Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

Dénombrement

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le dénombrement consiste à compter le nombre d'éléments dans un ensemble fini ou le nombre de réalisations possibles d'une expérience.

1. Principe multiplicatif (Principe du produit) : Si une opération peut être effectuée de $n$ manières et une deuxième opération de $p$ manières, alors les deux opérations successives peuvent être effectuées de $n \times p$ manières.

2. La Factorielle : Pour tout entier naturel $n \geq 0$ , on note $n!$ le produit de tous les entiers de $1$ à $n$ . $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$ Par convention : $0! = 1$ .

3. La Permutation : Le nombre de façons de disposer $n$ objets distincts en ligne est : $P_n = n!$

4. L'Arrangement : Le nombre de façons de choisir et d'ordonner $p$ éléments parmi $n$ éléments distincts (sans répétition) est : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!} \quad (\text{avec } p \leq n)$

5. La Combinaison : Le nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ éléments distincts (sans ordre et sans répétition) est : $C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!} \quad (\text{avec } p \leq n)$

Méthodes à maîtriser

Pour résoudre un problème de dénombrement, pose-toi toujours ces deux questions :

L'ordre est-il important ?
- OUI $\rightarrow$ Arrangement ou Permutation.
- NON $\rightarrow$ Combinaison.
Y a-t-il répétition ?
- NON $\rightarrow$ Utiliser les formules $A_n^p$ ou $C_n^p$ .
- OUI $\rightarrow$ Utiliser le principe multiplicatif ( $n^p$ ).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Combien de mots de 3 lettres peut-on former avec les lettres $\{A, B, C, D, E\}$ sans répétition ? Solution :

On choisit 3 lettres parmi 5.
L'ordre des lettres compte (un mot est un ordre).
Pas de répétition. C'est un arrangement : $A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$ .

Exemple 2 : Un comité de 3 personnes doit être formé parmi 10 élèves. Combien de comités possibles ? Solution :

On choisit 3 personnes parmi 10.
L'ordre n'importe pas (un comité est un groupe).
Pas de répétition. C'est une combinaison : $C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : L'erreur classique est d'utiliser l'arrangement quand l'ordre n'a aucune importance (ex: un groupe, un échantillon).
Se tromper dans le calcul de la factorielle : Rappelle-toi que $0! = 1$ et non $0$ .
Oublier de vérifier si $p \leq n$ .

L'essentiel du cours

Le dénombrement consiste à compter le nombre d'éléments dans un ensemble fini ou le nombre de réalisations possibles d'une expérience.

2. La Factorielle : Pour tout entier naturel $n \geq 0$, on note $n!$ le produit de tous les entiers de $1$ à $n$. $$n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$$ Par convention : $0! = 1$.

3. La Permutation : Le nombre de façons de disposer $n$ objets distincts en ligne est : $$P_n = n!$$

4. L'Arrangement : Le nombre de façons de choisir et d'ordonner $p$ éléments parmi $n$ éléments distincts (sans répétition) est : $$A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!} \quad (\text{avec } p \leq n)$$

5. La Combinaison : Le nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ éléments distincts (sans ordre et sans répétition) est : $$C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!} \quad (\text{avec } p \leq n)$$

Méthodes à maîtriser

Pour résoudre un problème de dénombrement, pose-toi toujours ces deux questions :

L'ordre est-il important ?
- OUI $\rightarrow$ Arrangement ou Permutation.
- NON $\rightarrow$ Combinaison.
Y a-t-il répétition ?
- NON $\rightarrow$ Utiliser les formules $A_n^p$ ou $C_n^p$.
- OUI $\rightarrow$ Utiliser le principe multiplicatif ($n^p$).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Combien de mots de 3 lettres peut-on former avec les lettres ${A, B, C, D, E}$ sans répétition ? Solution :

On choisit 3 lettres parmi 5.
L'ordre des lettres compte (un mot est un ordre).
Pas de répétition. C'est un arrangement : $A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Exemple 2 : Un comité de 3 personnes doit être formé parmi 10 élèves. Combien de comités possibles ? Solution :

On choisit 3 personnes parmi 10.
L'ordre n'importe pas (un comité est un groupe).
Pas de répétition. C'est une combinaison : $C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : L'erreur classique est d'utiliser l'arrangement quand l'ordre n'a aucune importance (ex: un groupe, un échantillon).
Se tromper dans le calcul de la factorielle : Rappelle-toi que $0! = 1$ et non $0$.
Oublier de vérifier si $p \leq n$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Dénombrement

1/4

Quelle est la valeur de $4!$ ?

❓ Questions fréquentes

Que signifie le symbole binom{n}{p} ?

C'est la notation mathématique pour les combinaisons. Elle se lit " $n$ parmi $p$ " (ou plus précisément $p$ parmi $n$ selon les pays, mais en maths on dit $p$ parmi $n$ éléments de l'ensemble $n$ ). Elle est strictement égale à $C_n^p$ .

💡 À retenir : $\binom{n}{p} = C_n^p$ .

💡 À retenir : $\binom{n}{p} = C_n^p$.

Comment dénombrer les arrangements avec répétition ?

Si on choisit $p$ éléments parmi $n$ avec répétition autorisée, chaque choix a $n$ possibilités. Par le principe multiplicatif : $n \times n \times \dots \times n$ ( $p$ fois). La formule est : $n^p$ .

💡 À retenir : Répétition autorisée $\rightarrow$ puissance ( $n^p$ ).

💡 À retenir : Répétition autorisée $\rightarrow$ puissance ($n^p$).

Chno lfarq bin arrangement o combinaison?

La différence principale est l'ordre :

Dans un arrangement, l'ordre des éléments compte. Par exemple, choisir (A, B) est différent de (B, A). On l'utilise pour des podiums, des codes, ou des mots.
Dans une combinaison, l'ordre ne compte pas. Choisir (A, B) est la même chose que (B, A). On l'utilise pour former des groupes, des comités ou des mains de cartes.

💡 À retenir : Ordre important = Arrangement ; Ordre inutile = Combinaison.

Kifach n7seb factorielle dyal chi 3adad?

Pour calculer $n!$ , tu multiplies tous les nombres entiers de $1$ jusqu'à $n$ . Exemple pour $4!$ :

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$4! = 24$ Si $n=0$ , alors $0! = 1$ par convention mathématique.

💡 À retenir : $n!$ est une multiplication décroissante jusqu'à 1.

Pour calculer $n!$, tu multiplies tous les nombres entiers de $1$ jusqu'à $n$. Exemple pour $4!$ :

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$4! = 24$ Si $n=0$, alors $0! = 1$ par convention mathématique.

💡 À retenir : $n!$ est une multiplication décroissante jusqu'à 1.

Imta kandiro n! f l'exercice?

On utilise $n!$ (la permutation) quand on veut ranger tous les éléments d'un ensemble. Exemple : De combien de façons peut-on placer 5 élèves sur 5 chaises ? Ici, on utilise tous les éléments ( $n=5$ ) et on les ordonne : $5! = 120$ .

💡 À retenir : $n!$ est utilisé quand on utilise la totalité des objets disponibles.

Quelle est la différence entre un tirage avec remise et un tirage sans remise ?

Tirage avec remise : Après avoir choisi un élément, on le remet dans l'ensemble. L'élément peut être choisi plusieurs fois. On utilise le principe multiplicatif ( $n^p$ ).
Tirage sans remise : Une fois l'élément choisi, on ne le remet pas. On ne peut pas choisir le même élément deux fois. On utilise les arrangements ( $A_n^p$ ) ou les combinaisons ( $C_n^p$ ).

💡 À retenir : Avec remise $\rightarrow$ répétition possible ; Sans remise $\rightarrow$ pas de répétition.

Tirage avec remise : Après avoir choisi un élément, on le remet dans l'ensemble. L'élément peut être choisi plusieurs fois. On utilise le principe multiplicatif ($n^p$).
Tirage sans remise : Une fois l'élément choisi, on ne le remet pas. On ne peut pas choisir le même élément deux fois. On utilise les arrangements ($A_n^p$) ou les combinaisons ($C_n^p$).

💡 À retenir : Avec remise $\rightarrow$ répétition possible ; Sans remise $\rightarrow$ pas de répétition.

Comment savoir si je dois utiliser An^p ou Cn^p ?

Pose-toi la question : "Si j'inverse l'ordre de mes résultats, est-ce que cela change la situation ?"

Si OUI (ex: un président et un secrétaire) $\rightarrow$ $A_n^p$ .
Si NON (ex: deux délégués de classe) $\rightarrow$ $C_n^p$ .

💡 À retenir : Teste l'inversion de l'ordre pour décider.

Pose-toi la question : "Si j'inverse l'ordre de mes résultats, est-ce que cela change la situation ?"

Si OUI (ex: un président et un secrétaire) $\rightarrow$ $A_n^p$.
Si NON (ex: deux délégués de classe) $\rightarrow$ $C_n^p$.

💡 À retenir : Teste l'inversion de l'ordre pour décider.

Est-ce que p peut être plus grand que n ?

Non, dans les formules $A_n^p$ et $C_n^p$ , on doit toujours avoir $p \leq n$ . On ne peut pas choisir 10 personnes parmi un groupe de 5 personnes. Si on te pose une telle question, le résultat est mathématiquement nul (0 possibilité).

💡 À retenir : $p \leq n$ est une condition obligatoire.

Non, dans les formules $A_n^p$ et $C_n^p$, on doit toujours avoir $p \leq n$. On ne peut pas choisir 10 personnes parmi un groupe de 5 personnes. Si on te pose une telle question, le résultat est mathématiquement nul (0 possibilité).

💡 À retenir : $p \leq n$ est une condition obligatoire.

Comment calculer C5^2 rapidement ?

Écris le produit de 2 nombres décroissants à partir de 5 : $5 \times 4$ .
Divise par la factorielle de l'indice du bas ( $2!$ ) : $2 \times 1$ .
Calcul : $\frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$ .

💡 À retenir : $C_n^p = \frac{\text{Produit de } p \text{ termes à partir de } n}{p!}$ .

Écris le produit de 2 nombres décroissants à partir de 5 : $5 \times 4$.
Divise par la factorielle de l'indice du bas ($2!$) : $2 \times 1$.
Calcul : $\frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$.

💡 À retenir : $C_n^p = \frac{\text{Produit de } p \text{ termes à partir de } n}{p!}$.

Comment traiter un problème avec une contrainte (ex: "doit contenir l'élément X") ?

Fixe l'élément obligatoire (X).
Calcule le nombre de façons de choisir les éléments restants.
Si on doit choisir $p$ éléments au total et que X est déjà pris, il reste à choisir $p-1$ éléments parmi $n-1$ .

💡 À retenir : Isole l'élément imposé et recalcule le reste.

Fixe l'élément obligatoire (X).
Calcule le nombre de façons de choisir les éléments restants.
Si on doit choisir $p$ éléments au total et que X est déjà pris, il reste à choisir $p-1$ éléments parmi $n-1$.

💡 À retenir : Isole l'élément imposé et recalcule le reste.

Quelle est la valeur de Cn^n et Cn^0 ?

$C_n^n = 1$ : Il n'y a qu'une seule façon de choisir tout le groupe.
$C_n^0 = 1$ : Il n'y a qu'une seule façon de ne rien choisir (l'ensemble vide).

💡 À retenir : $C_n^n = 1$ et $C_n^0 = 1$ .

$C_n^n = 1$ : Il n'y a qu'une seule façon de choisir tout le groupe.
$C_n^0 = 1$ : Il n'y a qu'une seule façon de ne rien choisir (l'ensemble vide).

💡 À retenir : $C_n^n = 1$ et $C_n^0 = 1$.

Est-ce que An^p est toujours plus grand que Cn^p ?

Oui (pour $p > 1$ ), car $A_n^p = C_n^p \times p!$ . Comme $p! > 1$ , l'arrangement est plus grand car il compte les ordres différents pour chaque groupe de $p$ éléments.

💡 À retenir : $A_n^p = p! \times C_n^p$ .

Oui (pour $p > 1$), car $A_n^p = C_n^p \times p!$. Comme $p! > 1$, l'arrangement est plus grand car il compte les ordres différents pour chaque groupe de $p$ éléments.

💡 À retenir : $A_n^p = p! \times C_n^p$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : On considère l'ensemble des lettres du mot "MATHS".

Combien de mots de 5 lettres peut-on former en utilisant toutes les lettres ?
Combien de mots de 3 lettres peut-on former sans répétition ?

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Un club de sport est composé de 8 hommes et 6 femmes. On veut former un comité de 4 personnes.

Combien de comités peut-on former au total ?
Combien de comités peut-on former contenant exactement 2 hommes et 2 femmes ?

Exercice 3 (Niveau Difficile) : Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. On tire simultanément 3 boules.

Combien de tirages est-il possible ?
Quel est le nombre de tirages où les trois boules portent des numéros pairs ?
Quel est le nombre de tirages où au moins une boule porte un numéro impair ?

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