Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

La dérivation

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$ .
Équation de la tangente : $T_a : y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Dérivabilité sur un intervalle : $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$ .
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$ , $(uv)' = u'v+uv'$ , $(ku)' = ku'$ , $(\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2}$ , $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$ .
Dérivées usuelles : $(x^n)' = nx^{n-1}$ , $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , $(\sin x)' = \cos x$ , $(\cos x)' = -\sin x$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer le taux d'accroissement pour prouver la dérivabilité en un point.
Utiliser les formules de dérivation pour déterminer $f'(x)$ .
Déterminer l'équation de la tangente en un point donné.
Étudier la dérivabilité à droite et à gauche pour identifier un point anguleux.

Exemples corrigés

Tangente : Soit $f(x) = x^2$ en $a=1$ . $f(1)=1$ , $f'(x)=2x \implies f'(1)=2$ . $T_1 : y = 2(x-1)+1 \implies y = 2x-1$ .
Dérivée : $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ . On pose $u = x^2+1$ , $u'=2x$ . $f'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de dérivabilité avant de dériver.
Confondre $(uv)'$ avec $u'v'$ .
Ne pas mettre les parenthèses lors du calcul de la dérivée d'un quotient.

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$.
Équation de la tangente : $T_a : y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Dérivabilité sur un intervalle : $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$.
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$, $(uv)' = u'v+uv'$, $(ku)' = ku'$, $(\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2}$, $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$.
Dérivées usuelles : $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$.

Méthodes à maîtriser

Calculer le taux d'accroissement pour prouver la dérivabilité en un point.
Utiliser les formules de dérivation pour déterminer $f'(x)$.
Déterminer l'équation de la tangente en un point donné.
Étudier la dérivabilité à droite et à gauche pour identifier un point anguleux.

Exemples corrigés

Tangente : Soit $f(x) = x^2$ en $a=1$. $f(1)=1$, $f'(x)=2x \implies f'(1)=2$. $T_1 : y = 2(x-1)+1 \implies y = 2x-1$.
Dérivée : $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$. On pose $u = x^2+1$, $u'=2x$. $f'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de dérivabilité avant de dériver.
Confondre $(uv)'$ avec $u'v'$.
Ne pas mettre les parenthèses lors du calcul de la dérivée d'un quotient.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 La dérivation

1/4

La dérivée de $f(x) = x^3$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est dérivable en un point ?

Calcule le taux d'accroissement $\tau(x) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .
Calcule la limite de $\tau(x)$ quand $x$ tend vers $a$ .
Si la limite est un nombre réel fini, alors $f$ est dérivable en $a$ .

💡 À retenir : La limite doit être un nombre réel, pas l'infini.

Calcule le taux d'accroissement $\tau(x) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
Calcule la limite de $\tau(x)$ quand $x$ tend vers $a$.
Si la limite est un nombre réel fini, alors $f$ est dérivable en $a$.

💡 À retenir : La limite doit être un nombre réel, pas l'infini.

Kifach n7seb l-mo3adala dyal l-mamas ?

7seb l-qima dyal $f(a)$ .
7seb l-founction dérivée $f'(x)$ w 3awd $a$ bch t-lqa $f'(a)$ .
St3ml l-foryoula : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .

💡 À retenir : $f'(a)$ houwa l-mil (pente) dyal l-mamas.

7seb l-qima dyal $f(a)$.
7seb l-founction dérivée $f'(x)$ w 3awd $a$ bch t-lqa $f'(a)$.
St3ml l-foryoula : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

💡 À retenir : $f'(a)$ houwa l-mil (pente) dyal l-mamas.

Quelle est la différence entre dérivabilité et continuité ?

Toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$ .
La réciproque est fausse : une fonction peut être continue mais non dérivable (ex: $f(x)=|x|$ en $0$ ).

💡 À retenir : La dérivabilité est une condition plus forte que la continuité.

Toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$.
La réciproque est fausse : une fonction peut être continue mais non dérivable (ex: $f(x)=|x|$ en $0$).

💡 À retenir : La dérivabilité est une condition plus forte que la continuité.

Chno hiya l-founction dérivée dyal f(x) = sqrt{x} ?

La dérivée de $\sqrt{x}$ est $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ pour tout $x > 0$ .

💡 À retenir : La fonction n'est pas dérivable en $0$ car la limite du taux d'accroissement est $+\infty$ .

La dérivée de $\sqrt{x}$ est $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ pour tout $x > 0$.

💡 À retenir : La fonction n'est pas dérivable en $0$ car la limite du taux d'accroissement est $+\infty$.

Est-ce que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées ?

Oui, pour deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un intervalle $I$ , on a $(u+v)' = u' + v'$ .

💡 À retenir : Cette règle s'applique aussi à la soustraction.

Oui, pour deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un intervalle $I$, on a $(u+v)' = u' + v'$.

💡 À retenir : Cette règle s'applique aussi à la soustraction.

Kifach n3ref wach kayn point anguleux ?

7seb l-limite dyal l-founction dérivée 3la l-yamin ( $f'_d(a)$ ) w 3la l-yassar ( $f'_g(a)$ ).
Ila kan $f'_d(a) \neq f'_g(a)$ , alors l-noqta $a$ hiya point anguleux.

💡 À retenir : Le graphe fait un "angle" à cet endroit.

7seb l-limite dyal l-founction dérivée 3la l-yamin ($f'_d(a)$) w 3la l-yassar ($f'_g(a)$).
Ila kan $f'_d(a) \neq f'_g(a)$, alors l-noqta $a$ hiya point anguleux.

💡 À retenir : Le graphe fait un "angle" à cet endroit.

Comment dériver une fonction composée comme (2x+1)^3 ?

Utilise la formule $(u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}$ . Ici, $u = 2x+1$ , donc $u' = 2$ . $f'(x) = 3 \cdot 2 \cdot (2x+1)^2 = 6(2x+1)^2$ .

💡 À retenir : Ne pas oublier de multiplier par la dérivée de ce qu'il y a à l'intérieur.

Utilise la formule $(u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}$. Ici, $u = 2x+1$, donc $u' = 2$. $f'(x) = 3 \cdot 2 \cdot (2x+1)^2 = 6(2x+1)^2$.

💡 À retenir : Ne pas oublier de multiplier par la dérivée de ce qu'il y a à l'intérieur.

Est-ce qu'une fonction constante est dérivable ?

Oui, si $f(x) = k$ (où $k$ est une constante), alors $f'(x) = 0$ .

💡 À retenir : La dérivée d'une constante est toujours nulle.

Oui, si $f(x) = k$ (où $k$ est une constante), alors $f'(x) = 0$.

💡 À retenir : La dérivée d'une constante est toujours nulle.

Pourquoi on dit que la dérivée est une approximation affine ?

Parce que près du point $a$ , la courbe de la fonction est très proche de sa tangente. On peut écrire $f(x) \approx f'(a)(x-a) + f(a)$ .

💡 À retenir : Plus $x$ est proche de $a$ , meilleure est l'approximation.

Parce que près du point $a$, la courbe de la fonction est très proche de sa tangente. On peut écrire $f(x) \approx f'(a)(x-a) + f(a)$.

💡 À retenir : Plus $x$ est proche de $a$, meilleure est l'approximation.

Comment dériver f(x) = sin(x^2) ?

Il faut utiliser la règle de la chaîne : $(\sin(u))' = u' \cdot \cos(u)$ . Ici $u = x^2$ , donc $u' = 2x$ . $f'(x) = 2x \cos(x^2)$ .

💡 À retenir : Toujours dériver l'argument de la fonction trigonométrique.

Il faut utiliser la règle de la chaîne : $(\sin(u))' = u' \cdot \cos(u)$. Ici $u = x^2$, donc $u' = 2x$. $f'(x) = 2x \cos(x^2)$.

💡 À retenir : Toujours dériver l'argument de la fonction trigonométrique.

Est-ce que la dérivée seconde est au programme ?

Oui, la dérivée seconde $f''$ est la dérivée de la fonction dérivée $f'$ . Elle est utile pour étudier la convexité (à vérifier par le professeur si le programme de l'année en cours l'inclut pour l'étude de fonctions).

💡 À retenir : $f'' = (f')'$ .

Oui, la dérivée seconde $f''$ est la dérivée de la fonction dérivée $f'$. Elle est utile pour étudier la convexité (à vérifier par le professeur si le programme de l'année en cours l'inclut pour l'étude de fonctions).