Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

Étude de fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Pour étudier une fonction $f$ , on suit ces étapes :

Domaine de définition $D_f$ : Ensemble des $x$ tels que $f(x)$ existe.
Parité : Si $f(-x) = f(x)$ , $f$ est paire (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées). Si $f(-x) = -f(x)$ , $f$ est impaire (symétrie par rapport à l'origine).
Limites aux bornes : Calcul des limites aux bornes de $D_f$ pour trouver les asymptotes.
Dérivée $f'$ : Étudier le signe de $f'(x)$ pour déterminer la monotonie.
Tableau de variations : Synthèse des variations et des extremums.
Concavité : Étudiée via le signe de $f''(x)$ (si $f$ est deux fois dérivable).

Méthodes à maîtriser

Recherche d'asymptotes : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ , alors $x=a$ est asymptote verticale. Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = b$ , alors $y=b$ est asymptote horizontale.
Étude de la position relative : Pour savoir si la courbe est au-dessus ou en dessous d'une droite $y=ax+b$ , on étudie le signe de $f(x) - (ax+b)$ .
Tracé de la courbe : Placer les points particuliers, les tangentes horizontales ( $f'(x)=0$ ) et les asymptotes avant de tracer.

Exemples corrigés

Exemple : $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

$D_f = \mathbb{R}$ .
$f'(x) = 2x - 4$ . $f'(x) = 0 \iff x = 2$ .
$f$ est décroissante sur $]-\infty, 2]$ et croissante sur $[2, +\infty[$ .
Minimum en $x=2$ est $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de définition avant de dériver.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec le signe de $f(x)$ .
Mal interpréter les limites : dire qu'une limite est $0$ alors qu'elle est $\infty$ .
Ne pas vérifier si le point d'inflexion change réellement de signe pour $f''(x)$ .

L'essentiel du cours

Pour étudier une fonction $f$, on suit ces étapes :

Domaine de définition $D_f$ : Ensemble des $x$ tels que $f(x)$ existe.
Parité : Si $f(-x) = f(x)$, $f$ est paire (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées). Si $f(-x) = -f(x)$, $f$ est impaire (symétrie par rapport à l'origine).
Limites aux bornes : Calcul des limites aux bornes de $D_f$ pour trouver les asymptotes.
Dérivée $f'$ : Étudier le signe de $f'(x)$ pour déterminer la monotonie.
Tableau de variations : Synthèse des variations et des extremums.
Concavité : Étudiée via le signe de $f''(x)$ (si $f$ est deux fois dérivable).

Méthodes à maîtriser

Recherche d'asymptotes : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$, alors $x=a$ est asymptote verticale. Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = b$, alors $y=b$ est asymptote horizontale.
Étude de la position relative : Pour savoir si la courbe est au-dessus ou en dessous d'une droite $y=ax+b$, on étudie le signe de $f(x) - (ax+b)$.
Tracé de la courbe : Placer les points particuliers, les tangentes horizontales ($f'(x)=0$) et les asymptotes avant de tracer.

Exemples corrigés

Exemple : $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

$D_f = \mathbb{R}$.
$f'(x) = 2x - 4$. $f'(x) = 0 \iff x = 2$.
$f$ est décroissante sur $]-\infty, 2]$ et croissante sur $[2, +\infty[$.
Minimum en $x=2$ est $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de définition avant de dériver.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec le signe de $f(x)$.
Mal interpréter les limites : dire qu'une limite est $0$ alors qu'elle est $\infty$.
Ne pas vérifier si le point d'inflexion change réellement de signe pour $f''(x)$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Étude de fonctions

1/4

Quel est le domaine de définition de $f(x) = \sqrt{x-2}$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment interpréter f'(x) = 0 ?

Cela signifie que la tangente à la courbe est horizontale en ce point. C'est souvent là qu'on trouve un maximum ou un minimum local.

💡 À retenir : $f'(x)=0$ est la condition nécessaire pour un extremum.

Cela signifie que la tangente à la courbe est horizontale en ce point. C'est souvent là qu'on trouve un maximum ou un minimum local.

💡 À retenir : $f'(x)=0$ est la condition nécessaire pour un extremum.

Wach darouri ndiro tableau de variation?

Oui, c'est l'outil principal pour visualiser le comportement de la fonction et c'est exigé dans tous les examens nationaux.

💡 À retenir : Le tableau résume tout le travail d'analyse.

Est-ce qu'une fonction peut avoir plusieurs asymptotes horizontales ?

Oui, une fonction peut avoir une asymptote en $+\infty$ et une autre (différente) en $-\infty$ .

💡 À retenir : Il faut toujours calculer les deux limites séparément.

Oui, une fonction peut avoir une asymptote en $+\infty$ et une autre (différente) en $-\infty$.

💡 À retenir : Il faut toujours calculer les deux limites séparément.

Comment savoir si une fonction est paire ou impaire ?

Vérifie d'abord que $D_f$ est symétrique par rapport à 0 (si $x \in D_f$ , alors $-x \in D_f$ ).
Calcule $f(-x)$ .
Si $f(-x) = f(x)$ , elle est paire.
Si $f(-x) = -f(x)$ , elle est impaire.

💡 À retenir : La parité permet de réduire l'étude à $[0, +\infty[$ .

Vérifie d'abord que $D_f$ est symétrique par rapport à 0 (si $x \in D_f$, alors $-x \in D_f$).
Calcule $f(-x)$.
Si $f(-x) = f(x)$, elle est paire.
Si $f(-x) = -f(x)$, elle est impaire.

💡 À retenir : La parité permet de réduire l'étude à $[0, +\infty[$.

Kifach n3ref wach l-man7ana fo9 aw ta7t l-mousta9im?

7seb $d(x) = f(x) - (ax + b)$ (l-far9 bin la fonction w l-mou3adal dyal l-mousta9im).
Ila kan $d(x) > 0$ , l-man7ana fo9 l-mousta9im.
Ila kan $d(x) < 0$ , l-man7ana ta7t l-mousta9im.

💡 À retenir : L-ichara dyal l-far9 hiya li katchra7 l-mawdi3.

7seb $d(x) = f(x) - (ax + b)$ (l-far9 bin la fonction w l-mou3adal dyal l-mousta9im).
Ila kan $d(x) > 0$, l-man7ana fo9 l-mousta9im.
Ila kan $d(x) < 0$, l-man7ana ta7t l-mousta9im.

💡 À retenir : L-ichara dyal l-far9 hiya li katchra7 l-mawdi3.

Pourquoi on calcule la dérivée seconde f'' ?

La dérivée seconde sert à étudier la concavité de la courbe :

Si $f''(x) > 0$ , la courbe est convexe (tournée vers le haut).
Si $f''(x) < 0$ , la courbe est concave (tournée vers le bas).
Si $f''(x)$ s'annule en changeant de signe, le point correspondant est un point d'inflexion.

💡 À retenir : $f''$ donne la forme "courbée" de la fonction.

La dérivée seconde sert à étudier la concavité de la courbe :

Si $f''(x) > 0$, la courbe est convexe (tournée vers le haut).
Si $f''(x) < 0$, la courbe est concave (tournée vers le bas).
Si $f''(x)$ s'annule en changeant de signe, le point correspondant est un point d'inflexion.

💡 À retenir : $f''$ donne la forme "courbée" de la fonction.

Chno hiya l-far9 bin asymptote verticale w horizontale?

Asymptote verticale : $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$ . La droite est $x=a$ .
Asymptote horizontale : $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L$ . La droite est $y=L$ .

💡 À retenir : Verticale = $x$ tend vers un nombre, Horizontale = $x$ tend vers l'infini.

Asymptote verticale : $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$. La droite est $x=a$.
Asymptote horizontale : $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L$. La droite est $y=L$.

💡 À retenir : Verticale = $x$ tend vers un nombre, Horizontale = $x$ tend vers l'infini.

Comment tracer la tangente au point d'abscisse a ?

Calcule $f(a)$ et $f'(a)$ .
Utilise la formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .
Place le point $(a, f(a))$ et trace la droite passant par ce point avec la pente $f'(a)$ .

💡 À retenir : La dérivée est la pente de la tangente.

Calcule $f(a)$ et $f'(a)$.
Utilise la formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
Place le point $(a, f(a))$ et trace la droite passant par ce point avec la pente $f'(a)$.

💡 À retenir : La dérivée est la pente de la tangente.

Kifach n3ref wach l-man7ana 3ando far3 chuljami?

Ila kan $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ .
7seb $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ .
Ila l9iti 0, l-man7ana 3ando far3 chuljami f-ittijah l-mou7awr dyal l-afasib (axe des abscisses).

💡 À retenir : Hada 7ala khassa dyal l-frou3 l-lanihaiya.

Ila kan $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$.
7seb $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$.
Ila l9iti 0, l-man7ana 3ando far3 chuljami f-ittijah l-mou7awr dyal l-afasib (axe des abscisses).

💡 À retenir : Hada 7ala khassa dyal l-frou3 l-lanihaiya.

Est-ce que le domaine de définition change après la dérivation ?

Non, le domaine de définition est fixé dès le début. Par contre, la dérivée peut ne pas être définie en certains points où la fonction l'est (ex: points anguleux).

💡 À retenir : $D_{f'}$ est inclus dans $D_f$ .

Non, le domaine de définition est fixé dès le début. Par contre, la dérivée peut ne pas être définie en certains points où la fonction l'est (ex: points anguleux).

💡 À retenir : $D_{f'}$ est inclus dans $D_f$.

Comment trouver les points d'intersection avec l'axe des abscisses ?

Il faut résoudre l'équation $f(x) = 0$ . Les solutions sont les abscisses des points d'intersection avec l'axe $(Ox)$ .

💡 À retenir : Ce sont les racines de la fonction.

Il faut résoudre l'équation $f(x) = 0$. Les solutions sont les abscisses des points d'intersection avec l'axe $(Ox)$.

💡 À retenir : Ce sont les racines de la fonction.

Que faire si la limite en infty donne une forme indéterminée ?

Il faut utiliser les techniques apprises dans le chapitre des limites : factorisation par le terme de plus haut degré, multiplication par la quantité conjuguée, ou utilisation des limites usuelles.