💡 À retenir : $C_n^0 = 1$ pour tout $n$ .

Oui, $C_n^0 = 1$. Cela correspond à la situation où l'on choisit aucun élément parmi $n$. Il n'y a qu'une seule façon de ne rien choisir.

💡 À retenir : $C_n^0 = 1$ pour tout $n$.

Comment savoir si je dois multiplier ou additionner ?

Si tu dois faire l'étape A ET l'étape B, tu multiplies.
Si tu as le choix entre le cas A OU le cas B, tu additionnes.

💡 À retenir : "Et" = $\times$ , "Ou" = $+$ .

Si tu dois faire l'étape A ET l'étape B, tu multiplies.
Si tu as le choix entre le cas A OU le cas B, tu additionnes.

💡 À retenir : "Et" = $\times$, "Ou" = $+$.

C'est quoi une factorielle n! ?

C'est le produit de tous les entiers de 1 jusqu'à $n$ . Par exemple, $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ .

💡 À retenir : $n! = n \times (n-1)!$ .

C'est le produit de tous les entiers de 1 jusqu'à $n$. Par exemple, $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

💡 À retenir : $n! = n \times (n-1)!$.

Est-ce que le résultat d'un dénombrement peut être négatif ?

Jamais. Un nombre de possibilités est toujours un entier positif ou nul. Si tu trouves un nombre négatif, vérifie ton calcul.

💡 À retenir : Le résultat est toujours dans $\mathbb{N}$ .

Jamais. Un nombre de possibilités est toujours un entier positif ou nul. Si tu trouves un nombre négatif, vérifie ton calcul.

💡 À retenir : Le résultat est toujours dans $\mathbb{N}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 8 boules : 5 rouges et 3 bleues. On tire simultanément 3 boules de l'urne. Calculer le nombre de tirages possibles.

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Exercice 2

Un club de 10 membres doit élire un président, un secrétaire et un trésorier. Combien de bureaux différents peut-on former ?

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Exercice 3

Une urne contient 6 boules numérotées de 1 à 6. On tire 3 boules successivement avec remise. Combien de résultats possibles y a-t-il ?

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