Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences et Technologies Électriques
Le barycentre dans le plan
Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Soient $A$ et $B$ deux points du plan et $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tels que $\alpha + \beta \neq 0$. Le barycentre $G$ du système ${(A, \alpha), (B, \beta)}$ est l'unique point vérifiant :
$$\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$$
Pour trois points, $G$ est le barycentre de ${(A, \alpha), (B, \beta), (C, \gamma)}$ si $\alpha + \beta + \gamma \neq 0$ et :
$$\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} + \gamma \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$
Les coordonnées de $G(x_G, y_G)$ sont : $x_G = \frac{\alpha x_A + \beta x_B + \gamma x_C}{\alpha + \beta + \gamma}$ et $y_G = \frac{\alpha y_A + \beta y_B + \gamma y_C}{\alpha + \beta + \gamma}$.
Méthodes à maîtriser
Construction géométrique : Utiliser la relation $\overrightarrow{AG} = \frac{\beta}{\alpha+\beta} \overrightarrow{AB}$.
Calcul de coordonnées : Appliquer directement les formules analytiques.
Associativité : Remplacer deux points par leur barycentre partiel pour simplifier un système à 3 points.
Alignement : Montrer que $G$ est le barycentre de $A$ et $B$ pour prouver que $A, B, G$ sont alignés.
Exemples corrigés
Exemple 1 : $G$ barycentre de ${(A, 1), (B, 3)}$.
$\overrightarrow{AG} = \frac{3}{1+3} \overrightarrow{AB} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AB}$. On place $G$ aux $3/4$ du segment $[AB]$.
Exemple 2 : Coordonnées de $G$ avec $A(1, 2)$ et $B(3, 0)$ et poids respectifs $1$ et $1$.
$x_G = \frac{1(1)+1(3)}{2} = 2$ ; $y_G = \frac{1(2)+1(0)}{2} = 1$. Donc $G(2, 1)$.
Erreurs fréquentes
Oublier la condition $\sum \alpha_i \neq 0$.
Confondre $\overrightarrow{GA}$ et $\overrightarrow{AG}$ dans la formule.
Croire que le barycentre dépend du repère (il est indépendant).
Ne pas simplifier les coefficients (ex: utiliser $2$ et $4$ au lieu de $1$ et $2$).
🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR
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Oui, tant que la somme des poids n'est pas nulle. Cela arrive souvent pour définir des points à l'extérieur d'un segment.
💡 À retenir : Les calculs restent identiques, fais juste attention aux signes.
Est-ce que le barycentre est unique ?
Oui, dans le plan, pour un système pondéré donné, il existe un et un seul point $G$ qui vérifie la relation vectorielle.
💡 À retenir : L'unicité est garantie par la non-nullité de la somme des poids.
Est-ce que le barycentre peut être confondu avec un des points ?
Oui, si l'un des poids est nul ou si le système est réduit à un seul point. Par exemple, le barycentre de ${(A, 1), (B, 0)}$ est le point $A$.
💡 À retenir : Le barycentre est le point $A$ lui-même.
Est-ce que le barycentre change si je multiplie les poids par un même nombre ?
Non, le barycentre reste le même. Si tu multiplies tous les coefficients $\alpha, \beta, \gamma$ par un réel non nul $k$, le point $G$ ne change pas. C'est la propriété d'homogénéité.
💡 À retenir : Le barycentre de ${(A, \alpha), (B, \beta)}$ est le même que celui de ${(A, k\alpha), (B, k\beta)}$.
Kifach n7seb l'barycentre ila kano 3andi 3 dyal niqat?
Pour 3 points $A, B, C$ avec des poids $\alpha, \beta, \gamma$, tu utilises la formule : $\overrightarrow{OG} = \frac{\alpha \overrightarrow{OA} + \beta \overrightarrow{OB} + \gamma \overrightarrow{OC}}{\alpha + \beta + \gamma}$.
Calcule la somme des poids $S = \alpha + \beta + \gamma$.
💡 À retenir : La somme des poids doit toujours être différente de zéro.
Chno hiya l'associativité f l'barycentre?
L'associativité permet de simplifier un système de 3 points en remplaçant deux d'entre eux par leur barycentre partiel.
Si $G$ est le barycentre de ${(A, \alpha), (B, \beta), (C, \gamma)}$.
Soit $I$ le barycentre de ${(A, \alpha), (B, \beta)}$.
Alors $G$ est le barycentre de ${(I, \alpha+\beta), (C, \gamma)}$.
💡 À retenir : Ça aide beaucoup pour construire le point $G$ géométriquement.
Est-ce que le barycentre est toujours à l'intérieur du segment ?
Si les poids $\alpha$ et $\beta$ sont de même signe, le barycentre est à l'intérieur du segment $[AB]$. S'ils sont de signes opposés, il est à l'extérieur.
💡 À retenir : Le barycentre est "attiré" vers le point qui a le poids le plus grand.
Kifach n'biyen bli 3 niqat mstaqmiya?
Pour montrer que $A, B, C$ sont alignés, il suffit de montrer que l'un des points est le barycentre des deux autres.
Cherche des réels $\alpha, \beta$ tels que $C$ soit le barycentre de ${(A, \alpha), (B, \beta)}$.
Cela implique $\alpha \overrightarrow{CA} + \beta \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0}$, donc les vecteurs sont colinéaires.
💡 À retenir : Si $C = bar{(A, \alpha), (B, \beta)}$, alors $A, B, C$ sont alignés.
Que faire si la somme des poids est nulle ?
Si $\alpha + \beta = 0$, le système n'a pas de barycentre. Il n'existe aucun point $G$ tel que $\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$.
💡 À retenir : La somme des poids doit être non nulle pour que le barycentre existe.
Est-ce que le barycentre dépend du choix de l'origine du repère ?
Non, la définition du barycentre est purement géométrique et vectorielle. Le point $G$ est unique dans le plan, peu importe le repère choisi.
💡 À retenir : Le repère sert seulement à faciliter les calculs des coordonnées.
Comment trouver le barycentre de 4 points ?
Tu peux utiliser l'associativité. Tu regroupes les points deux par deux pour trouver deux barycentres partiels, puis tu cherches le barycentre de ces deux nouveaux points.
💡 À retenir : La méthode reste la même : $\sum \alpha_i \overrightarrow{G M_i} = \overrightarrow{0}$.
Est-ce que l'isobarycentre est le milieu ?
Oui, pour deux points, l'isobarycentre (poids égaux) est le milieu du segment. Pour trois points, c'est le centre de gravité du triangle.
💡 À retenir : Isobarycentre = poids tous égaux.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soient $A$ et $B$ deux points du plan tels que $AB = 6$ cm.
Construire le point $G$ barycentre de ${(A, 1), (B, 2)}$.
Soit $C$ un point n'appartenant pas à la droite $(AB)$. Construire le point $K$ barycentre de ${(A, 1), (B, 2), (C, 3)}$.
Soient A et B deux points du plan et α,β∈R tels que α+β=0. Le barycentre G du système {(A,α),(B,β)} est l'unique point vérifiant :
αGA+βGB=0
Pour trois points, G est le barycentre de {(A,α),(B,β),(C,γ)} si α+β+γ=0 et :
αGA+βGB+γGC=0
Les coordonnées de G(xG,yG) sont : xG=α+β+γαxA+βxB+γxC et yG=α+β+γαyA+βyB+γyC.
Méthodes à maîtriser
Construction géométrique : Utiliser la relation AG=α+ββAB.
Calcul de coordonnées : Appliquer directement les formules analytiques.
Associativité : Remplacer deux points par leur barycentre partiel pour simplifier un système à 3 points.
Alignement : Montrer que G est le barycentre de A et B pour prouver que A,B,G sont alignés.
Exemples corrigés
Exemple 1 : G barycentre de {(A,1),(B,3)}.
AG=1+33AB=43AB. On place G aux 3/4 du segment [AB].
Exemple 2 : Coordonnées de G avec A(1,2) et B(3,0) et poids respectifs 1 et 1.
xG=21(1)+1(3)=2 ; yG=21(2)+1(0)=1. Donc G(2,1).
Erreurs fréquentes
Oublier la condition ∑αi=0.
Confondre GA et AG dans la formule.
Croire que le barycentre dépend du repère (il est indépendant).
Ne pas simplifier les coefficients (ex: utiliser 2 et 4 au lieu de 1 et 2).
Le barycentre de {(A,1),(B,1)} est :
Oui, dans le plan, pour un système pondéré donné, il existe un et un seul point G qui vérifie la relation vectorielle.
💡 À retenir : L'unicité est garantie par la non-nullité de la somme des poids.
Oui, si l'un des poids est nul ou si le système est réduit à un seul point. Par exemple, le barycentre de {(A,1),(B,0)} est le point A.
💡 À retenir : Le barycentre est le point A lui-même.
Non, le barycentre reste le même. Si tu multiplies tous les coefficients α,β,γ par un réel non nul k, le point G ne change pas. C'est la propriété d'homogénéité.
💡 À retenir : Le barycentre de {(A,α),(B,β)} est le même que celui de {(A,kα),(B,kβ)}.
Pour 3 points A,B,C avec des poids α,β,γ, tu utilises la formule : OG=α+β+γαOA+βOB+γOC.
Calcule la somme des poids S=α+β+γ.
Calcule xG=(αxA+βxB+γxC)/S.
Calcule yG=(αyA+βyB+γyC)/S.
💡 À retenir : La somme des poids doit toujours être différente de zéro.
L'associativité permet de simplifier un système de 3 points en remplaçant deux d'entre eux par leur barycentre partiel.
Si G est le barycentre de {(A,α),(B,β),(C,γ)}.
Soit I le barycentre de {(A,α),(B,β)}.
Alors G est le barycentre de {(I,α+β),(C,γ)}.
💡 À retenir : Ça aide beaucoup pour construire le point G géométriquement.
Si les poids α et β sont de même signe, le barycentre est à l'intérieur du segment [AB]. S'ils sont de signes opposés, il est à l'extérieur.
💡 À retenir : Le barycentre est "attiré" vers le point qui a le poids le plus grand.
Pour montrer que A,B,C sont alignés, il suffit de montrer que l'un des points est le barycentre des deux autres.
Cherche des réels α,β tels que C soit le barycentre de {(A,α),(B,β)}.
Cela implique αCA+βCB=0, donc les vecteurs sont colinéaires.
💡 À retenir : Si C=bar{(A,α),(B,β)}, alors A,B,C sont alignés.
Si α+β=0, le système n'a pas de barycentre. Il n'existe aucun point G tel que αGA+βGB=0.
💡 À retenir : La somme des poids doit être non nulle pour que le barycentre existe.
Non, la définition du barycentre est purement géométrique et vectorielle. Le point G est unique dans le plan, peu importe le repère choisi.
💡 À retenir : Le repère sert seulement à faciliter les calculs des coordonnées.
Tu peux utiliser l'associativité. Tu regroupes les points deux par deux pour trouver deux barycentres partiels, puis tu cherches le barycentre de ces deux nouveaux points.
💡 À retenir : La méthode reste la même : ∑αiGMi=0.
Exercice 1
Soient A et B deux points du plan tels que AB=6 cm.
Construire le point G barycentre de {(A,1),(B,2)}.
Soit C un point n'appartenant pas à la droite (AB). Construire le point K barycentre de {(A,1),(B,2),(C,3)}.
Exercice 2
Dans un repère orthonormé (O,i,j), on considère A(1,2), B(3,0) et C(−1,4).
Déterminer les coordonnées du barycentre G du système {(A,1),(B,1),(C,2)}.
Montrer que G appartient à la droite (AC).
Exercice 3
Soit ABC un triangle. Soit G le barycentre de {(A,1),(B,1),(C,1)}.
Exprimer AG en fonction de AB et AC.
Soit M un point quelconque du plan. Montrer que MA+MB+MC=3MG.