Mathématiques · 2ème Année Collège

ترتيب الأعداد الجذرية و العمليات

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Comparaison par la différence : Pour comparer deux nombres rationnels $a$ $a$ et $b$ $b$ , on étudie le signe de $a - b$ $a - b$ .
- Si $a - b > 0$ , alors $a > b$ .
- Si $a - b < 0$ , alors $a < b$ .
Addition et ordre : Si $a < b$ , alors $a + c < b + c$ . L'addition ne change pas le sens de l'inégalité.
Multiplication et ordre :
- Si on multiplie par un nombre positif ( $c > 0$ ), le sens de l'inégalité ne change pas : $a < b \implies a \times c < b \times c$ .
- Si on multiplie par un nombre négatif ( $c < 0$ ), le sens de l'inégalité change : $a < b \implies a \times c > b \times c$ .

Méthodes à maîtriser

Réduire au même dénominateur : Pour comparer $a/b$ et $c/d$ , on compare $a \times d$ et $b \times c$ .
Encadrement : Pour encadrer $a + b$ ou $a \times b$ , on utilise les propriétés de l'ordre.
Changement de signe : Toujours vérifier si le nombre par lequel on multiplie est négatif pour inverser le symbole.

Exemples corrigés

Comparer $\frac{2}{3}$ et $\frac{5}{7}$ : $2 \times 7 = 14$ et $3 \times 5 = 15$ . Comme $14 < 15$ , alors $\frac{2}{3} < \frac{5}{7}$ .
Si $2 < x < 5$ , alors $2 + 3 < x + 3 < 5 + 3$ , donc $5 < x + 3 < 8$ .

Erreurs fréquentes

Oublier d'inverser le symbole lors de la multiplication par un nombre négatif.
Confondre l'ordre des nombres négatifs : $-5 < -2$ alors que $5 > 2$ .

L'essentiel du cours

Comparaison par la différence : Pour comparer deux nombres rationnels $a$ et $b$, on étudie le signe de $a - b$.
- Si $a - b > 0$, alors $a > b$.
- Si $a - b < 0$, alors $a < b$.
Addition et ordre : Si $a < b$, alors $a + c < b + c$. L'addition ne change pas le sens de l'inégalité.
Multiplication et ordre :
- Si on multiplie par un nombre positif ($c > 0$), le sens de l'inégalité ne change pas : $a < b \implies a \times c < b \times c$.
- Si on multiplie par un nombre négatif ($c < 0$), le sens de l'inégalité change : $a < b \implies a \times c > b \times c$.

Méthodes à maîtriser

Réduire au même dénominateur : Pour comparer $a/b$ et $c/d$, on compare $a \times d$ et $b \times c$.
Encadrement : Pour encadrer $a + b$ ou $a \times b$, on utilise les propriétés de l'ordre.
Changement de signe : Toujours vérifier si le nombre par lequel on multiplie est négatif pour inverser le symbole.

Exemples corrigés

Comparer $\frac{2}{3}$ et $\frac{5}{7}$ : $2 \times 7 = 14$ et $3 \times 5 = 15$. Comme $14 < 15$, alors $\frac{2}{3} < \frac{5}{7}$.
Si $2 < x < 5$, alors $2 + 3 < x + 3 < 5 + 3$, donc $5 < x + 3 < 8$.

Erreurs fréquentes

Oublier d'inverser le symbole lors de la multiplication par un nombre négatif.
Confondre l'ordre des nombres négatifs : $-5 < -2$ alors que $5 > 2$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 ترتيب الأعداد الجذرية و العمليات

1/4

Si $a < b$ , alors $a - 5$ est :

Si $a < b$, alors $a - 5$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment encadrer x + y si on a les encadrements de x et y ?

Il suffit d'additionner les bornes correspondantes :

Si $a < x < b$ et $c < y < d$ .
Alors $a + c < x + y < b + d$ .

💡 À retenir : On additionne membre à membre.

Il suffit d'additionner les bornes correspondantes :

Si $a < x < b$ et $c < y < d$.
Alors $a + c < x + y < b + d$.

💡 À retenir : On additionne membre à membre.

Comment comparer deux nombres rationnels ?

Calcule la différence $a - b$ .
Si le résultat est positif, alors $a > b$ .
Si le résultat est négatif, alors $a < b$ .

💡 À retenir : Le signe de la différence donne toujours le sens de l'inégalité.

Calcule la différence $a - b$.
Si le résultat est positif, alors $a > b$.
Si le résultat est négatif, alors $a < b$.

💡 À retenir : Le signe de la différence donne toujours le sens de l'inégalité.

kifach n3ref chkoun kbir ila kanou l'a3dad salbin ?

Pour les nombres négatifs, c'est l'inverse des positifs.
Plus le nombre est "loin" de zéro, plus il est petit.
Exemple : $-10 < -2$ .

💡 À retenir : Un nombre négatif est d'autant plus petit qu'il est éloigné de zéro.

Pour les nombres négatifs, c'est l'inverse des positifs.
Plus le nombre est "loin" de zéro, plus il est petit.
Exemple : $-10 < -2$.

💡 À retenir : Un nombre négatif est d'autant plus petit qu'il est éloigné de zéro.

Est-ce que l'ordre change si on ajoute le même nombre ?

Non, l'addition d'un même nombre aux deux côtés d'une inégalité ne change jamais le sens de celle-ci.

💡 À retenir : L'addition conserve l'ordre.

chno hiya l'9a3ida dyal darb f l'3adad salib ?

Si tu multiplies les deux côtés d'une inégalité par un nombre négatif, tu DOIS changer le sens du symbole.
Exemple : Si $x < 3$ , alors $-2x > -6$ .

💡 À retenir : Multiplier par un négatif renverse l'inégalité.

Si tu multiplies les deux côtés d'une inégalité par un nombre négatif, tu DOIS changer le sens du symbole.
Exemple : Si $x < 3$, alors $-2x > -6$.

💡 À retenir : Multiplier par un négatif renverse l'inégalité.

wach n9der n9aren 3adadayn jidriyayn bla ma n7seb l'far9 ?

Oui, tu peux réduire au même dénominateur et comparer les numérateurs, ou comparer chacun par rapport à 1.

💡 À retenir : La méthode de la différence est la plus générale, mais le dénominateur commun est souvent plus rapide.

kifach n7seb l'ta2tir dyal l'jida2 x times y ?

Si $x$ et $y$ sont des nombres positifs :

Tu multiplies les bornes : $a \times c < x \times y < b \times d$ .

💡 À retenir : Attention, cette règle ne s'applique que si les nombres sont positifs.

Si $x$ et $y$ sont des nombres positifs :

Tu multiplies les bornes : $a \times c < x \times y < b \times d$.

💡 À retenir : Attention, cette règle ne s'applique que si les nombres sont positifs.

Est-ce que l'ordre change si on soustrait le même nombre ?

Non, la soustraction se comporte comme l'addition. Si $a < b$ , alors $a - c < b - c$ .

💡 À retenir : Soustraire un nombre ne change pas l'ordre.

Non, la soustraction se comporte comme l'addition. Si $a < b$, alors $a - c < b - c$.

💡 À retenir : Soustraire un nombre ne change pas l'ordre.

Pourquoi -5/2 est plus petit que -1/2 ?

$-5/2 = -2,5$ et $-1/2 = -0,5$ .
Sur la droite graduée, $-2,5$ est à gauche de $-0,5$ .

💡 À retenir : Plus on va vers la gauche, plus le nombre est petit.

$-5/2 = -2,5$ et $-1/2 = -0,5$.
Sur la droite graduée, $-2,5$ est à gauche de $-0,5$.

💡 À retenir : Plus on va vers la gauche, plus le nombre est petit.

Comment comparer a/b et 1 ?

Si $a < b$ (et $b>0$ ), alors $a/b < 1$ .
Si $a > b$ (et $b>0$ ), alors $a/b > 1$ .

💡 À retenir : Compare le numérateur et le dénominateur.

Si $a < b$ (et $b>0$), alors $a/b < 1$.
Si $a > b$ (et $b>0$), alors $a/b > 1$.

💡 À retenir : Compare le numérateur et le dénominateur.

Est-ce que l'ordre change si on divise par un nombre ?

Si tu divises par un nombre positif, l'ordre reste le même.
Si tu divises par un nombre négatif, l'ordre change.

💡 À retenir : La division suit les mêmes règles que la multiplication.

Est-ce que x^2 garde toujours le même ordre ?

Si $x$ et $y$ sont positifs et $x < y$ , alors $x^2 < y^2$ . (à vérifier par le professeur)

💡 À retenir : La fonction carré est croissante sur les positifs.

Si $x$ et $y$ sont positifs et $x < y$, alors $x^2 < y^2$. (à vérifier par le professeur)

💡 À retenir : La fonction carré est croissante sur les positifs.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Comparer les nombres rationnels suivants : $A = \frac{7}{5}$ et $B = \frac{9}{7}$ .

Exercice 1

Comparer les nombres rationnels suivants : $A = \frac{7}{5}$ et $B = \frac{9}{7}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $x$ un nombre rationnel tel que $3 < x < 5$ . Donner un encadrement de $A = -2x + 4$ .

Exercice 2

Soit $x$ un nombre rationnel tel que $3 < x < 5$. Donner un encadrement de $A = -2x + 4$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $x$ et $y$ deux nombres rationnels tels que $2 < x < 4$ et $1 < y < 3$ . Encadrer $x \times y$ .

Exercice 3

Soit $x$ et $y$ deux nombres rationnels tels que $2 < x < 4$ et $1 < y < 3$. Encadrer $x \times y$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

الأعداد الجذرية جمع و طرح عددين جذريين جداء و خارج عددين جذريين العمليات الأربع على الأعداد الجذرية قوة عدد جذري الحساب الحرفي المعادلات مادة الرياضيات السنة الثانية اعدادي الأعداد الحقيقية التماثل المحوري مادة الرياضيات السنة الثانية اعدادي المثلث: المستقيمات الهامة المتوازي الأضلاع مبرهنة فيتاغورس الترتيب والمجالات المثلث القائم الزاوية والدائرة الإزاحة والمتجهات المعلم في المستوى المستقيم في المستوى النظمات الزوايا المكونة من متوازيين وقاطع المثلثات المتقايسة والمتشابهة الإسقاط الهندسة الفضائية الإحصاء