Mathématiques · 2ème Année Collège

الترتيب والمجالات

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Ordre et addition : Si $a \leq b$ , alors $a + c \leq b + c$ . L'ordre est conservé.
Ordre et multiplication :
- Si $c > 0$ , alors $a \leq b \implies a \times c \leq b \times c$ .
- Si $c < 0$ , alors $a \leq b \implies a \times c \geq b \times c$ (le sens change).
Encadrement : Encadrer $x$ signifie trouver deux nombres $a$ et $b$ tels que $a \leq x \leq b$ .
Intervalles :
- $[a, b] = \{x \in \mathbb{R} / a \leq x \leq b\}$
- $]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} / a < x < b\}$
Opérations sur les encadrements : On peut additionner deux inégalités de même sens. Pour la multiplication, on ne multiplie que des nombres positifs.

Méthodes à maîtriser

Encadrer une somme : Si $a \leq x \leq b$ et $c \leq y \leq d$ , alors $a+c \leq x+y \leq b+d$ .
Encadrer une différence : Pour $x-y$ , on encadre d'abord $-y$ (en changeant les signes et le sens), puis on additionne.
Intersection et Union : Utiliser la droite graduée pour visualiser les intervalles.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Si $2 \leq x \leq 5$ $2 \leq x \leq 5$ , encadrer $3x + 1$ $3 x + 1$ .
- $2 \leq x \leq 5 \implies 6 \leq 3x \leq 15$ (multiplication par 3 > 0).
- $6+1 \leq 3x+1 \leq 15+1 \implies 7 \leq 3x+1 \leq 16$ .
Exemple 2 : Intersection de $I = [1, 4]$ $I = [1, 4]$ et $J = [2, 5]$ $J = [2, 5]$ .
- L'intersection est $[2, 4]$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens de l'inégalité lors de la multiplication par un nombre négatif.
Soustraire les inégalités directement (c'est interdit !).
Confondre l'union ( $\cup$ ) et l'intersection ( $\cap$ ).

L'essentiel du cours

Ordre et addition : Si $a \leq b$, alors $a + c \leq b + c$. L'ordre est conservé.
Ordre et multiplication :
- Si $c > 0$, alors $a \leq b \implies a \times c \leq b \times c$.
- Si $c < 0$, alors $a \leq b \implies a \times c \geq b \times c$ (le sens change).
Encadrement : Encadrer $x$ signifie trouver deux nombres $a$ et $b$ tels que $a \leq x \leq b$.
Intervalles :
- $[a, b] = {x \in \mathbb{R} / a \leq x \leq b}$
- $]a, b[ = {x \in \mathbb{R} / a < x < b}$
Opérations sur les encadrements : On peut additionner deux inégalités de même sens. Pour la multiplication, on ne multiplie que des nombres positifs.

Méthodes à maîtriser

Encadrer une somme : Si $a \leq x \leq b$ et $c \leq y \leq d$, alors $a+c \leq x+y \leq b+d$.
Encadrer une différence : Pour $x-y$, on encadre d'abord $-y$ (en changeant les signes et le sens), puis on additionne.
Intersection et Union : Utiliser la droite graduée pour visualiser les intervalles.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Si $2 \leq x \leq 5$, encadrer $3x + 1$.
- $2 \leq x \leq 5 \implies 6 \leq 3x \leq 15$ (multiplication par 3 > 0).
- $6+1 \leq 3x+1 \leq 15+1 \implies 7 \leq 3x+1 \leq 16$.
Exemple 2 : Intersection de $I = [1, 4]$ et $J = [2, 5]$.
- L'intersection est $[2, 4]$.

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens de l'inégalité lors de la multiplication par un nombre négatif.
Soustraire les inégalités directement (c'est interdit !).
Confondre l'union ($\cup$) et l'intersection ($\cap$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 الترتيب والمجالات

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Si $a < b$ , alors $a-5$ par rapport à $b-5$ est :

Si $a < b$, alors $a-5$ par rapport à $b-5$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment comparer deux nombres a et b ?

On calcule la différence $a - b$ .
Si $a - b > 0$ , alors $a > b$ .
Si $a - b < 0$ , alors $a < b$ .
Si $a - b = 0$ , alors $a = b$ .

💡 À retenir : Pour comparer, on étudie toujours le signe de la différence.

On calcule la différence $a - b$.
Si $a - b > 0$, alors $a > b$.
Si $a - b < 0$, alors $a < b$.
Si $a - b = 0$, alors $a = b$.

💡 À retenir : Pour comparer, on étudie toujours le signe de la différence.

kifach n7seb l-intersection dyal joj majalat ?

Tracer une droite graduée.
Représenter le premier intervalle avec une couleur.
Représenter le deuxième avec une autre couleur.
L'intersection est la zone où les deux couleurs se superposent.

💡 À retenir : L'intersection est la partie commune aux deux intervalles.

Est-ce que je peux multiplier deux inégalités ?

Oui, mais seulement si tous les nombres sont positifs. Si $0 \leq a \leq b$ et $0 \leq c \leq d$ , alors $a \times c \leq b \times d$ . Si les nombres sont négatifs, il faut faire attention aux signes.

💡 À retenir : Ne multipliez jamais des inégalités contenant des nombres négatifs sans les transformer.

Oui, mais seulement si tous les nombres sont positifs. Si $0 \leq a \leq b$ et $0 \leq c \leq d$, alors $a \times c \leq b \times d$. Si les nombres sont négatifs, il faut faire attention aux signes.

💡 À retenir : Ne multipliez jamais des inégalités contenant des nombres négatifs sans les transformer.

chno hiya l-amplitude dyal l-majal [a, b] ?

L'amplitude est la longueur de l'intervalle. On la calcule par la formule : $b - a$ .

💡 À retenir : L'amplitude est toujours un nombre positif.

L'amplitude est la longueur de l'intervalle. On la calcule par la formule : $b - a$.

💡 À retenir : L'amplitude est toujours un nombre positif.

Si x < 5, est-ce que -2x < -10 ?

Non, c'est faux. Comme on multiplie par $-2$ (nombre négatif), le sens de l'inégalité change. La réponse correcte est $-2x > -10$ .

💡 À retenir : Multiplication par un nombre négatif = inversion du symbole.

Non, c'est faux. Comme on multiplie par $-2$ (nombre négatif), le sens de l'inégalité change. La réponse correcte est $-2x > -10$.

💡 À retenir : Multiplication par un nombre négatif = inversion du symbole.

kifach n-encadrer x^2 ila kan x f majal salib ?

Si $-3 \leq x \leq -1$ , alors pour $x^2$ , on inverse les bornes et on les met au carré : $(-1)^2 \leq x^2 \leq (-3)^2$ , donc $1 \leq x^2 \leq 9$ .

💡 À retenir : Quand on passe au carré sur des nombres négatifs, les bornes s'inversent.

Si $-3 \leq x \leq -1$, alors pour $x^2$, on inverse les bornes et on les met au carré : $(-1)^2 \leq x^2 \leq (-3)^2$, donc $1 \leq x^2 \leq 9$.

💡 À retenir : Quand on passe au carré sur des nombres négatifs, les bornes s'inversent.

Quelle est la différence entre [a, b] et ]a, b[ ?

Dans $[a, b]$ , les bornes $a$ et $b$ sont incluses. Dans $]a, b[$ , elles sont exclues.

💡 À retenir : Crochet fermé = inclus, crochet ouvert = exclu.

Dans $[a, b]$, les bornes $a$ et $b$ sont incluses. Dans $]a, b[$, elles sont exclues.

💡 À retenir : Crochet fermé = inclus, crochet ouvert = exclu.

Est-ce que [1, 3] cup [2, 4] = [1, 4] ?

Oui, car les deux intervalles se chevauchent. L'union prend tout ce qui est couvert par au moins l'un des deux.

💡 À retenir : L'union est la réunion de tous les éléments.

Comment encadrer x - y ?

On a $a \leq x \leq b$ et $c \leq y \leq d$ .
On écrit $-d \leq -y \leq -c$ .
On additionne : $a - d \leq x - y \leq b - c$ .

💡 À retenir : On n'encadre jamais une soustraction directement.

On a $a \leq x \leq b$ et $c \leq y \leq d$.
On écrit $-d \leq -y \leq -c$.
On additionne : $a - d \leq x - y \leq b - c$.

💡 À retenir : On n'encadre jamais une soustraction directement.

Est-ce que x in [2, 5] signifie que x peut être 5 ?

Oui, car le crochet est fermé du côté de 5.

💡 À retenir : Crochet fermé signifie "inférieur ou égal".

Est-ce que l'intersection de [1, 2] et [3, 4] est vide ?

Oui, car il n'y a aucun nombre commun entre ces deux intervalles. On écrit $[1, 2] \cap [3, 4] = \emptyset$ .

💡 À retenir : Si les intervalles ne se touchent pas, l'intersection est l'ensemble vide.

Oui, car il n'y a aucun nombre commun entre ces deux intervalles. On écrit $[1, 2] \cap [3, 4] = \emptyset$.

💡 À retenir : Si les intervalles ne se touchent pas, l'intersection est l'ensemble vide.

Si x leq 3, est-ce que x+5 leq 8 ?

Oui, on ajoute 5 des deux côtés, le sens ne change pas.

💡 À retenir : L'addition ne change jamais le sens d'une inégalité.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $2 \leq x \leq 4$ et $-3 \leq y \leq -1$ . Encadrer $x+y$ et $x-y$ .

Exercice 1

Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $2 \leq x \leq 4$ et $-3 \leq y \leq -1$. Encadrer $x+y$ et $x-y$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Déterminer l'intersection et l'union des intervalles $I = [-2, 3]$ et $J = [1, 5]$ .

Exercice 2

Déterminer l'intersection et l'union des intervalles $I = [-2, 3]$ et $J = [1, 5]$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $x$ tel que $-4 \leq x \leq -2$ . Encadrer $x^2$ et $\frac{1}{x}$ .

Exercice 3

Soit $x$ tel que $-4 \leq x \leq -2$. Encadrer $x^2$ et $\frac{1}{x}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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