Mathématiques · 2ème Année Collège

الأعداد الحقيقية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : L'ensemble des nombres réels, noté $\mathbb{R}$ , contient tous les nombres rationnels ( $\mathbb{Q}$ ) et les nombres irrationnels (comme $\sqrt{2}$ , $\pi$ ).
Inclusion : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ .
Racine carrée : Pour $a \geq 0$ , $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré est $a$ . $(\sqrt{a})^2 = a$ .
Propriétés : $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ et $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (avec $b > 0$ ).
Valeur absolue : $|a| = a$ si $a \geq 0$ et $|a| = -a$ si $a < 0$ .

Méthodes à maîtriser

Simplifier une expression contenant des racines carrées.
Rendre le dénominateur rationnel : multiplier par le conjugué ou le facteur adéquat.
Utiliser les identités remarquables : $(a+b)^2$ , $(a-b)^2$ et $(a-b)(a+b)$ .

Exemples corrigés

Simplifier $A = \sqrt{18} + \sqrt{8}$ : $A = \sqrt{9 \times 2} + \sqrt{4 \times 2} = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ .
Rendre rationnel $\frac{1}{\sqrt{3}}$ : $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Erreurs fréquentes

Croire que $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (C'est FAUX !).
Oublier que $\sqrt{a^2} = |a|$ (si $a$ est négatif, $\sqrt{a^2} = -a$ ).
Confondre les ensembles de nombres.

L'essentiel du cours

Définition : L'ensemble des nombres réels, noté $\mathbb{R}$, contient tous les nombres rationnels ($\mathbb{Q}$) et les nombres irrationnels (comme $\sqrt{2}$, $\pi$).
Inclusion : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
Racine carrée : Pour $a \geq 0$, $\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré est $a$. $(\sqrt{a})^2 = a$.
Propriétés : $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ et $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (avec $b > 0$).
Valeur absolue : $|a| = a$ si $a \geq 0$ et $|a| = -a$ si $a < 0$.

Méthodes à maîtriser

Simplifier une expression contenant des racines carrées.
Rendre le dénominateur rationnel : multiplier par le conjugué ou le facteur adéquat.
Utiliser les identités remarquables : $(a+b)^2$, $(a-b)^2$ et $(a-b)(a+b)$.

Exemples corrigés

Simplifier $A = \sqrt{18} + \sqrt{8}$ : $A = \sqrt{9 \times 2} + \sqrt{4 \times 2} = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.
Rendre rationnel $\frac{1}{\sqrt{3}}$ : $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Erreurs fréquentes

Croire que $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (C'est FAUX !).
Oublier que $\sqrt{a^2} = |a|$ (si $a$ est négatif, $\sqrt{a^2} = -a$).
Confondre les ensembles de nombres.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 الأعداد الحقيقية

1/4

Quelle est la valeur de $\sqrt{16}$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb sqrt{a^2} ila kan a negative ?

Ila kan $a$ negative, $\sqrt{a^2}$ kat3ti l'opposé dyal $a$ , ya3ni $|a|$ . Par exemple : $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$ .

💡 À retenir : $\sqrt{a^2} = |a|$ .

Ila kan $a$ negative, $\sqrt{a^2}$ kat3ti l'opposé dyal $a$, ya3ni $|a|$. Par exemple : $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$.

💡 À retenir : $\sqrt{a^2} = |a|$.

Est-ce que sqrt{-4} existe ?

Non, dans l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ , la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. La définition impose que le nombre sous la racine soit positif ou nul.

💡 À retenir : Le radicande doit toujours être $\geq 0$ .

Non, dans l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$, la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. La définition impose que le nombre sous la racine soit positif ou nul.

💡 À retenir : Le radicande doit toujours être $\geq 0$.

Est-ce que pi est un nombre rationnel ?

Non, $\pi$ est un nombre irrationnel. On ne peut pas l'écrire sous la forme d'une fraction $\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers.

💡 À retenir : Un nombre irrationnel a une infinité de chiffres après la virgule sans période.

Non, $\pi$ est un nombre irrationnel. On ne peut pas l'écrire sous la forme d'une fraction $\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers.

💡 À retenir : Un nombre irrationnel a une infinité de chiffres après la virgule sans période.

Wach sqrt{a+b} hiya sqrt{a} + sqrt{b} ?

La, hadchi ghalat bzaf. Par exemple : $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ , mais $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ . 5 n'est pas égal à 7.

💡 À retenir : La racine carrée ne se distribue pas sur l'addition.

La, hadchi ghalat bzaf. Par exemple : $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, mais $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$. 5 n'est pas égal à 7.

💡 À retenir : La racine carrée ne se distribue pas sur l'addition.

Comment simplifier frac{2}{sqrt{5}-1} ?

Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué $(\sqrt{5}+1)$ : $\frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{2(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{2(\sqrt{5}+1)}{4} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ .

💡 À retenir : Utiliser l'identité $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ pour éliminer la racine.

Chno hiya l'farq bin mathbb{Q} o mathbb{R} ?

$\mathbb{Q}$ hiya majmo3at l'a3dad l'jadriya (fractions), ama $\mathbb{R}$ hiya majmo3at l'a3dad l'7aqiqiya li katjma3 l'fractions o l'a3dad l'ghayr jadriya b7al $\sqrt{2}$ o $\pi$ .

💡 À retenir : $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ .

$\mathbb{Q}$ hiya majmo3at l'a3dad l'jadriya (fractions), ama $\mathbb{R}$ hiya majmo3at l'a3dad l'7aqiqiya li katjma3 l'fractions o l'a3dad l'ghayr jadriya b7al $\sqrt{2}$ o $\pi$.

💡 À retenir : $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Est-ce que tout nombre réel est positif ?

Non, les nombres réels peuvent être positifs, négatifs ou nuls. L'ensemble $\mathbb{R}$ contient tous les nombres sur la droite graduée.

💡 À retenir : $\mathbb{R} = \mathbb{R}^+ \cup \mathbb{R}^-$ .

Non, les nombres réels peuvent être positifs, négatifs ou nuls. L'ensemble $\mathbb{R}$ contient tous les nombres sur la droite graduée.

💡 À retenir : $\mathbb{R} = \mathbb{R}^+ \cup \mathbb{R}^-$.

Comment comparer sqrt{7} et 2sqrt{2} ?

On élève les deux nombres au carré : $(\sqrt{7})^2 = 7$ $(2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8$
Puisque $7 < 8$ , alors $\sqrt{7} < 2\sqrt{2}$ .

💡 À retenir : Pour comparer deux nombres positifs, on compare leurs carrés.

On élève les deux nombres au carré : $(\sqrt{7})^2 = 7$ $(2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8$
Puisque $7 < 8$, alors $\sqrt{7} < 2\sqrt{2}$.

💡 À retenir : Pour comparer deux nombres positifs, on compare leurs carrés.

Wach sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b} dima s7i7a ?

Oui, had l'qa3ida s7i7a ila kan $a \geq 0$ o $b \geq 0$ .

💡 À retenir : Le produit des racines est la racine du produit.

Oui, had l'qa3ida s7i7a ila kan $a \geq 0$ o $b \geq 0$.

💡 À retenir : Le produit des racines est la racine du produit.

Qu'est-ce qu'un nombre irrationnel ?

C'est un nombre réel qui ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction $\frac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^*$ .

💡 À retenir : Ses décimales ne sont ni finies ni périodiques.

C'est un nombre réel qui ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction $\frac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}^*$.

💡 À retenir : Ses décimales ne sont ni finies ni périodiques.

Est-ce que 0 est un nombre réel ?

Oui, $0$ est un nombre réel. Il appartient à tous les ensembles de nombres ( $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ ).

💡 À retenir : $0 \in \mathbb{R}$ .

Oui, $0$ est un nombre réel. Il appartient à tous les ensembles de nombres ($\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$).

💡 À retenir : $0 \in \mathbb{R}$.

Comment calculer |-3,5| ?

La valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé positif. $|-3,5| = 3,5$ .

💡 À retenir : La valeur absolue est toujours positive.

La valeur absolue d'un nombre négatif est son opposé positif. $|-3,5| = 3,5$.

💡 À retenir : La valeur absolue est toujours positive.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer et simplifier : $A = \sqrt{20} - 2\sqrt{45} + 3\sqrt{80}$ .

Exercice 1

Calculer et simplifier : $A = \sqrt{20} - 2\sqrt{45} + 3\sqrt{80}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Rendre le dénominateur rationnel : $B = \frac{3}{\sqrt{7} + 2}$ .

Exercice 2

Rendre le dénominateur rationnel : $B = \frac{3}{\sqrt{7} + 2}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Développer et simplifier : $C = (2\sqrt{3} - 1)^2$ .

Exercice 3

Développer et simplifier : $C = (2\sqrt{3} - 1)^2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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