Mathématiques · 2ème Année Collège

المعلم في المستوى

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un repère du plan est défini par un point $O$ (origine) et deux axes gradués perpendiculaires : l'axe des abscisses $(Ox)$ et l'axe des ordonnées $(Oy)$ .

Tout point $M$ est repéré par un couple $(x_M, y_M)$ .
Pour deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ , le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées : $\vec{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A)$ .
La distance $AB$ est donnée par : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ .
Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées : $x_I = \frac{x_A + x_B}{2}$ et $y_I = \frac{y_A + y_B}{2}$ .

Méthodes à maîtriser

Placer un point dans un repère en respectant l'ordre $(x, y)$ .
Calculer les coordonnées d'un vecteur en soustrayant les coordonnées de l'origine de celles de l'extrémité.
Appliquer la formule de la distance en respectant les signes.
Calculer les coordonnées du milieu en faisant la moyenne des abscisses et des ordonnées.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soient $A(1, 2)$ et $B(4, 6)$ . $\vec{AB}(4-1, 6-2) = \vec{AB}(3, 4)$ . $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ .

Exemple 2 : Milieu $I$ de $[AB]$ : $x_I = \frac{1+4}{2} = 2,5$ ; $y_I = \frac{2+6}{2} = 4$ . Donc $I(2,5 ; 4)$ .

Erreurs fréquentes

Inverser l'abscisse et l'ordonnée.
Oublier les parenthèses lors du calcul des coordonnées d'un vecteur avec des nombres négatifs (ex: $x_B - (-x_A)$ devient $x_B + x_A$ ).
Se tromper dans la formule du milieu en soustrayant au lieu d'additionner.

L'essentiel du cours

Un repère du plan est défini par un point $O$ (origine) et deux axes gradués perpendiculaires : l'axe des abscisses $(Ox)$ et l'axe des ordonnées $(Oy)$.

Tout point $M$ est repéré par un couple $(x_M, y_M)$.
Pour deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$, le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées : $\vec{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A)$.
La distance $AB$ est donnée par : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées : $x_I = \frac{x_A + x_B}{2}$ et $y_I = \frac{y_A + y_B}{2}$.

Méthodes à maîtriser

Placer un point dans un repère en respectant l'ordre $(x, y)$.
Calculer les coordonnées d'un vecteur en soustrayant les coordonnées de l'origine de celles de l'extrémité.
Appliquer la formule de la distance en respectant les signes.
Calculer les coordonnées du milieu en faisant la moyenne des abscisses et des ordonnées.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soient $A(1, 2)$ et $B(4, 6)$. $\vec{AB}(4-1, 6-2) = \vec{AB}(3, 4)$. $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Exemple 2 : Milieu $I$ de $[AB]$ : $x_I = \frac{1+4}{2} = 2,5$ ; $y_I = \frac{2+6}{2} = 4$. Donc $I(2,5 ; 4)$.

Erreurs fréquentes

Inverser l'abscisse et l'ordonnée.
Oublier les parenthèses lors du calcul des coordonnées d'un vecteur avec des nombres négatifs (ex: $x_B - (-x_A)$ devient $x_B + x_A$).
Se tromper dans la formule du milieu en soustrayant au lieu d'additionner.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 المعلم في المستوى

1/4

Quelles sont les coordonnées de l'origine $O$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment lire les coordonnées d'un point sur un graphique ?

Partez du point $M$ .
Projetez perpendiculairement sur l'axe des abscisses $(Ox)$ pour trouver $x_M$ .
Projetez perpendiculairement sur l'axe des ordonnées $(Oy)$ pour trouver $y_M$ .

💡 À retenir : Toujours lire l'axe horizontal d'abord.

Partez du point $M$.
Projetez perpendiculairement sur l'axe des abscisses $(Ox)$ pour trouver $x_M$.
Projetez perpendiculairement sur l'axe des ordonnées $(Oy)$ pour trouver $y_M$.

💡 À retenir : Toujours lire l'axe horizontal d'abord.

kifach n7seb l'ihdatiyat dyal vecteur AB?

Pour calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ avec $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ :

Faites la différence des abscisses : $x_B - x_A$ .
Faites la différence des ordonnées : $y_B - y_A$ .
Écrivez le résultat sous la forme $\vec{AB}(x_B-x_A, y_B-y_A)$ .

💡 À retenir : On commence toujours par le point d'arrivée (B) moins le point de départ (A).

Pour calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ avec $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ :

Faites la différence des abscisses : $x_B - x_A$.
Faites la différence des ordonnées : $y_B - y_A$.
Écrivez le résultat sous la forme $\vec{AB}(x_B-x_A, y_B-y_A)$.

💡 À retenir : On commence toujours par le point d'arrivée (B) moins le point de départ (A).

Est-ce que l'ordre des points dans le calcul de la distance a une importance ?

Non, car $(x_B - x_A)^2$ est égal à $(x_A - x_B)^2$ . Le résultat sera le même.

💡 À retenir : La distance est toujours positive.

Non, car $(x_B - x_A)^2$ est égal à $(x_A - x_B)^2$. Le résultat sera le même.

💡 À retenir : La distance est toujours positive.

chno hiya l'far9 bin l'absisse o l'ordonnée?

L'abscisse est la valeur sur l'axe horizontal (gauche/droite), tandis que l'ordonnée est la valeur sur l'axe vertical (haut/bas).

💡 À retenir : L'abscisse est le premier nombre du couple $(x, y)$ .

L'abscisse est la valeur sur l'axe horizontal (gauche/droite), tandis que l'ordonnée est la valeur sur l'axe vertical (haut/bas).

💡 À retenir : L'abscisse est le premier nombre du couple $(x, y)$.

Comment savoir si un repère est orthonormé ?

Un repère est orthonormé si les deux axes sont perpendiculaires et si l'unité de mesure est la même sur les deux axes.

💡 À retenir : C'est le repère le plus utilisé pour calculer les distances.

kifach n7seb l'milieu dyal wahed l'qit3a?

Pour trouver le milieu $I$ du segment $[AB]$ :

Calculez la moyenne des abscisses : $(x_A + x_B) / 2$ .
Calculez la moyenne des ordonnées : $(y_A + y_B) / 2$ .

💡 À retenir : Le milieu est la moyenne des coordonnées des extrémités.

Pour trouver le milieu $I$ du segment $[AB]$ :

Calculez la moyenne des abscisses : $(x_A + x_B) / 2$.
Calculez la moyenne des ordonnées : $(y_A + y_B) / 2$.

💡 À retenir : Le milieu est la moyenne des coordonnées des extrémités.

Si un point est sur l'axe des ordonnées, que vaut son abscisse ?

Si un point est sur l'axe des ordonnées, son abscisse est toujours égale à 0.

💡 À retenir : Un point sur $(Oy)$ a pour coordonnées $(0, y)$ .

Si un point est sur l'axe des ordonnées, son abscisse est toujours égale à 0.

💡 À retenir : Un point sur $(Oy)$ a pour coordonnées $(0, y)$.

Est-ce que les coordonnées d'un vecteur peuvent être négatives ?

Oui, tout à fait. Les coordonnées d'un vecteur indiquent un déplacement, donc elles peuvent être négatives si le déplacement se fait vers la gauche ou vers le bas.

💡 À retenir : Le signe indique la direction du vecteur.

Comment calculer la distance si l'un des points est l'origine O(0,0) ?

La formule devient $OM = \sqrt{x_M^2 + y_M^2}$ .

💡 À retenir : C'est une simplification directe de la formule de la distance.

La formule devient $OM = \sqrt{x_M^2 + y_M^2}$.

💡 À retenir : C'est une simplification directe de la formule de la distance.

Pourquoi utilise-t-on le carré dans la formule de la distance ?

On utilise le carré pour que le résultat à l'intérieur de la racine soit toujours positif, car on ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif.

💡 À retenir : Le carré annule le signe négatif.

Est-ce que le vecteur vec{AB} est égal au vecteur vec{BA} ?

Non, $\vec{AB} = -\vec{BA}$ . Ils ont la même longueur mais des sens opposés.

💡 À retenir : L'ordre des points change le sens du vecteur.

Non, $\vec{AB} = -\vec{BA}$. Ils ont la même longueur mais des sens opposés.

💡 À retenir : L'ordre des points change le sens du vecteur.

Comment placer un point avec des coordonnées négatives ?

Pour l'abscisse négative, déplacez-vous vers la gauche de l'origine.
Pour l'ordonnée négative, déplacez-vous vers le bas de l'origine.

💡 À retenir : Les nombres négatifs sont toujours à gauche ou en bas.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Dans un repère orthonormé $(O, I, J)$ , on considère les points $A(1, 3)$ et $B(4, 7)$ .

Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ .
Calculer la distance $AB$ .

Exercice 1

Dans un repère orthonormé $(O, I, J)$, on considère les points $A(1, 3)$ et $B(4, 7)$.

Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$.
Calculer la distance $AB$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soient $M(-2, 1)$ et $N(2, 4)$ .

Déterminer les coordonnées du milieu $K$ du segment $[MN]$ .
Calculer la distance $MN$ .

Exercice 2

Soient $M(-2, 1)$ et $N(2, 4)$.

Déterminer les coordonnées du milieu $K$ du segment $[MN]$.
Calculer la distance $MN$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $A(2, 1)$ et $B(5, 5)$ .

Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ .
Soit $C$ un point tel que $\vec{AC} = \vec{AB}$ . Quelles sont les coordonnées de $C$ si $A(2,1)$ ? (Attention : ici $C$ est l'extrémité).
Calculer la distance $AC$ .

Exercice 3

Soit $A(2, 1)$ et $B(5, 5)$.

Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$.
Soit $C$ un point tel que $\vec{AC} = \vec{AB}$. Quelles sont les coordonnées de $C$ si $A(2,1)$ ? (Attention : ici $C$ est l'extrémité).
Calculer la distance $AC$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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