Mathématiques · 2ème Année Bac — Arts appliqués

الدوال الأصلية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . On dit qu'une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si :

$F$ est dérivable sur $I$ .
Pour tout $x \in I$ , $F'(x) = f(x)$ .

2. Propriétés

Si $f$ admet une primitive $F$ , alors elle en admet une infinité de la forme $F(x) + C$ , où $C$ est une constante réelle.
Condition initiale : Pour un point $(x_0, y_0)$ , il existe une unique primitive $F$ telle que $F(x_0) = y_0$ .
Linéarité : La primitive de $(f + g)$ est $F + G$ , et la primitive de $(k \cdot f)$ est $k \cdot F$ .

3. Tableau des primitives usuelles

Fonction $f(x)$	Primitive $F(x)$	Intervalle / Remarques
$a$ (constante)	$ax + C$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ( $n \neq -1$ )	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$	$\mathbb{R}$
$\frac{1}{x^2}$	$-\frac{1}{x} + C$	$]0, +\infty[$ ou $]-\infty, 0[$
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x} + C$	$]0, +\infty[$
$\frac{1}{x}$	$\ln(x) + C$	$]0, +\infty[$
$e^x$	$e^x + C$	$\mathbb{R}$

Méthodes à maîtriser

Trouver la primitive générale : Utiliser le tableau des primitives usuelles et les règles de linéarité.
Déterminer une primitive particulière :
1. Trouver la forme générale $F(x) + C$ .
2. Utiliser la condition $F(x_0) = y_0$ pour poser une équation.
3. Résoudre l'équation pour trouver la valeur de $C$ .
Vérifier une primitive : Si l'énoncé donne $F(x)$ et demande de vérifier qu'elle est primitive de $f(x)$ , il suffit de calculer la dérivée $F'(x)$ et montrer qu'elle est égale à $f(x)$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$ . La primitive est $F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 1x + C = x^3 + x^2 + x + C$ .
Exemple 2 : $f(x) = e^x + \frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ . La primitive est $F(x) = e^x + \ln(x) + C$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ quand on demande "les primitives".
Confondre primitive et dérivée (ex: dire que la primitive de $x^2$ est $2x$ au lieu de $\frac{x^3}{3}$ ).
Ne pas faire attention à l'intervalle d'étude, surtout pour $\frac{1}{x}$ et $\ln(x)$ .
Se tromper dans le signe pour la primitive de $\frac{1}{x^2}$ .

L'essentiel du cours

1. Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit qu'une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si :

$F$ est dérivable sur $I$.
Pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$.

2. Propriétés

Si $f$ admet une primitive $F$, alors elle en admet une infinité de la forme $F(x) + C$, où $C$ est une constante réelle.
Condition initiale : Pour un point $(x_0, y_0)$, il existe une unique primitive $F$ telle que $F(x_0) = y_0$.
Linéarité : La primitive de $(f + g)$ est $F + G$, et la primitive de $(k \cdot f)$ est $k \cdot F$.

3. Tableau des primitives usuelles

Fonction $f(x)$	Primitive $F(x)$	Intervalle / Remarques
$a$ (constante)	$ax + C$	$\mathbb{R}$
$x^n$ ($n \neq -1$)	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$	$\mathbb{R}$
$\frac{1}{x^2}$	$-\frac{1}{x} + C$	$]0, +\infty[$ ou $]-\infty, 0[$
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x} + C$	$]0, +\infty[$
$\frac{1}{x}$	$\ln(x) + C$	$]0, +\infty[$
$e^x$	$e^x + C$	$\mathbb{R}$

Méthodes à maîtriser

Trouver la primitive générale : Utiliser le tableau des primitives usuelles et les règles de linéarité.
Déterminer une primitive particulière :
1. Trouver la forme générale $F(x) + C$.
2. Utiliser la condition $F(x_0) = y_0$ pour poser une équation.
3. Résoudre l'équation pour trouver la valeur de $C$.
Vérifier une primitive : Si l'énoncé donne $F(x)$ et demande de vérifier qu'elle est primitive de $f(x)$, il suffit de calculer la dérivée $F'(x)$ et montrer qu'elle est égale à $f(x)$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$. La primitive est $F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 1x + C = x^3 + x^2 + x + C$.
Exemple 2 : $f(x) = e^x + \frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$. La primitive est $F(x) = e^x + \ln(x) + C$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ quand on demande "les primitives".
Confondre primitive et dérivée (ex: dire que la primitive de $x^2$ est $2x$ au lieu de $\frac{x^3}{3}$).
Ne pas faire attention à l'intervalle d'étude, surtout pour $\frac{1}{x}$ et $\ln(x)$.
Se tromper dans le signe pour la primitive de $\frac{1}{x^2}$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 الدوال الأصلية

1/4

Quelle est la primitive de $f(x) = 7$ ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre "une primitive" et "la fonction primitive" ?

Une fonction $f$ possède une infinité de primitives qui diffèrent par une constante $C$ . Quand on dit "une primitive", on parle de n'importe laquelle (souvent on prend $C=0$ ). Quand on demande "les primitives", on doit écrire la forme générale avec $+ C$ . Il n'y a qu'une seule primitive qui vérifie une condition donnée (comme $F(1)=0$ ).

💡 À retenir : $f(x)$ a plusieurs primitives de la forme $F(x) + C$ .

Une fonction $f$ possède une infinité de primitives qui diffèrent par une constante $C$. Quand on dit "une primitive", on parle de n'importe laquelle (souvent on prend $C=0$). Quand on demande "les primitives", on doit écrire la forme générale avec $+ C$. Il n'y a qu'une seule primitive qui vérifie une condition donnée (comme $F(1)=0$).

💡 À retenir : $f(x)$ a plusieurs primitives de la forme $F(x) + C$.

Chno hiya l'fonction primitive b darija ?

L'fonction primitive hiya l'3eks dyal l'ichtiqaq (la dérivée). Ila 3tawk $f(x)$ o galou lik l9a $F(x)$ , khass t9leb 3la chnou hiya l'fonction li ila derti liha l'mouchtaqa ( $'$ ) ghadi t3tik dik $f(x)$ . Masalan, l'mouchtaqa dyal $x^2$ hiya $2x$ , idan $x^2$ hiya primitive dyal $2x$ .

💡 À retenir : Primitive hiya "erje3 l'lor" f l'calcul dyal l'mouchtaqa.

L'fonction primitive hiya l'3eks dyal l'ichtiqaq (la dérivée). Ila 3tawk $f(x)$ o galou lik l9a $F(x)$, khass t9leb 3la chnou hiya l'fonction li ila derti liha l'mouchtaqa ($'$) ghadi t3tik dik $f(x)$. Masalan, l'mouchtaqa dyal $x^2$ hiya $2x$, idan $x^2$ hiya primitive dyal $2x$.

💡 À retenir : Primitive hiya "erje3 l'lor" f l'calcul dyal l'mouchtaqa.

Est-ce que toutes les fonctions ont des primitives ?

Au niveau du Bac, toutes les fonctions continues sur un intervalle $I$ admettent des primitives sur cet intervalle. Les fonctions que vous étudiez (polynômes, exponentielles, logarithmes) sont continues, donc elles ont toutes des primitives.

💡 À retenir : Continuité $\implies$ Existence d'une primitive.

Kifach n7seb dik C ila 3tawni condition ?

Katl9a l'primitive l'3amma $F(x) + C$ .
Kat3ewwed $x$ b l'9ima li 3tawk (masalan $x_0$ ).
Katdir l'mo3adala $F(x_0) + C = y_0$ .
Katkhrej $C$ . Exemple: $F(x) = x^2 + C$ et $F(1) = 5 \implies 1^2 + C = 5 \implies C = 4$ .

💡 À retenir : $C$ se calcule grâce à une équation simple.

Katl9a l'primitive l'3amma $F(x) + C$.
Kat3ewwed $x$ b l'9ima li 3tawk (masalan $x_0$).
Katdir l'mo3adala $F(x_0) + C = y_0$.
Katkhrej $C$. Exemple: $F(x) = x^2 + C$ et $F(1) = 5 \implies 1^2 + C = 5 \implies C = 4$.

💡 À retenir : $C$ se calcule grâce à une équation simple.

Pourquoi la primitive de 1/x est ln(x) et pas une puissance ?

Si on essayait d'utiliser la règle de $x^n$ pour $x^{-1}$ , on aurait $\frac{x^0}{0}$ , ce qui est impossible (division par zéro). C'est pour cela que $1/x$ est un cas particulier dont la primitive est la fonction logarithme népérien $\ln(x)$ .

💡 À retenir : La règle $x^n$ ne marche pas pour $n = -1$ .

Si on essayait d'utiliser la règle de $x^n$ pour $x^{-1}$, on aurait $\frac{x^0}{0}$, ce qui est impossible (division par zéro). C'est pour cela que $1/x$ est un cas particulier dont la primitive est la fonction logarithme népérien $\ln(x)$.

💡 À retenir : La règle $x^n$ ne marche pas pour $n = -1$.

3lach dima khassna nzidou dik C f l'ekher ?

Hit l'mouchtaqa dyal ay 3adad (constante) hiya $0$ . Ila derti l'mouchtaqa l $F(x) + 5$ awla $F(x) - 100$ , dima ghadi t3tik $f(x)$ . Bach nkonou s7a7 mathématiquement, khass nketbou dik $C$ bach nbyinou ga3 l'i7timalat.

💡 À retenir : $+ C$ représente toutes les constantes possibles.

Hit l'mouchtaqa dyal ay 3adad (constante) hiya $0$. Ila derti l'mouchtaqa l $F(x) + 5$ awla $F(x) - 100$, dima ghadi t3tik $f(x)$. Bach nkonou s7a7 mathématiquement, khass nketbou dik $C$ bach nbyinou ga3 l'i7timalat.

💡 À retenir : $+ C$ représente toutes les constantes possibles.

Comment trouver la primitive de f(x) = a (un nombre seul) ?

C'est très simple : on rajoute juste un $x$ . La primitive de $5$ est $5x + C$ . La primitive de $-2$ est $-2x + C$ . C'est parce que la dérivée de $ax$ est $a$ .

💡 À retenir : Primitive d'une constante $a$ est $ax + C$ .

C'est très simple : on rajoute juste un $x$. La primitive de $5$ est $5x + C$. La primitive de $-2$ est $-2x + C$. C'est parce que la dérivée de $ax$ est $a$.

💡 À retenir : Primitive d'une constante $a$ est $ax + C$.

Quelle est la primitive de e^x ?

C'est la plus facile ! La dérivée de $e^x$ est $e^x$ , donc la primitive de $e^x$ est aussi $e^x + C$ . Elle ne change pas.

💡 À retenir : Primitive de $e^x$ est $e^x + C$ .

C'est la plus facile ! La dérivée de $e^x$ est $e^x$, donc la primitive de $e^x$ est aussi $e^x + C$. Elle ne change pas.

💡 À retenir : Primitive de $e^x$ est $e^x + C$.

Comment faire si j'ai un nombre multiplié par une fonction, comme 5x^2 ?

Le nombre (le coefficient) reste à sa place et on cherche la primitive de la fonction. Pour $5x^2$ , on garde le $5$ et la primitive de $x^2$ est $\frac{x^3}{3}$ . Donc $F(x) = 5 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{5}{3}x^3 + C$ .

💡 À retenir : Le coefficient multiplicateur ne change pas.

Le nombre (le coefficient) reste à sa place et on cherche la primitive de la fonction. Pour $5x^2$, on garde le $5$ et la primitive de $x^2$ est $\frac{x^3}{3}$. Donc $F(x) = 5 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{5}{3}x^3 + C$.

💡 À retenir : Le coefficient multiplicateur ne change pas.

Est-ce que la primitive d'un produit f times g est le produit des primitives ?

Non ! C'est une erreur grave. La primitive de $f(x) \times g(x)$ n'est pas $F(x) \times G(x)$ . Pour votre niveau (Arts Appliqués), on ne vous donnera que des sommes ou des formes très simples du tableau.

💡 À retenir : Pas de règle directe pour le produit en primitives.

Non ! C'est une erreur grave. La primitive de $f(x) \times g(x)$ n'est pas $F(x) \times G(x)$. Pour votre niveau (Arts Appliqués), on ne vous donnera que des sommes ou des formes très simples du tableau.

💡 À retenir : Pas de règle directe pour le produit en primitives.

Quelle est la primitive de x ?

On utilise la règle $x^n$ avec $n=1$ . La primitive est $\frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2} + C$ .

💡 À retenir : Primitive de $x$ est $\frac{1}{2}x^2 + C$ .

On utilise la règle $x^n$ avec $n=1$. La primitive est $\frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2} + C$.

💡 À retenir : Primitive de $x$ est $\frac{1}{2}x^2 + C$.

Est-ce que je dois apprendre le tableau par cœur ?

Oui, c'est indispensable. Sans le tableau des primitives usuelles, on ne peut pas résoudre les exercices. C'est comme les tables de multiplication pour le calcul.

💡 À retenir : Le tableau est l'outil principal du chapitre.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5$ .

Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Déterminer la primitive $F$ de $f$ qui vérifie la condition $F(1) = 2$ .

Exercice 1

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5$.

Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Déterminer la primitive $F$ de $f$ qui vérifie la condition $F(1) = 2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit la fonction $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $g(x) = e^x + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}$ . Déterminer la primitive $G$ de $g$ sur $]0, +\infty[$ telle que $G(1) = e$ .

Exercice 2

Soit la fonction $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $g(x) = e^x + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}$. Déterminer la primitive $G$ de $g$ sur $]0, +\infty[$ telle que $G(1) = e$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $h$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par : $h(x) = \frac{x+1}{x}$ .

Montrer que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ , $h(x) = 1 + \frac{1}{x}$ .
En déduire la primitive $H$ de $h$ sur $]0, +\infty[$ qui s'annule en $x=1$ .

Exercice 3

Soit $h$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par : $h(x) = \frac{x+1}{x}$.

Montrer que pour tout $x \in ]0, +\infty[$, $h(x) = 1 + \frac{1}{x}$.
En déduire la primitive $H$ de $h$ sur $]0, +\infty[$ qui s'annule en $x=1$.

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