Mathématiques · 2ème Année Bac — Arts appliqués

المتتالية الترجعية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une suite récurrente est définie par son premier terme $u_0$ (ou $u_1$ ) et une relation de récurrence de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ . Le terme général est $u_n = u_0 + n \cdot r$ .
Suite géométrique : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ . Le terme général est $u_n = u_0 \cdot q^n$ .
Sens de variation : On étudie le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ . Si $u_{n+1} - u_n > 0$ , la suite est croissante.

Méthodes à maîtriser

Calcul des premiers termes : Remplacer $n$ par les valeurs successives (0, 1, 2...).
Démontrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique : Calculer $u_{n+1} - u_n$ (pour arithmétique) ou le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (pour géométrique).
Utilisation de la calculatrice : Vérifier les valeurs pour éviter les erreurs de calcul.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = u_n + 3$ et $u_0 = 2$ . Calculer $u_1$ et $u_2$ : $u_1 = u_0 + 3 = 2 + 3 = 5$ . $u_2 = u_1 + 3 = 5 + 3 = 8$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $u_{n+1} = u_n + r$ avec $u_n = u_0 + n \cdot r$ .
Oublier de justifier le signe de la différence lors de l'étude de la monotonie.
Faire une erreur de calcul sur le premier terme (ex: commencer à $n=1$ alors que l'énoncé donne $u_0$ ).

L'essentiel du cours

Une suite récurrente est définie par son premier terme $u_0$ (ou $u_1$) et une relation de récurrence de la forme $u_{n+1} = f(u_n)$.

Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$. Le terme général est $u_n = u_0 + n \cdot r$.
Suite géométrique : $u_{n+1} = q \cdot u_n$. Le terme général est $u_n = u_0 \cdot q^n$.
Sens de variation : On étudie le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$. Si $u_{n+1} - u_n > 0$, la suite est croissante.

Méthodes à maîtriser

Calcul des premiers termes : Remplacer $n$ par les valeurs successives (0, 1, 2...).
Démontrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique : Calculer $u_{n+1} - u_n$ (pour arithmétique) ou le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (pour géométrique).
Utilisation de la calculatrice : Vérifier les valeurs pour éviter les erreurs de calcul.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = u_n + 3$ et $u_0 = 2$. Calculer $u_1$ et $u_2$ : $u_1 = u_0 + 3 = 2 + 3 = 5$. $u_2 = u_1 + 3 = 5 + 3 = 8$.

Erreurs fréquentes

Confondre $u_{n+1} = u_n + r$ avec $u_n = u_0 + n \cdot r$.
Oublier de justifier le signe de la différence lors de l'étude de la monotonie.
Faire une erreur de calcul sur le premier terme (ex: commencer à $n=1$ alors que l'énoncé donne $u_0$).

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Si $u_0 = 2$ et $r = 3$ , alors $u_1$ est :

Si $u_0 = 2$ et $r = 3$, alors $u_1$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une suite est arithmétique ?

Calcule la différence $u_{n+1} - u_n$ .
Si le résultat est un nombre constant $r$ (qui ne dépend pas de $n$ ), alors la suite est arithmétique de raison $r$ .

💡 À retenir : Une suite est arithmétique si l'écart entre deux termes consécutifs est toujours le même.

Calcule la différence $u_{n+1} - u_n$.
Si le résultat est un nombre constant $r$ (qui ne dépend pas de $n$), alors la suite est arithmétique de raison $r$.

💡 À retenir : Une suite est arithmétique si l'écart entre deux termes consécutifs est toujours le même.

kifach n7seb un ila kant arithmétique ?

Identifie le premier terme $u_0$ et la raison $r$ .
Utilise la formule : $u_n = u_0 + n \cdot r$ .
Remplace les valeurs trouvées dans la formule.

💡 À retenir : La formule $u_n = u_0 + n \cdot r$ est ton outil principal pour trouver n'importe quel terme.

Identifie le premier terme $u_0$ et la raison $r$.
Utilise la formule : $u_n = u_0 + n \cdot r$.
Remplace les valeurs trouvées dans la formule.

💡 À retenir : La formule $u_n = u_0 + n \cdot r$ est ton outil principal pour trouver n'importe quel terme.

Est-ce que u{n+1} = 2un + 1 est une suite géométrique ?

Non. Pour être géométrique, il faut que $u_{n+1} = q \cdot u_n$ . Ici, le "+1" empêche cette forme. Si tu calcules le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ , tu verras qu'il dépend de $n$ .

💡 À retenir : Si la relation contient une addition ou une soustraction, elle n'est généralement ni arithmétique ni géométrique.

Non. Pour être géométrique, il faut que $u_{n+1} = q \cdot u_n$. Ici, le "+1" empêche cette forme. Si tu calcules le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$, tu verras qu'il dépend de $n$.

💡 À retenir : Si la relation contient une addition ou une soustraction, elle n'est généralement ni arithmétique ni géométrique.

chno hiya l'utilité dyal u{n+1} - un ?

Cette différence sert à déterminer si la suite est croissante ou décroissante.

Si $u_{n+1} - u_n > 0$ , la suite est croissante.
Si $u_{n+1} - u_n < 0$ , la suite est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la différence donne le sens de variation de la suite.

Cette différence sert à déterminer si la suite est croissante ou décroissante.

Si $u_{n+1} - u_n > 0$, la suite est croissante.
Si $u_{n+1} - u_n < 0$, la suite est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la différence donne le sens de variation de la suite.

wach n9der nkhdem b u1 au lieu de u0 ?

Oui, tout dépend de l'énoncé. Si la suite commence à $u_1$ , la formule devient $u_n = u_1 + (n-1)r$ . Il faut juste adapter l'indice.

💡 À retenir : La formule générale est $u_n = u_p + (n-p)r$ où $p$ est l'indice de départ.

Oui, tout dépend de l'énoncé. Si la suite commence à $u_1$, la formule devient $u_n = u_1 + (n-1)r$. Il faut juste adapter l'indice.

💡 À retenir : La formule générale est $u_n = u_p + (n-p)r$ où $p$ est l'indice de départ.

kifach n3ref wach l'exercice s3ib wla sahli ?

Un exercice est simple s'il demande juste de calculer des termes. Il devient plus complexe s'il demande de démontrer une propriété par récurrence ou d'étudier la monotonie.

💡 À retenir : Entraîne-toi sur les exercices de base avant de passer aux questions de démonstration.

Comment prouver qu'une suite est géométrique ?

Calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ .
Si tu obtiens un nombre constant $q$ (indépendant de $n$ ), alors la suite est géométrique de raison $q$ .

💡 À retenir : Le rapport doit être un nombre fixe pour valider la nature géométrique.

Calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$.
Si tu obtiens un nombre constant $q$ (indépendant de $n$), alors la suite est géométrique de raison $q$.

💡 À retenir : Le rapport doit être un nombre fixe pour valider la nature géométrique.

Est-ce que un = 3^n est une suite géométrique ?

Oui. On vérifie : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3^{n+1-n} = 3^1 = 3$ . Le rapport est constant (3), donc c'est une suite géométrique de raison 3.

💡 À retenir : Toute suite de la forme $u_n = a \cdot q^n$ est géométrique.

Oui. On vérifie : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3^{n+1-n} = 3^1 = 3$. Le rapport est constant (3), donc c'est une suite géométrique de raison 3.

💡 À retenir : Toute suite de la forme $u_n = a \cdot q^n$ est géométrique.

Pourquoi on utilise le symbole n ?

$n$ représente le rang du terme dans la suite. C'est un entier naturel ( $n \in \mathbb{N}$ ). Il permet de situer le terme dans l'ordre de la suite.

💡 À retenir : $n$ est l'indice, il indique la position du nombre dans la liste.

$n$ représente le rang du terme dans la suite. C'est un entier naturel ($n \in \mathbb{N}$). Il permet de situer le terme dans l'ordre de la suite.

💡 À retenir : $n$ est l'indice, il indique la position du nombre dans la liste.

Comment calculer la raison r si on a u0 et u1 ?

C'est très simple : $r = u_1 - u_0$ . Il suffit de soustraire le premier terme du second.

💡 À retenir : La raison est l'écart entre deux termes consécutifs.

C'est très simple : $r = u_1 - u_0$. Il suffit de soustraire le premier terme du second.

💡 À retenir : La raison est l'écart entre deux termes consécutifs.

Est-ce que le résultat d'une suite peut être négatif ?

Oui, tout à fait. Si la raison est négative ou si le premier terme est négatif, les termes de la suite peuvent être négatifs.

💡 À retenir : Les suites ne sont pas limitées aux nombres positifs.

Est-ce que je dois toujours calculer u0 ?

Non, seulement si l'énoncé le demande ou si c'est nécessaire pour trouver la formule générale. Parfois, l'énoncé commence par $u_1$ .

💡 À retenir : Lis toujours attentivement le premier terme donné dans l'énoncé.

Non, seulement si l'énoncé le demande ou si c'est nécessaire pour trouver la formule générale. Parfois, l'énoncé commence par $u_1$.

💡 À retenir : Lis toujours attentivement le premier terme donné dans l'énoncé.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_0 = 5$ et la raison $r = 2$ .

Calculer $u_1$ et $u_2$ .
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
Calculer $u_{10}$ .

Exercice 1

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_0 = 5$ et la raison $r = 2$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Calculer $u_{10}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $(v_n)$ une suite géométrique telle que $v_0 = 3$ et $v_1 = 6$ .

Déterminer la raison $q$ de cette suite.
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ .
Calculer $v_4$ .

Exercice 2

Soit $(v_n)$ une suite géométrique telle que $v_0 = 3$ et $v_1 = 6$.

Déterminer la raison $q$ de cette suite.
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
Calculer $v_4$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $(w_n)$ une suite définie par $w_0 = 1$ et $w_{n+1} = w_n + n + 1$ .

Calculer $w_1$ et $w_2$ .
La suite $(w_n)$ est-elle arithmétique ? Justifier.

Exercice 3

Soit $(w_n)$ une suite définie par $w_0 = 1$ et $w_{n+1} = w_n + n + 1$.

Calculer $w_1$ et $w_2$.
La suite $(w_n)$ est-elle arithmétique ? Justifier.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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