Mathématiques · 2ème Année Bac — Arts appliqués

دراسة الدوال العددية للسنة الثانية باكالوريا

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Pour une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ :

Domaine de définition $D_f$ : Ensemble des $x$ tels que $f(x)$ existe.
Limites aux bornes : Étude du comportement de $f$ vers $\pm \infty$ ou aux bornes finies.
Dérivabilité et variations : Si $f'(x) > 0$ sur $I$ , $f$ est strictement croissante. Si $f'(x) < 0$ , $f$ est strictement décroissante.
Extremums : $f$ admet un maximum ou un minimum si $f'(x)$ s'annule en changeant de signe.
Représentation graphique : La courbe $(C_f)$ est tracée dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul de la dérivée : Appliquer les formules usuelles $(x^n)' = nx^{n-1}$ , $(ax+b)' = a$ .
Tableau de variations : Placer les valeurs où $f'(x)=0$ et les signes de $f'(x)$ .
Recherche des points d'intersection : Résoudre $f(x) = 0$ pour l'axe des abscisses et calculer $f(0)$ pour l'axe des ordonnées.

Exemples corrigés

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

$f'(x) = 2x - 4$ .
$f'(x) = 0 \iff x = 2$ .
$f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$ . Le minimum est $-1$ en $x=2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de définition avant de dériver.
Confondre le signe de la dérivée avec le signe de la fonction.
Mal calculer les limites aux bornes infinies (négliger les termes de plus haut degré).

L'essentiel du cours

Pour une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ :

Domaine de définition $D_f$ : Ensemble des $x$ tels que $f(x)$ existe.
Limites aux bornes : Étude du comportement de $f$ vers $\pm \infty$ ou aux bornes finies.
Dérivabilité et variations : Si $f'(x) > 0$ sur $I$, $f$ est strictement croissante. Si $f'(x) < 0$, $f$ est strictement décroissante.
Extremums : $f$ admet un maximum ou un minimum si $f'(x)$ s'annule en changeant de signe.
Représentation graphique : La courbe $(C_f)$ est tracée dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

Méthodes à maîtriser

Calcul de la dérivée : Appliquer les formules usuelles $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(ax+b)' = a$.
Tableau de variations : Placer les valeurs où $f'(x)=0$ et les signes de $f'(x)$.
Recherche des points d'intersection : Résoudre $f(x) = 0$ pour l'axe des abscisses et calculer $f(0)$ pour l'axe des ordonnées.

Exemples corrigés

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

$f'(x) = 2x - 4$.
$f'(x) = 0 \iff x = 2$.
$f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$. Le minimum est $-1$ en $x=2$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de définition avant de dériver.
Confondre le signe de la dérivée avec le signe de la fonction.
Mal calculer les limites aux bornes infinies (négliger les termes de plus haut degré).

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 دراسة الدوال العددية للسنة الثانية باكالوريا

1/4

Quelle est la dérivée de $f(x) = 5x^2 + 3$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la dérivée d'une constante est toujours zéro ?

Oui, la dérivée de n'importe quel nombre réel (comme 5, -2 ou $\pi$ ) est toujours égale à 0.

💡 À retenir : $(k)' = 0$ pour tout réel $k$ .

Oui, la dérivée de n'importe quel nombre réel (comme 5, -2 ou $\pi$) est toujours égale à 0.

💡 À retenir : $(k)' = 0$ pour tout réel $k$.

Comment savoir si une fonction est croissante ou décroissante ?

Pour déterminer le sens de variation :

Calcule la dérivée $f'(x)$ .
Étudie le signe de $f'(x)$ .
Si $f'(x) \geq 0$ , alors $f$ est croissante.
Si $f'(x) \leq 0$ , alors $f$ est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction.

Pour déterminer le sens de variation :

Calcule la dérivée $f'(x)$.
Étudie le signe de $f'(x)$.
Si $f'(x) \geq 0$, alors $f$ est croissante.
Si $f'(x) \leq 0$, alors $f$ est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction.

Kifach n7seb l'image dial wahed l'intervalle [a, b] ?

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ :

Si $f$ est croissante, $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$ .
Si $f$ est décroissante, $f([a, b]) = [f(b), f(a)]$ .

💡 À retenir : Pour une fonction décroissante, on inverse les bornes.

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ :

Si $f$ est croissante, $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$.
Si $f$ est décroissante, $f([a, b]) = [f(b), f(a)]$.

💡 À retenir : Pour une fonction décroissante, on inverse les bornes.

Est-ce que je dois toujours calculer la limite en pm infty ?

Oui, si le domaine de définition est $\mathbb{R}$ ou un intervalle infini. Cela permet de connaître la direction de la courbe à l'infini.

💡 À retenir : Les limites aux bornes du domaine sont indispensables pour le tableau de variations.

Oui, si le domaine de définition est $\mathbb{R}$ ou un intervalle infini. Cela permet de connaître la direction de la courbe à l'infini.

💡 À retenir : Les limites aux bornes du domaine sont indispensables pour le tableau de variations.

Chno hiya l'equation dial l'asymptote horizontal ?

Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ (où $L$ est un nombre réel), alors la droite d'équation $y = L$ est une asymptote horizontale à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ .

💡 À retenir : Une limite finie à l'infini donne une asymptote horizontale.

Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ (où $L$ est un nombre réel), alors la droite d'équation $y = L$ est une asymptote horizontale à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.

💡 À retenir : Une limite finie à l'infini donne une asymptote horizontale.

Kifach n3ref wach l'extremum maximum awla minimum ?

Regarde le tableau de variations :

Si la courbe monte puis descend, le point est un maximum.
Si la courbe descend puis monte, le point est un minimum.

💡 À retenir : Le changement de signe de $f'(x)$ indique la nature de l'extremum.

Regarde le tableau de variations :

Si la courbe monte puis descend, le point est un maximum.
Si la courbe descend puis monte, le point est un minimum.

💡 À retenir : Le changement de signe de $f'(x)$ indique la nature de l'extremum.

Comment calculer l'intersection avec l'axe des ordonnées ?

C'est très simple : il suffit de calculer $f(0)$ . Le point d'intersection est $(0, f(0))$ .

💡 À retenir : L'axe des ordonnées correspond toujours à $x=0$ .

C'est très simple : il suffit de calculer $f(0)$. Le point d'intersection est $(0, f(0))$.

💡 À retenir : L'axe des ordonnées correspond toujours à $x=0$.

Pourquoi on étudie le signe de f'(x) ?

Parce que la dérivée mesure la pente de la tangente. Si la pente est positive, la fonction monte ; si elle est négative, elle descend.

💡 À retenir : $f'(x)$ est l'outil principal pour dresser le tableau de variations.

Parce que la dérivée mesure la pente de la tangente. Si la pente est positive, la fonction monte ; si elle est négative, elle descend.

💡 À retenir : $f'(x)$ est l'outil principal pour dresser le tableau de variations.

Comment tracer la courbe si je n'ai pas de points ?

Place les points d'extremums.
Place les points d'intersection avec les axes.
Trace les asymptotes.
Relie les points en respectant les variations.

💡 À retenir : Utilise les informations du tableau de variations pour guider ton tracé.

Est-ce que f'(x) peut être nulle sans changer de signe ?

Oui, par exemple pour $f(x) = x^3$ , $f'(x) = 3x^2$ . $f'(0)=0$ mais $f'(x)$ reste positive de chaque côté. La fonction est croissante.

💡 À retenir : Une dérivée nulle ne signifie pas toujours un extremum.

Oui, par exemple pour $f(x) = x^3$, $f'(x) = 3x^2$. $f'(0)=0$ mais $f'(x)$ reste positive de chaque côté. La fonction est croissante.

💡 À retenir : Une dérivée nulle ne signifie pas toujours un extremum.

Est-ce que le domaine de définition est toujours mathbb{R} ?

Non, cela dépend de la fonction. Par exemple, pour $f(x) = \frac{1}{x}$ , le domaine est $\mathbb{R}^*$ car on ne peut pas diviser par zéro.

💡 À retenir : Vérifie toujours les dénominateurs et les racines carrées.

Non, cela dépend de la fonction. Par exemple, pour $f(x) = \frac{1}{x}$, le domaine est $\mathbb{R}^*$ car on ne peut pas diviser par zéro.

💡 À retenir : Vérifie toujours les dénominateurs et les racines carrées.

Comment on trouve l'équation de la tangente au point d'abscisse a ?

La formule est : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ . Il suffit de calculer $f'(a)$ et $f(a)$ puis de remplacer.

💡 À retenir : La tangente est une droite qui "touche" la courbe en un point.

La formule est : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Il suffit de calculer $f'(a)$ et $f(a)$ puis de remplacer.

💡 À retenir : La tangente est une droite qui "touche" la courbe en un point.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x) = x^2 - 2x$ .

Déterminer $D_f$ .
Calculer $f'(x)$ .
Dresser le tableau de variations.

Exercice 1

Soit $f(x) = x^2 - 2x$.

Déterminer $D_f$.
Calculer $f'(x)$.
Dresser le tableau de variations.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ .

Déterminer $D_f$ .
Calculer $f'(x)$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$.

Déterminer $D_f$.
Calculer $f'(x)$.
Étudier le signe de $f'(x)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = -x^3 + 3x$ .

Calculer $f'(x)$ .
Déterminer les extremums de $f$ .
Tracer l'allure de la courbe.

Exercice 3

Soit $f(x) = -x^3 + 3x$.

Calculer $f'(x)$.
Déterminer les extremums de $f$.
Tracer l'allure de la courbe.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

المتتالية الترجعية نهاية متتالية التعداد مادة الرياضيات للسنة الثانية باكالوريا آداب وعلوم انسانية الاحتمالات مادة الرياضيات ثانية باكالوريا آداب وعلوم انسانية الاشتقاق و دراسة الدوال الجذرية للثانية باك آداب وعلوم إنسانية دالة اللوغاريتم النبيري رالدالة الأسية النبيرية حساب التكامل النهايات والاتصال الدوال الأصلية