Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

Les suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Définition d'une suite

Une suite numérique $u$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ qui à tout entier $n$ associe un nombre réel noté $u_n$ .

2. Suite arithmétique

Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ (la raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_{n+1} = u_n + r$

Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$ (souvent $u_n = u_0 + nr$ ).
Somme des termes : $S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$ .

3. Suite géométrique

Une suite $(v_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q \neq 0$ (la raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $v_{n+1} = v_n \times q$

Terme général : $v_n = v_p \times q^{n-p}$ (souvent $v_n = v_0 \times q^n$ ).
Somme des termes ( $q \neq 1$ ) : $S = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$ .

4. Sens de variation

$(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ .
$(u_n)$ est décroissante si $u_{n+1} - u_n \leq 0$ .

Méthodes à maîtriser

Démontrer qu'une suite est arithmétique : Calculer la différence $u_{n+1} - u_n$ et vérifier qu'elle est constante.
Démontrer qu'une suite est géométrique : Calculer le quotient $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ et vérifier qu'il est constant.
Calculer une somme : Identifier d'abord le type de suite, compter le nombre de termes (formule : $\text{dernier index} - \text{premier index} + 1$ ), puis appliquer la formule.
Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ : Pour déterminer la monotonie.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_0 = 5$ et $r = 3$ . Calculer $u_{10}$ . Solution : On utilise la formule $u_n = u_0 + nr$ . $u_{10} = 5 + 10 \times 3 = 5 + 30 = 35$ .

Exemple 2 : Soit $(v_n)$ une suite géométrique telle que $v_0 = 2$ et $q = 3$ . Calculer $S = v_0 + v_1 + v_2$ . Solution : Nombre de termes = $2 - 0 + 1 = 3$ . $S = 2 \times \frac{1 - 3^3}{1 - 3} = 2 \times \frac{1 - 27}{-2} = 2 \times \frac{-26}{-2} = 26$ . Vérification : $2 + 6 + 18 = 26$ . Correct.

Erreurs fréquentes

Nombre de termes : Oublier le "+1" dans le calcul du nombre de termes (ex: de $u_0$ à $u_n$ , il y a $n+1$ termes).
Confusion des formules : Utiliser la formule de la somme arithmétique pour une suite géométrique.
Calcul de $u_{n+1} - u_n$ : Faire des erreurs de signes lors du développement de l'expression.

L'essentiel du cours

1. Définition d'une suite

Une suite numérique $u$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ qui à tout entier $n$ associe un nombre réel noté $u_n$.

2. Suite arithmétique

Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ (la raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$u_{n+1} = u_n + r$$

Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$ (souvent $u_n = u_0 + nr$).
Somme des termes : $S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$.

3. Suite géométrique

Une suite $(v_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q \neq 0$ (la raison) tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$v_{n+1} = v_n \times q$$

Terme général : $v_n = v_p \times q^{n-p}$ (souvent $v_n = v_0 \times q^n$).
Somme des termes ($q \neq 1$) : $S = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$.

4. Sens de variation

$(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} - u_n \geq 0$.
$(u_n)$ est décroissante si $u_{n+1} - u_n \leq 0$.

Méthodes à maîtriser

Démontrer qu'une suite est arithmétique : Calculer la différence $u_{n+1} - u_n$ et vérifier qu'elle est constante.
Démontrer qu'une suite est géométrique : Calculer le quotient $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ et vérifier qu'il est constant.
Calculer une somme : Identifier d'abord le type de suite, compter le nombre de termes (formule : $\text{dernier index} - \text{premier index} + 1$), puis appliquer la formule.
Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ : Pour déterminer la monotonie.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_0 = 5$ et $r = 3$. Calculer $u_{10}$. Solution : On utilise la formule $u_n = u_0 + nr$. $u_{10} = 5 + 10 \times 3 = 5 + 30 = 35$.

Exemple 2 : Soit $(v_n)$ une suite géométrique telle que $v_0 = 2$ et $q = 3$. Calculer $S = v_0 + v_1 + v_2$. Solution : Nombre de termes = $2 - 0 + 1 = 3$. $S = 2 \times \frac{1 - 3^3}{1 - 3} = 2 \times \frac{1 - 27}{-2} = 2 \times \frac{-26}{-2} = 26$. Vérification : $2 + 6 + 18 = 26$. Correct.

Erreurs fréquentes

Nombre de termes : Oublier le "+1" dans le calcul du nombre de termes (ex: de $u_0$ à $u_n$, il y a $n+1$ termes).
Confusion des formules : Utiliser la formule de la somme arithmétique pour une suite géométrique.
Calcul de $u_{n+1} - u_n$ : Faire des erreurs de signes lors du développement de l'expression.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Les suites numériques

1/4

Si $u_{n+1} - u_n = 4$ , quelle est la nature de la suite ?

Si $u_{n+1} - u_n = 4$, quelle est la nature de la suite ?

❓ Questions fréquentes

Comment trouver la raison r d'une suite arithmétique si on a u3 et u7 ?

On utilise la formule du terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$ . Ici : $u_7 = u_3 + (7-3)r \implies u_7 = u_3 + 4r$ . On isole $r$ : $r = \frac{u_7 - u_3}{4}$ .

💡 À retenir : $r = \frac{\text{différence des termes}}{\text{différence des indices}}$ .

On utilise la formule du terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$. Ici : $u_7 = u_3 + (7-3)r \implies u_7 = u_3 + 4r$. On isole $r$ : $r = \frac{u_7 - u_3}{4}$.

💡 À retenir : $r = \frac{\text{différence des termes}}{\text{différence des indices}}$.

Chno hiya l-formula dial la somme dial suite géométrique?

Si la raison $q \neq 1$ , la somme $S$ des termes d'une suite géométrique est : $S = \text{Premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$

💡 À retenir : Vérifie bien que $q \neq 1$ avant d'utiliser cette formule.

Si la raison $q \neq 1$, la somme $S$ des termes d'une suite géométrique est : $$S = \text{Premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$$

💡 À retenir : Vérifie bien que $q \neq 1$ avant d'utiliser cette formule.

Chno hiya l-farq bin suite arithmétique w géométrique?

Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours le même nombre (la raison $r$ ) pour passer d'un terme au suivant.
Dans une suite géométrique, on multiplie toujours par le même nombre (la raison $q$ ) pour passer d'un terme au suivant.

💡 À retenir : Arithmétique $\rightarrow$ Addition ( $+$ ) ; Géométrique $\rightarrow$ Multiplication ( $\times$ ).

Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours le même nombre (la raison $r$) pour passer d'un terme au suivant.
Dans une suite géométrique, on multiplie toujours par le même nombre (la raison $q$) pour passer d'un terme au suivant.

💡 À retenir : Arithmétique $\rightarrow$ Addition ($+$) ; Géométrique $\rightarrow$ Multiplication ($\times$).

Kifach n3ref wach la suite croissante wla décroissante?

Pour étudier le sens de variation, on calcule la différence entre deux termes consécutifs : $u_{n+1} - u_n$ .

Si $u_{n+1} - u_n > 0$ , la suite est croissante.
Si $u_{n+1} - u_n < 0$ , la suite est décroissante.
Si $u_{n+1} - u_n = 0$ , la suite est constante.

💡 À retenir : On utilise toujours la soustraction $u_{n+1} - u_n$ .

Pour étudier le sens de variation, on calcule la différence entre deux termes consécutifs : $u_{n+1} - u_n$.

Si $u_{n+1} - u_n > 0$, la suite est croissante.
Si $u_{n+1} - u_n < 0$, la suite est décroissante.
Si $u_{n+1} - u_n = 0$, la suite est constante.

💡 À retenir : On utilise toujours la soustraction $u_{n+1} - u_n$.

Comment calculer le nombre de termes dans une somme ?

Pour calculer la somme des termes allant de l'indice $p$ à l'indice $n$ (par exemple de $u_0$ à $u_{10}$ ), on utilise la formule : $\text{Nombre de termes} = n - p + 1$ Exemple : De $u_0$ à $u_{10}$ , il y a $10 - 0 + 1 = 11$ termes.

💡 À retenir : N'oublie jamais le " $+1$ ".

Pour calculer la somme des termes allant de l'indice $p$ à l'indice $n$ (par exemple de $u_0$ à $u_{10}$), on utilise la formule : $$\text{Nombre de termes} = n - p + 1$$ Exemple : De $u_0$ à $u_{10}$, il y a $10 - 0 + 1 = 11$ termes.

💡 À retenir : N'oublie jamais le "$+1$".

Est-ce qu'une suite peut être à la fois majorée et minorée ?

Oui, absolument. Si une suite est à la fois majorée (elle ne dépasse pas un certain nombre $M$ ) et minorée (elle ne descend pas sous un certain nombre $m$ ), on dit qu'elle est bornée. Exemple : La suite $u_n = \sin(n)$ est bornée car $-1 \leq u_n \leq 1$ .

💡 À retenir : Bornée = Majorée + Minorée.

Oui, absolument. Si une suite est à la fois majorée (elle ne dépasse pas un certain nombre $M$) et minorée (elle ne descend pas sous un certain nombre $m$), on dit qu'elle est bornée. Exemple : La suite $u_n = \sin(n)$ est bornée car $-1 \leq u_n \leq 1$.

💡 À retenir : Bornée = Majorée + Minorée.

Comment prouver qu'une suite est géométrique ?

Il faut calculer le rapport entre deux termes consécutifs : $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ . Si le résultat est un nombre réel $q$ qui ne dépend pas de $n$ , alors la suite est géométrique de raison $q$ .

💡 À retenir : On utilise la division pour la suite géométrique.

Il faut calculer le rapport entre deux termes consécutifs : $\frac{u_{n+1}}{u_n}$. Si le résultat est un nombre réel $q$ qui ne dépend pas de $n$, alors la suite est géométrique de raison $q$.

💡 À retenir : On utilise la division pour la suite géométrique.

Une suite arithmétique peut-elle être décroissante ?

Oui. Si la raison $r$ est négative ( $r < 0$ ), alors la suite est décroissante. Exemple : $u_n = 10 - 2n$ (raison $r = -2$ ).

💡 À retenir : Signe de $r$ détermine le sens de variation en arithmétique.

Oui. Si la raison $r$ est négative ($r < 0$), alors la suite est décroissante. Exemple : $u_n = 10 - 2n$ (raison $r = -2$).

💡 À retenir : Signe de $r$ détermine le sens de variation en arithmétique.

Est-ce que la raison q d'une suite géométrique peut être négative ?

Oui, la raison $q$ peut être négative. Dans ce cas, les termes de la suite vont alterner entre des valeurs positives et négatives. Exemple : $u_n = 2 \times (-3)^n \implies 2, -6, 18, -54 \dots$

💡 À retenir : Si $q < 0$ , la suite n'est ni croissante ni décroissante (elle est alternée).

Oui, la raison $q$ peut être négative. Dans ce cas, les termes de la suite vont alterner entre des valeurs positives et négatives. Exemple : $u_n = 2 \times (-3)^n \implies 2, -6, 18, -54 \dots$

💡 À retenir : Si $q < 0$, la suite n'est ni croissante ni décroissante (elle est alternée).

Kifach n7seb un ila kant u{n+1} = un + 5 w u0 = 2?

On reconnaît une suite arithmétique car on ajoute une constante ( $r=5$ ).
On applique la formule : $u_n = u_0 + nr$ .
$u_n = 2 + 5n$ .

💡 À retenir : Identifie d'abord le type de suite.

On reconnaît une suite arithmétique car on ajoute une constante ($r=5$).
On applique la formule : $u_n = u_0 + nr$.
$u_n = 2 + 5n$.

💡 À retenir : Identifie d'abord le type de suite.

Comment calculer la somme 1 + 2 + 3 + dots + n ?

C'est une suite arithmétique de premier terme $u_1 = 1$ , de dernier terme $u_n = n$ et de raison $r = 1$ . Le nombre de termes est $n$ . $S = n \times \frac{1 + n}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$ .

💡 À retenir : C'est une formule classique à connaître.

C'est une suite arithmétique de premier terme $u_1 = 1$, de dernier terme $u_n = n$ et de raison $r = 1$. Le nombre de termes est $n$. $S = n \times \frac{1 + n}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$.

💡 À retenir : C'est une formule classique à connaître.

Si un = 3^n, est-ce une suite géométrique ?

Calculons le rapport : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3^{n+1-n} = 3^1 = 3$ . Le rapport est constant ( $q=3$ ), donc la suite est géométrique.

💡 À retenir : Les puissances sont souvent liées aux suites géométriques.

Calculons le rapport : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3^{n+1-n} = 3^1 = 3$. Le rapport est constant ($q=3$), donc la suite est géométrique.

💡 À retenir : Les puissances sont souvent liées aux suites géométriques.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_2 = 7$ et $u_5 = 16$ .

Calculer la raison $r$ de la suite.
Calculer le premier terme $u_0$ .
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$ .

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_2 = 7$ et $u_5 = 16$.

Calculer la raison $r$ de la suite.
Calculer le premier terme $u_0$.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$.

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Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_0 = 5$ et de raison $q = 2$ .

Calculer $v_1, v_2$ et $v_5$ .
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ .
Calculer la somme $S_n = v_0 + v_1 + \dots + v_n$ .
Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $v_n > 1000$ .

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_0 = 5$ et de raison $q = 2$.

Calculer $v_1, v_2$ et $v_5$.
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
Calculer la somme $S_n = v_0 + v_1 + \dots + v_n$.
Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $v_n > 1000$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen National) : Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3$ .

Calculer $u_1$ et $u_2$ .
Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - 6$ . Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique et déterminer sa raison $q$ .
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ .
En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ .

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen National) : Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - 6$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique et déterminer sa raison $q$.
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

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