Mathématiques · 2ème Année Collège

الإزاحة والمتجهات

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Une translation est définie par un vecteur $\vec{AB}$ . Elle transforme tout point $M$ en un point $M'$ tel que $\vec{MM'} = \vec{AB}$ .
Égalité de vecteurs : Deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux si et seulement si le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme (ou si $A, B, D, C$ sont alignés dans le même sens).
Vecteur nul : $\vec{AA} = \vec{0}$ . Sa norme est 0.
Relation de Chasles : Pour tous points $A, B$ et $C$ : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ .
Somme de vecteurs : Si $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{BC}$ , alors $\vec{u} + \vec{v} = \vec{AC}$ .

Méthodes à maîtriser

Construire l'image d'un point par une translation.
Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme en utilisant l'égalité de deux vecteurs.
Simplifier une somme de vecteurs en utilisant la relation de Chasles.
Construire la somme de deux vecteurs (règle du parallélogramme).

Exemples corrigés

Simplification : Simplifier $\vec{MN} + \vec{NP} + \vec{PQ}$ . Réponse : $\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MP}$ . Donc $\vec{MP} + \vec{PQ} = \vec{MQ}$ .
Parallélogramme : Si $\vec{AB} = \vec{DC}$ , alors $ABCD$ est un parallélogramme.

Erreurs fréquentes

Confondre la direction (la droite) et le sens (la flèche).
Oublier que $\vec{AB} = \vec{DC}$ implique $ABCD$ est un parallélogramme et non $ABDC$ .
Ne pas respecter l'ordre des points dans la relation de Chasles.

L'essentiel du cours

Définition : Une translation est définie par un vecteur $\vec{AB}$. Elle transforme tout point $M$ en un point $M'$ tel que $\vec{MM'} = \vec{AB}$.
Égalité de vecteurs : Deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux si et seulement si le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme (ou si $A, B, D, C$ sont alignés dans le même sens).
Vecteur nul : $\vec{AA} = \vec{0}$. Sa norme est 0.
Relation de Chasles : Pour tous points $A, B$ et $C$ : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Somme de vecteurs : Si $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{BC}$, alors $\vec{u} + \vec{v} = \vec{AC}$.

Méthodes à maîtriser

Construire l'image d'un point par une translation.
Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme en utilisant l'égalité de deux vecteurs.
Simplifier une somme de vecteurs en utilisant la relation de Chasles.
Construire la somme de deux vecteurs (règle du parallélogramme).

Exemples corrigés

Simplification : Simplifier $\vec{MN} + \vec{NP} + \vec{PQ}$. Réponse : $\vec{MN} + \vec{NP} = \vec{MP}$. Donc $\vec{MP} + \vec{PQ} = \vec{MQ}$.
Parallélogramme : Si $\vec{AB} = \vec{DC}$, alors $ABCD$ est un parallélogramme.

Erreurs fréquentes

Confondre la direction (la droite) et le sens (la flèche).
Oublier que $\vec{AB} = \vec{DC}$ implique $ABCD$ est un parallélogramme et non $ABDC$.
Ne pas respecter l'ordre des points dans la relation de Chasles.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 الإزاحة والمتجهات

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Quel est le vecteur égal à $\vec{AB} + \vec{BC}$ ?

❓ Questions fréquentes

Pourquoi on utilise les vecteurs en géométrie ?

Pour simplifier les démonstrations sur le parallélisme, les milieux et les translations sans avoir besoin de mesurer avec une règle.

💡 À retenir : Les vecteurs sont des outils de calcul géométrique.

Est-ce que le vecteur vec{AB} est la même chose que le segment [AB] ?

Non, le segment $[AB]$ est une figure géométrique fixe. Le vecteur $\vec{AB}$ représente un déplacement : il possède une direction, un sens et une longueur (norme).

💡 À retenir : Un vecteur est un "mouvement", le segment est une "distance".

Non, le segment $[AB]$ est une figure géométrique fixe. Le vecteur $\vec{AB}$ représente un déplacement : il possède une direction, un sens et une longueur (norme).

💡 À retenir : Un vecteur est un "mouvement", le segment est une "distance".

Kifach n3ref wach vec{AB} = vec{CD} ?

Pour que $\vec{AB} = \vec{CD}$ , il faut trois conditions :

Même direction : $(AB) // (CD)$ .
Même sens : de $A$ vers $B$ comme de $C$ vers $D$ .
Même norme : $AB = CD$ .

💡 À retenir : Si $ABDC$ est un parallélogramme, alors $\vec{AB} = \vec{CD}$ .

Pour que $\vec{AB} = \vec{CD}$, il faut trois conditions :

Même direction : $(AB) // (CD)$.
Même sens : de $A$ vers $B$ comme de $C$ vers $D$.
Même norme : $AB = CD$.

💡 À retenir : Si $ABDC$ est un parallélogramme, alors $\vec{AB} = \vec{CD}$.

C'est quoi un vecteur nul ?

C'est un vecteur dont l'origine et l'extrémité sont confondues. On le note $\vec{0}$ (ou $\vec{AA}$ ). Sa norme est nulle.

💡 À retenir : $\vec{AA} = \vec{0}$ .

C'est un vecteur dont l'origine et l'extrémité sont confondues. On le note $\vec{0}$ (ou $\vec{AA}$). Sa norme est nulle.

💡 À retenir : $\vec{AA} = \vec{0}$.

Chno hiya relation de Chasles b darija ?

Hya l'qa3ida li katkhlina n'khtazlo b l'point li kayn f l'wst. Ila knti ghadi mn $A$ l $B$ o zedti mchiti mn $B$ l $C$ , bhal ila mchiti direct mn $A$ l $C$ .

💡 À retenir : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ .

Hya l'qa3ida li katkhlina n'khtazlo b l'point li kayn f l'wst. Ila knti ghadi mn $A$ l $B$ o zedti mchiti mn $B$ l $C$, bhal ila mchiti direct mn $A$ l $C$.

💡 À retenir : $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Comment construire l'image d'un point M par la translation qui transforme A en B ?

Il faut construire le point $M'$ tel que $\vec{MM'} = \vec{AB}$ . Cela revient à construire le parallélogramme $ABM'M$ .

💡 À retenir : $ABM'M$ est un parallélogramme.

Il faut construire le point $M'$ tel que $\vec{MM'} = \vec{AB}$. Cela revient à construire le parallélogramme $ABM'M$.

💡 À retenir : $ABM'M$ est un parallélogramme.

Wach vec{AB} + vec{AC} = vec{AD} ?

Oui, si $ABDC$ est un parallélogramme, alors la somme des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ est égale au vecteur $\vec{AD}$ (diagonale du parallélogramme).

💡 À retenir : C'est la règle du parallélogramme.

Oui, si $ABDC$ est un parallélogramme, alors la somme des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ est égale au vecteur $\vec{AD}$ (diagonale du parallélogramme).

💡 À retenir : C'est la règle du parallélogramme.

Est-ce que vec{AB} = -vec{BA} ?

Oui, deux vecteurs opposés ont la même direction et la même norme, mais des sens contraires.

💡 À retenir : $\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{0}$ .

Oui, deux vecteurs opposés ont la même direction et la même norme, mais des sens contraires.

💡 À retenir : $\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{0}$.

Kifach n7seb l'majmo3 dyal vec{u} + vec{v} ila makanch l'point l'mchtarek ?

Il faut utiliser la relation de Chasles en remplaçant l'un des vecteurs par un vecteur égal qui commence par la bonne lettre.

💡 À retenir : Cherche toujours à créer un point commun.

La norme d'un vecteur peut-elle être négative ?

Non, la norme est une distance, elle est toujours positive ou nulle.

💡 À retenir : $\|\vec{AB}\| = AB \geq 0$ .

Non, la norme est une distance, elle est toujours positive ou nulle.

💡 À retenir : $|\vec{AB}| = AB \geq 0$.

Est-ce que deux vecteurs de même longueur sont forcément égaux ?

Non, ils doivent aussi avoir la même direction et le même sens.

💡 À retenir : La longueur ne suffit pas.

Si vec{AM} = vec{MB}, que dire du point M ?

Le point $M$ est le milieu du segment $[AB]$ .

💡 À retenir : $M$ est le milieu si $\vec{AM} = \vec{MB}$ .

Le point $M$ est le milieu du segment $[AB]$.

💡 À retenir : $M$ est le milieu si $\vec{AM} = \vec{MB}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $ABCD$ un parallélogramme.

Montrer que $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$ .
Simplifier l'expression suivante : $\vec{S} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$ .

Exercice 1

Soit $ABCD$ un parallélogramme.

Montrer que $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
Simplifier l'expression suivante : $\vec{S} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$.

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Exercice 2

Soient $A, B$ et $C$ trois points non alignés. Construire le point $E$ tel que $\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{AC}$ .

Exercice 2

Soient $A, B$ et $C$ trois points non alignés. Construire le point $E$ tel que $\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{AC}$.

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Exercice 3

Soient $A, B, C, D$ quatre points quelconques. Montrer que $\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AD} + \vec{CB}$ .

Exercice 3

Soient $A, B, C, D$ quatre points quelconques. Montrer que $\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AD} + \vec{CB}$.

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