Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

Logique mathématique

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une proposition $P$ est une phrase mathématique qui est soit vraie, soit fausse.
La négation de $P$ est notée $\overline{P}$ .
$P \implies Q$ est fausse seulement si $P$ est vraie et $Q$ est fausse.
$P \iff Q$ est vraie si $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité.
Quantificateurs : $\forall$ (quel que soit) et $\exists$ (il existe).
Raisonnement par récurrence : 1) Initialisation, 2) Hérédité, 3) Conclusion.

Méthodes à maîtriser

Nier une proposition : $\forall$ devient $\exists$ , $\exists$ devient $\forall$ , $\implies$ devient $\land$ (et), $\land$ devient $\lor$ (ou).
Raisonnement par l'absurde : Supposer que la proposition est fausse et aboutir à une contradiction.
Raisonnement par contre-exemple : Pour montrer qu'une proposition $\forall x \in E, P(x)$ est fausse, il suffit de trouver un $x_0 \in E$ tel que $P(x_0)$ est fausse.

Exemples corrigés

Négation de $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 > 0$ est $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 \leq 0$ .
Montrer que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ par l'absurde : supposer $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ avec $p \land q = 1$ , on arrive à $p^2 = 2q^2$ , donc $p$ est pair, contradiction.

Erreurs fréquentes

Oublier d'inverser les quantificateurs lors de la négation.
Dans la récurrence, oublier l'étape d'initialisation.
Confondre condition nécessaire et suffisante.

L'essentiel du cours

Une proposition $P$ est une phrase mathématique qui est soit vraie, soit fausse.
La négation de $P$ est notée $\overline{P}$.
$P \implies Q$ est fausse seulement si $P$ est vraie et $Q$ est fausse.
$P \iff Q$ est vraie si $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité.
Quantificateurs : $\forall$ (quel que soit) et $\exists$ (il existe).
Raisonnement par récurrence : 1) Initialisation, 2) Hérédité, 3) Conclusion.

Méthodes à maîtriser

Nier une proposition : $\forall$ devient $\exists$, $\exists$ devient $\forall$, $\implies$ devient $\land$ (et), $\land$ devient $\lor$ (ou).
Raisonnement par l'absurde : Supposer que la proposition est fausse et aboutir à une contradiction.
Raisonnement par contre-exemple : Pour montrer qu'une proposition $\forall x \in E, P(x)$ est fausse, il suffit de trouver un $x_0 \in E$ tel que $P(x_0)$ est fausse.

Exemples corrigés

Négation de $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 > 0$ est $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 \leq 0$.
Montrer que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ par l'absurde : supposer $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ avec $p \land q = 1$, on arrive à $p^2 = 2q^2$, donc $p$ est pair, contradiction.

Erreurs fréquentes

Oublier d'inverser les quantificateurs lors de la négation.
Dans la récurrence, oublier l'étape d'initialisation.
Confondre condition nécessaire et suffisante.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Logique mathématique

1/4

La négation de $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 2$ est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre "et" et "ou" en logique ?

La conjonction ( $P \land Q$ ) est vraie seulement si $P$ et $Q$ sont toutes les deux vraies.
La disjonction ( $P \lor Q$ ) est vraie si au moins l'une des deux est vraie.

💡 À retenir : "Et" est exigeant (tout doit être vrai), "Ou" est plus souple.

La conjonction ($P \land Q$) est vraie seulement si $P$ et $Q$ sont toutes les deux vraies.
La disjonction ($P \lor Q$) est vraie si au moins l'une des deux est vraie.

💡 À retenir : "Et" est exigeant (tout doit être vrai), "Ou" est plus souple.

Kifach n3ref wach nsta3mel l'absurde wla l'recurrence ?

L'absurde : quand tu veux montrer qu'un nombre n'est pas rationnel ou qu'une égalité est impossible.
Récurrence : quand tu as une propriété qui dépend d'un entier naturel $n$ (ex: $u_n$ , somme, divisibilité).

💡 À retenir : Récurrence = $n \in \mathbb{N}$ , Absurde = impossibilité.

L'absurde : quand tu veux montrer qu'un nombre n'est pas rationnel ou qu'une égalité est impossible.
Récurrence : quand tu as une propriété qui dépend d'un entier naturel $n$ (ex: $u_n$, somme, divisibilité).

💡 À retenir : Récurrence = $n \in \mathbb{N}$, Absurde = impossibilité.

Est-ce que la négation de x 5 est x < 5 ?

Non, c'est $x \leq 5$ . Il ne faut jamais oublier le cas de l'égalité.

💡 À retenir : La négation de $>$ est $\leq$ , et la négation de $<$ est $\geq$ .

Non, c'est $x \leq 5$. Il ne faut jamais oublier le cas de l'égalité.

💡 À retenir : La négation de $>$ est $\leq$, et la négation de $<$ est $\geq$.

Chno hiya l'implication P implies Q ?

C'est une condition : si $P$ est vraie, alors $Q$ doit obligatoirement être vraie. Si $P$ est fausse, on ne peut rien dire sur $Q$ .

💡 À retenir : $P \implies Q$ est équivalent à $(\text{non } P) \lor Q$ .

C'est une condition : si $P$ est vraie, alors $Q$ doit obligatoirement être vraie. Si $P$ est fausse, on ne peut rien dire sur $Q$.

💡 À retenir : $P \implies Q$ est équivalent à $(\text{non } P) \lor Q$.

Comment nier forall x in mathbb{R}, x^2 geq 0 ?

On change $\forall$ en $\exists$ .
On nie la condition $x^2 \geq 0$ .
Résultat : $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 0$ .

💡 À retenir : La négation inverse tout : quantificateurs et inégalités.

On change $\forall$ en $\exists$.
On nie la condition $x^2 \geq 0$.
Résultat : $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 0$.

💡 À retenir : La négation inverse tout : quantificateurs et inégalités.

Kifach nbyen bli wa7d l'ibara s7i7a b l'recurrence ?

Initialisation : Vérifie pour le plus petit entier (souvent $n=0$ ou $n=1$ ).
Hérédité : Suppose que c'est vrai pour $n$ , montre que c'est vrai pour $n+1$ .
Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n$ .

💡 À retenir : Ne saute jamais l'étape de l'initialisation.

Initialisation : Vérifie pour le plus petit entier (souvent $n=0$ ou $n=1$).
Hérédité : Suppose que c'est vrai pour $n$, montre que c'est vrai pour $n+1$.
Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n$.

💡 À retenir : Ne saute jamais l'étape de l'initialisation.

Est-ce que P implies Q est la même chose que Q implies P ?

Non, c'est faux. $Q \implies P$ est la réciproque, elle n'est pas forcément vraie.

💡 À retenir : L'implication n'est pas symétrique.

Non, c'est faux. $Q \implies P$ est la réciproque, elle n'est pas forcément vraie.

💡 À retenir : L'implication n'est pas symétrique.

C'est quoi un contre-exemple ?

C'est une valeur précise qui prouve qu'une règle générale est fausse. Si tu dis "tous les nombres sont pairs", je te donne 3, c'est un contre-exemple.

💡 À retenir : Un seul contre-exemple suffit pour invalider une proposition universelle.

Est-ce que P iff Q veut dire P implies Q et Q implies P ?

Oui, exactement. C'est la définition de l'équivalence logique.

💡 À retenir : L'équivalence est une double implication.

Chno l'farq bin l'implication w l'equivalence ?

L'implication va dans un seul sens ( $P$ donne $Q$ ), alors que l'équivalence va dans les deux sens ( $P$ donne $Q$ et $Q$ donne $P$ ).

💡 À retenir : L'équivalence est un "si et seulement si".

L'implication va dans un seul sens ($P$ donne $Q$), alors que l'équivalence va dans les deux sens ($P$ donne $Q$ et $Q$ donne $P$).

💡 À retenir : L'équivalence est un "si et seulement si".

Comment nier P land Q ?

La négation est $(\text{non } P) \lor (\text{non } Q)$ . C'est la loi de De Morgan.

💡 À retenir : Le "et" devient "ou" lors de la négation.

La négation est $(\text{non } P) \lor (\text{non } Q)$. C'est la loi de De Morgan.

💡 À retenir : Le "et" devient "ou" lors de la négation.

Est-ce que je peux utiliser un contre-exemple pour prouver qu'une proposition est vraie ?

Non, jamais ! Le contre-exemple sert uniquement à prouver qu'une proposition est fausse.

💡 À retenir : Pour prouver le vrai, il faut une démonstration générale.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $1 + 3 + 5 + \dots + (2n+1) = (n+1)^2$ .

Exercice 1

Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $1 + 3 + 5 + \dots + (2n+1) = (n+1)^2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \geq 2|x|$ .

Exercice 2

Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \geq 2|x|$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Montrer par l'absurde que si $x \neq 1$ et $y \neq 1$ , alors $x+y-xy \neq 1$ .

Exercice 3

Montrer par l'absurde que si $x \neq 1$ et $y \neq 1$, alors $x+y-xy \neq 1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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